Fragenliste von Kettenregel

Bilde die Ableitung von $y=f(x)$ mit der Kettenregel. $y=\sqrt{3x}-\sqrt[3]{x^2}$ Nr. 1948
	$y'=\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2x}}-\frac{2}{\sqrt[3]{3x}}$
	$y'=\frac{3}{2\sqrt{x}}-\frac{2}{3\sqrt{x}}$
	$y'=\frac{\sqrt{3}-2}{2\sqrt{x}-3\sqrt[3]{x}}$
	$y'=\frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{x}}-\frac{2}{3\sqrt[3]{x}}$
	$y'=\frac{1}{2\sqrt{x}}+\frac{2}{\sqrt[3]{x}}$
Lösungsweg $y=\sqrt{3x}-\sqrt[3]{x^2}$ setze $g(x)= 3x, \ h(x)= x^{\frac 12}, \ k(x)= x^{\frac 23}$ $g'(x)=3 \\ h'(x)=\frac 13 x^{-\frac 12} \\ k'(x)= \frac 23 x ^{-\frac 13}$ $y'= h'(g(x))g'(x) - k'(x)$ $y'= \frac 12 (3x)^{-\frac 12} \cdot 3 - \frac 23 x^{-\frac 13} =\\ \frac {\sqrt 3}{2\sqrt{x}}-\frac{2}{3\sqrt[3]x}$

Bilde die Ableitung von $y=f(x)$ mit der Kettenregel. $y=\sqrt{x^3}-\sqrt[3]{2x}$ Nr. 1949
	$y'=\frac{3\sqrt{x}}{4}+\frac{2}{9\sqrt[3]{2x^2}}$
	$y'=\frac{9\sqrt{x}}{2}-\frac{2}{\sqrt[3]{(26x)^2}}$
	$y'=\frac{\sqrt{x}}{2}-\frac{2}{\sqrt[3]{x^2}}$
	$y'=\frac{3\sqrt[3]{x}}{4}+\frac{1}{3\sqrt[3]{(2x)^2}}$
	$y'=\frac{3\sqrt{x}}{2}-\frac{2}{3\sqrt[3]{(2x)^2}}$

Bilde die Ableitung von $y=f(x)$ mit der Kettenregel. $y=\sqrt[4]{3x^3}-\sqrt[3]{2x}+\sqrt{2x^3}$ Nr. 1950
	$y'=\frac{9}{4\cdot\sqrt[4]{27x}}-\frac{\sqrt[3]{2}}{3\cdot\sqrt[3]{x^2}}+\frac{3\cdot\sqrt{x}}{\sqrt{2}}$
	$y'=\frac{3}{4\cdot\sqrt[4]{27x}}-\frac{2}{3\cdot\sqrt[3]{x}}+\frac{3\cdot\sqrt{x}}{\sqrt{2}}$
	$y'=\frac{9}{4\cdot\sqrt[4]{x}}-\frac{2}{3\cdot\sqrt[3]{x^2}}+\frac{3\cdot\sqrt{x}}{\sqrt{2}}$
	$y'=\frac{9}{4\cdot\sqrt[4]{x}}-\frac{\sqrt[3]{2}}{3\cdot\sqrt[3]{x}}+\frac{3\cdot\sqrt{x}}{\sqrt{2x^2}}$
	$y'=\frac{3}{4\cdot\sqrt[4]{27x}}-\frac{\sqrt[3]{2}}{3\cdot\sqrt[3]{x}}+\frac{3\cdot\sqrt{x^2}}{\sqrt{2}}$
Lösungsweg $y=\sqrt[4]{3x^3}-\sqrt[3]{2x}+\sqrt{2x^3}$ 1. $\sqrt[4]{3x^3}$ setze $f(x)=x^{1/4}$ $g(x)=3x^3$ $f'(x)=\frac{1}{4} x^{-3/4}$ , $g'(x)=9x^2$ $\sqrt[4]{3x^3}'=\frac 14 (3x^3)^{-3/4} \cdot 9x^2 =\\ \frac 94 3^{-3/4}x^{-1/4} = \frac{9}{4 \cdot \sqrt[4] {27x}}$ 2. $\sqrt[3]{2x}$ setze $f(x)=x^{1/3}$ $g(x)=2x$ $f'(x)=\frac 13 x^{-2/3}$ , $g'(x)=2$ $\sqrt[3]{2x}'= \frac 13 (2x)^{-2/3} \cdot 2 = \frac{\sqrt[3]2}{3 \cdot \sqrt[3]{x^2}}$ 3. $\sqrt{2x^3}$ setze $f(x)= x^{1/2}$ , $g(x)=2x^3$ $f'(x)= \frac 12 x^{-1/2}$ , $g'(x)=6x^2$ $\sqrt{2x^3}'= \frac 12 (2x^3)^{-1/2} \cdot 6x^2 = \frac {3 \sqrt x}{\sqrt 2}$ $y'=\frac{9}{4\cdot\sqrt[4]{27x}}-\frac{\sqrt[3]{2}}{3\cdot\sqrt[3]{x^2}}+\frac{3\cdot\sqrt{x}}{\sqrt{2}}$

Bilde die Ableitung von $y=f(x)$ mit der Kettenregel. $y=(2x-5)^3$ Nr. 1951
	$y'=3(2x-5)^2$
	$y'=(2x-5)^2$
	$y'=6(2x-5)^2$
	$y'=6$
	$y'=3(2x-5)$
Lösungsweg $y=(2x-5)^3$ setze $g(x)=2x-5,\ h(x)=x^3$ $g'(x)=2$ $h'(x)=3x^2$ $y'=h'(g(x))g'(x)=3(2x-5)^2 \cdot 2 = 6(2x-5)^2$

Bilde die Ableitung von $y=f(x)$ mit der Kettenregel. $y=(5-4x)^3$ Nr. 1952
	$y'=12(5-4x)^2$
	$y'=(5-4x)^2$
	$y'=3(5-4x)^2$
	$y'=48$
	$y'=-12(5-4x)^2$

Bilde die Ableitung von $y=f(x)$ mit der Kettenregel. $y=(x^2-2x+1)^2$ Nr. 1953
	$y'=(x^2-2x+1)(2x-2)$
	$y'=2(x^2-2x+1)(2x-2)$
	$y'=2(x^2-2x+1)$
	$y'=4(x-1)^3$
	$y'=2(2x-2)$

Bilde die Ableitung von $y=f(x)$ mit der Kettenregel. $y=(x^2+3x-4)^2$ Nr. 1954
	$y'=(4x+3)(x^2+3x-4)$
	$y'=2(x^2+3x-4)^2$
	$y'=2(2x+3)(x^2+3x-4)^2$
	$y'=2(2x+3)(x^2+3x-4)$
	$y'=2(x^2+3x-4)$

Bilde die Ableitung von $y=f(x)$ mit der Kettenregel. $y=\left(\frac{2x}{3x-1}\right)^3$ Nr. 1955
	$y'=\frac{24x^2}{(3x-1)^4}$
	$y'=-\frac{24x^2}{(3x-1)^4}$
	$y'=\frac{24x^2}{(3x-1)^2}$
	$y'=\frac{12x^2}{(3x-1)^4}$
	$y'=\frac{12x^2}{(3x-1)^2}$
Lösungsweg $y=\left(\frac{2x}{3x-1}\right)^3$ setze $f(x)= x^3$ , $g(x)= \frac{2x}{3x-1}$ $f'(x)= 3x^2$ $g'(x)=\frac{2 \cdot (3x-1)-2x \cdot 3}{(3x-1)^2} = \frac{-2}{(3x-1)^2}$ $y'= 3\left(\frac {2x}{3x-1}\right)^2 \cdot \frac{-2}{(3x-1)^2} = \frac{-24x^2}{(3x-1)^4}$

Bilde die Ableitung von $y=f(x)$ mit der Kettenregel. $y=\left(\frac{5x}{4x+3}\right)^3$ Nr. 1956
	$y'=\frac{1125x^2}{(4x+3)^4}$
	$y'=\frac{45x^2}{(4x+3)^4}$
	$y'=\frac{225x^2}{(4x+3)^3}$
	$y'=\frac{225x^2}{(4x+3)^2}$
	$y'=-\frac{1125x^2}{(4x+3)^3}$

Bilde die Ableitung von $y=f(x)$ mit der Kettenregel. $y=\left(\frac{x^2-3x}{2x+1}\right)^2$ Nr. 1957
	$y'=\frac{x(x-3)(x^2+2x-3)}{(2x+1)^3}$
	$y'=\frac{2(x-3)^2(2x^2+2x-3)}{(2x+1)^2}$
	$y'=\frac{2(x-3)(2x^2+2x-3)}{(2x+1)^2}$
	$y'=\frac{2x(2x^2+2x-3)}{2x+1}$
	$y'=\frac{2x(x-3)(2x^2+2x-3)}{(2x+1)^3}$

Bilde die Ableitung von $y=f(x)$ mit der Kettenregel. $y=\left(\frac{x^2+4x}{3x-4}\right)^2$ Nr. 1958
	$y'=\frac{4x(x+2)(3x^2-8x-16)}{(3x-4)^3}$
	$y'=\frac{x(x+4)(3x^2-8x-16)}{(3x-4)^2}$
	$y'=\frac{2x(x+4)(3x^2-8x-16)}{(3x-4)^3}$
	$y'=\frac{(x+4)(3x^2-8x-16)^2}{(3x-4)^2}$
	$y'=\frac{2(x+4)^2(3x^2-8x-16)}{(3x-4)^3}$

Bilde die Ableitung von $y=f(x)$ mit der Kettenregel. $y=(7x-20)^{12}$ Nr. 1959
	$y'=12(7x-20)$
	$y'=84(7x-20)^{11}$
	$y'=84(7x-20)^{12}$
	$y'=12(7x-20)^{11}$
	$y'=84(7x-18)^{11}$

Bilde die Ableitung von $y=f(x)$ mit der Kettenregel. $y=(5x+17)^{13}$ Nr. 1960
	$y'=13(5x+17)^{12}$
	$y'=13(5x+17)^{11}$
	$y'=13(5x+17)$
	$y'=65(5x+17)^{12}$
	$y'=65(5x+17)^{13}$

Bilde die Ableitung von $y=f(x)$ mit der Kettenregel. $y=(3x^2-4x)^8$ Nr. 1961
	$y'=8x^7(3x-4)^7(6x-4)$
	$y'=8x(3x^2-4)^8(6x-4)$
	$y'=4x^7(3x-4)^7$
	$y'=7(3x^2-4x)^7(6x-4)$
	$y'=8x(3x-4)^7(6x^2-4x)$

Bilde die Ableitung von $y=f(x)$ mit der Kettenregel. $y=(5x^2+4x)^7$ Nr. 1962
	$y'=14x(10x+4)(5x+4)^6$
	$y'=7x^6(5x+4)(5x+4)^7$
	$y'=7(5x+4)(5x+4)^6$
	$y'=6(10x+4)(5x^2+4)^6$
	$y'=7x^6(10x+4)(5x+4)^6$

Bilde die Ableitung von $y=f(x)$ mit der Kettenregel. $y=\sqrt{3x-1}$ Nr. 1963
	$y'=\frac{\sqrt{3x-1}}{2}$
	$y'=\frac{3}{2\sqrt{3x-1}}$
	$y'=\frac{1}{2\sqrt{3x-1}}$
	$y'=6\sqrt{3x-1}$
	$y'=\frac{3\sqrt{3x-1}}{2}$

Bilde die Ableitung von $y=f(x)$ mit der Kettenregel. $y=\sqrt{5x+6}$ Nr. 1964
	$y'=10\sqrt{5x+6}$
	$y'=\frac{1}{2\sqrt{5x+6}}$
	$y'=\frac{5\sqrt{5x+6}}{2}$
	$y'=\frac{5}{2\sqrt{5x+6}}$
	$y'=\frac{\sqrt{5x+6}}{2}$ \sqrt{5x+6}

Bilde die Ableitung von $y=f(x)$ mit der Kettenregel. $y=\sqrt{5x^2+3x-4}$ Nr. 1965
	$y'=\frac{10x+3}{2\sqrt{5x^2+3x-4}}$
	$y'=\frac{(10x+3)\sqrt{5x^2+3x-4}}{2}$
	$y'=\frac{1}{2\sqrt{5x^2+3x-4}}$
	$y'=\frac{\sqrt{5x^2+3x-4}}{2}$
	$y'=2(10x+3)\sqrt{5x^2+3x-4}$

Bilde die Ableitung von $y=f(x)$ mit der Kettenregel. $y=\sqrt{6x^2-4x+5}$ Nr. 1966
	$y'=\frac{12x-4}{\sqrt{6x^2-4x+5}}$
	$y'=(6x-2)\sqrt{6x^2-4x+5}$
	$y'=\frac{1}{2\sqrt{6x^2-4x+5}}$
	$y'=(12x-4)\sqrt{6x^2-4x+5}$
	$y'=\frac{6x-2}{\sqrt{6x^2-4x+5}}$

Bilde die Ableitung von $y=f(x)$ mit der Kettenregel. $y=\sqrt{\sin x}$ Nr. 1967
	$y'=\frac{\cos x\cdot\sqrt{\sin x}}{2}$
	$y'=\frac{1}{2\sqrt{\sin x}}$
	$y'=\frac{\cos x}{2\sqrt{\sin x}}$
	$y'=\frac{\sqrt{\sin x}}{2}$
	$y'=2\cos x\cdot\sqrt{\sin x}$
Lösungsweg $y=\sqrt{\sin x}$ setze $f(x)= x^{1/2}$ , $g(x)= \sin x$ $f'(x)=\frac 12 x^{-1/2}$ , $g'(x)=\cos x$ $y'= \frac 12 (\sin x)^{-1/2} \cos x = \frac{\cos x}{2\sqrt{\sin x}}$

Bilde die Ableitung von $y=f(x)$ mit der Kettenregel. $y=\sqrt{\cos x}$ Nr. 1968
	$y'=-\frac{\sin x\cdot\sqrt{\cos x}}{2}$
	$y'=-\frac{\sin x}{2\sqrt{\cos x}}$
	$y'=\frac{1}{2\sqrt{\cos x}}$
	$y'=\frac{\sin x}{2\sqrt{\cos x}}$
	$y'=2\sin x\cdot\sqrt{\cos x}$

Bilde die Ableitung von $y=f(x)$ mit der Kettenregel. $y=\sqrt{x-\sin x}$ Nr. 1969
	$y'=\frac{1}{2\sqrt{x-\sin x}}$
	$y'=\frac{(1-\cos x)\sqrt{x-\sin x}}{2}$
	$y'=\frac{1-\cos x}{2\sqrt{x-\sin x}}$
	$y'=\frac{1}{\sqrt{x-\sin x}}$
	$y'=(1-\cos x)\sqrt{x-\sin x}$

Bilde die Ableitung von $y=f(x)$ mit der Kettenregel. $y=\sqrt{x+\cos x}$ Nr. 1970
	$y'=\frac{(1-\sin x)\sqrt{x+\cos x}}{2}$
	$y'=\frac{1-\sin x}{2\sqrt{x+\cos x}}$
	$y'=\frac{1}{2\sqrt{x+\cos x}}$
	$y'=\frac{1-\sin x}{\sqrt{x+\cos x}}$
	$y'=(1-\sin x)\sqrt{x+\cos x}$ \sqrt{x+\cos x

Bilde die Ableitung von $y=f(x)$ mit der Kettenregel. $y=\sqrt[3]{4\sin x}$ Nr. 1971
	$y'=\frac{2\cos x}{3\sqrt[3]{2\sin x}}$
	$y'=\frac{4\cos x}{3\sqrt[3]{4\sin x}}$
	$y'=\frac{1}{3\sqrt[3]{4\sin^2 x}}$
	$y'=\frac{2\cos x}{3\sqrt[3]{2\sin^2 x}}$
	$y'=\frac{4\cos x}{3\sqrt[3]{4\sin^2 x}}$

Bilde die Ableitung von $y=f(x)$ mit der Kettenregel. $y=\cos x\cdot\sqrt{\cos x}$ Nr. 1972
	$y'=-\frac{3}{2}\sin x\sqrt{\cos x}$
	$y'=\frac{3}{2}\sqrt{\cos x}$
	$y'=-\frac{3\sin x}{2\sqrt{\cos x}}$
	$y'=\frac{\sin x}{2\sqrt{\cos x}}$
	$y'=\cos x-\sin x\sqrt{\cos x}$

Bilde die Ableitung von $y=f(x)$ mit der Kettenregel. $y=3\cdot\sin(2x+\frac {\pi}{4})$ Nr. 1973
	$y'=3\cos(2x)$
	$y'=\frac{6\pi}{4}\cos(2x+\frac{\pi}{4})$
	$y'=3\cos(2x+\frac{\pi}{4})$
	$y'=3\sin(2x+\frac{\pi}{4})$
	$y'=6\cos(2x+\frac{\pi}{4})$

Bilde die Ableitung von $y=f(x)$ mit der Kettenregel. $y=4\cdot\cos(3x-\frac{\pi}{6})$ Nr. 1974
	$y'=4\sin(3x-\frac{\pi}{6})$
	$y'=12\sin(3x)$
	$y'=12\sin(3x-\frac{\pi}{6})$
	$y'=6\cos(3x+\frac{\pi}{6})$
	$y'=12\pi\cos(3x-\frac{\pi}{6})$

Bilde die Ableitung von $f(x)=y$ mit Hilfe der Kettenregel. $y=\frac{\sin x+\cos x}{\sin x\cdot\cos x}$ Nr. 1975
	$y'=\frac{\sin x+\cos x}{\sin x-\cos x}$
	$y'=\frac{\sin^3x-\cos^3x}{\sin^2x\cdot\cos^2x}$
	$y'=\frac{\sin^3x+\cos^3x}{\sin x\cdot\cos x}$
	$y'=\frac{\sin x-\cos x}{\sin^2x\cdot\cos^2x}$
	$y'=\frac{\sin^2x\cos x-\sin x\cos^2x}{\sin x\cdot\cos x}$

Bilde die Ableitung von $f(x)=y$ mit Hilfe der Kettenregel. $y=\frac{\sin x\cdot\cos x}{\sin x-\cos x}$ Nr. 1976
	$y'=\frac{\sin^2 x+\cos^2 x}{\sin x-\cos x}$
	$y'=\frac{\sin^3 x-\cos^3 x}{(\sin x-\cos x)^2}$
	$y'=\frac{\sin^3 x+\cos^3 x}{\sin x-\cos x}$
	$y'=-\frac{\sin^3 x+\cos^3 x}{(\sin x-\cos x)^2}$
	$y'=\frac{\sin^2 x-\cos^2 x}{(\sin x\cdot\cos x)}$

Drücken Sie y explizit aus und bilden Sie danach die Ableitung $y'(x)$ $e^{y-x^2} = \frac{1}{x}$ Nr. 2886
	$y'(x) = 2 x - \frac{1}{x}$
	$y'(x) = 2 x + x = 3x$
	$y'(x) = 2 x - \frac{1}{x^2}$
Lösungsweg $e^{y-x^2} = \frac{1}{x} \\ y - x^2 = \ln(\frac{1}{x}) \\ y (x) = x^2 + \ln(\frac{1}{x})$ $y' (x) = 2x + \frac{1}{\frac{1}{x}} \cdot (-\frac{1}{x^2}) \\ y'(x) = 2x - \frac{1}{x}$

Bilden Sie die erste Ableitung $y(x) = \frac{-3+x}{5x+2}$ Nr. 2888
	$y'(x) = \frac{17}{(5x+2)^2}$
	$y'(x) = \frac{5+4x}{(5x+2)^2}$
	$y'(x) = \frac{10x-1}{(5x+2)^2}$
Lösungsweg $y(x) = \frac{-3+x}{5x+2} \\ y(x) = (-3+x) \cdot \frac{1}{5x+2} \\ y'(x) = 1 \cdot \frac{1}{5x+2} + (-3+x) \cdot (-1) \cdot \frac{1}{(5x+2)^2} \cdot 5 \\$ $y'(x) = \frac{1}{5x+2} + \frac{(3-x)\cdot 5}{(5x+2)^2} \\ y'(x) = \frac{5x + 2 + 15 - 5x}{(5x+2)^2} \\ y'(x) = \frac{17}{(5x+2)^2}$

Bestimmen Sie die erste Ableitung mit Hilfe der Produktregel und Kettenregel: $y(x) = \tan(x)$ Nr. 2987
	$\frac{1 }{(\cos(x))^2}$
	$\frac{1 }{(\sin(x))^2}$
	$\frac1{(\tan(x))^2}$
Lösungsweg $y(x) = \tan(x) = \frac{\sin(x)}{\cos(x)} = \sin(x) \cdot (\cos(x))^{-1}$ $y'(x) = \cos(x) \cdot (\cos(x))^{-1} + \sin(x) \cdot (\cos(x))^{-2} \sin(x) = 1 + (\sin(x))^2 \cdot (\cos(x))^{-2} =$ $= \frac{(\cos(x))^2 + (\sin(x))^2 }{(\cos(x))^2} = \frac{1 }{(\cos(x))^2}$

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