Fragenliste von Produktregel

Bilde die Ableitung von $y=f(x)$ mit der Produktregel. $y=(1-2x)\cdot(3-x+2x^2)$ Nr. 1936
	$y'=-12x^2+8x-7$
	$y'=6x^2+8x-7$
	$y'=-12x^2+4x-14$
	$y'=12x^2+4x-7$
	$y'=-6x^2+8x-14$
Lösungsweg $y=(1-2x)\cdot(3-x+2x^2)$ setze $h(x)= 1-2x$ und $g(x)= 3-x+2x^2$ $h'(x)= -2 \\ g'(x)=4x-1$ $y'=h'(x)g(x)+h(x)g'(x)= -2 (3-x+2x^2)+(1-2x)(4x-1)=-12x^2+8x-7$

Bilde die Ableitung von $y=f(x)$ mit der Produktregel. $y=(3+2x)\cdot(2-x+x^2+3x^3)$ Nr. 1937
	$y'=6x^3+11x^2+x+1$
	$y'=24x^3+12x^2+6x+1$
	$y'=24x^3+33x^2+2x$
	$y'=24x^3+33x^2+2x+1$
	$y'=6x^3+12x^2+2x$

Bilde die Ableitung von $y=f(x)$ mit der Produktregel. $y=(3-2x)\cdot(3+x)\cdot(4-\frac{x}{2})$ Nr. 1938
	$y'=x^2-\frac{13}{2}x+36$
	$y'=3x^2-13x-\frac{36}{2}$
	$y'=3x^2-13x-33$
	$y'=x^2-\frac{13}{2}x-\frac{33}{2}$
	$y'=3x^2-13x-\frac{33}{2}$
Lösungsweg $y=(3-2x)\cdot(3+x)\cdot(4-\frac{x}{2})$ setze $h(x)= (3-2x)(3+x)=9-3x-x^2 ,\\ g(x)= 4-\frac x2$ $h'(x)=-3-4x \\ g'(x)=-\frac 12$ $y'= h'(x)g(x) + h(x)g'(x) = (-3-4x)(4-\frac x2) + (9-3x-2x^2)(-\frac 12)= 3x^2-13x-\frac {33}{2}$

Bilde die Ableitung von $y=f(x)$ mit der Produktregel. $y=(1+x)\cdot(3-2x)^2$ Nr. 1939
	$y'=4x^2-8x-9$
	$y'=12x^2-16x-3$
	$y'=4x^2-8x-3$
	$y'=12x^2-8x-3$
	$y'=12x^2+16x+9$

Bilde die Ableitung von $y=f(x)$ mit der Produktregel. $y=3x\sin x$ Nr. 1940
	$y'=3(\sin x+\cos x)$
	$y'=9(\sin x+\cos x)$
	$y'=3(x\sin x+ \cos x)$
	$y'=3(\sin x+x \cos x)$
	$y'=9(x\sin x+\cos x)$
Lösungsweg $y=3x\sin x$ setze $h(x)= 3x , \ g(x)= \sin x$ $h'(x)=3\\ g'(x)= \cos x$ $y'(x)= h'(x)g(x)+h(x)g'(x)= 3 \sin x + 3x \cos x = 3 (\sin x + x \cos x)$

Bilde die Ableitung von $y=f(x)$ mit der Produktregel. $y=4x\cos x$ Nr. 1941
	$y'=2(\cos x-\sin x)$
	$y'=4(\cos x-x\sin x)$
	$y'=4(x\cos x+x\sin x)$
	$y'=2(\cos x+\sin x)$
	$y'=4(x\cos x-\sin x)$

Bilde die Ableitung von $y=f(x)$ mit der Produktregel. $y=(1-2x+x^2)\cdot\cos x$ Nr. 1942
	$y'=-\left( (x-1)\sin x-2\cos x\right)$
	$y'=(x-1)\cdot\left(\sin x-2\cos x\right)$
	$y'=(x^2-1)\sin x-2\cos x$
	$y'=-x\cdot\left( (x-1)\sin x-2\cos x\right)$
	$y'=-(x-1)\cdot\left( (x-1)\sin x-2\cos x\right)$
Lösungsweg $y=(1-2x+x^2)\cdot\cos x$ setze $f(x)= 1-2x+x^2$ und $g(x)= \cos x$ $f'(x)= 0-2+2x$ , $g'(x)=- \sin x$ $y'= (2x-2) \cos x + (1-2x+x^2) (-\sin x)= 2x \cos x - 2\cos x -\sin x +2x \sin x -x^2 \sin x = -(x-1)\cdot\left( (x-1)\sin x-2\cos x\right)$

Bilde die Ableitung von $y=f(x)$ mit der Produktregel. $y=(x^2-6x-3)\cdot\sin x$ Nr. 1943
	$y'=(x^2-6x-3)\cos x+(2x-6)\sin x$
	$y'=(6x-3)\sin x+(2x-6)\cos x$
	$y'=(x^2-3)\cos x+(2x-6)\sin x$
	$y'=(x^2-6x-3)\sin x+(2x-6)\cos x$
	$y'=(2x-6)\cos x+(6x^2-3)\sin x$

Bilde die Ableitung von $y=f(x)$ mit der Produktregel. $y=2x\cdot\sin x\cdot\cos x$ Hinweis: Verwende zum Vereinfachen trigonometrische Formeln! Nr. 1944
	$y'=\sin (2x)+\cos (2x)$
	$y'=2x\sin x+x\cos x$
	$y'=\sin (2x)+2x\cos (2x)$
	$y'=\sin x-2x\cos x$
	$y'=\sin x+2x\cos x$
Lösungsweg $y=2x\cdot\sin x\cdot\cos x$ setze $f(x)= 2x , \ g(x)= \sin x , \ h(x) = \cos x$ $f'(x)=2, \ g'(x)= \cos x , \ h'(x)= - \sin x$ $y'= (2 \sin x + 2x \cos x ) \cos x + 2x \sin x (- \sin x)= 2 \sin x \cos x + 2x (\cos^2 x -\sin ^2 x)$ Umformen: $2 \sin x \cos x = \sin (2x)$ , $\cos^2 x - \sin ^2 x = \cos (2x)$ $y'= \sin(2x) + 2x \cos (2x)$

Bilde die Ableitung von $y=f(x)$ mit der Produktregel. $y=x^2\cdot\sin x\cdot\cos x$ Hinweis: Verwende zum Vereinfachen trigonometrische Formeln! Nr. 1945
	$y'=x\sin(2x)+x^2\cos(2x)$
	$y'=x\sin x-x\cos x$
	$y'=x(\sin(2x)+\cos(2x))$
	$y'=x\sin^2 x-x\cos^2 x$
	$y'=x^2\sin x+x\cos x$

Bilde die Ableitung von $y=f(x)$ mit der Produktregel. $y=3\cdot\sin x\cdot\sin x$ Nr. 1946
	$y'=6\cdot\sin( 2x)\cdot\cos (2x)$
	$y'=6\cdot\sin x\cdot\cos x$
	$y'=3\cdot\sin^2 x$
	$y'=3\cdot\sin (2x)\cdot\cos(2 x)$
	$y'=3\cdot\cos x\cdot\sin x$

Bilde die Ableitung von $y=f(x)$ mit der Produktregel. $y=4\cdot\cos x\cdot\cos x$ Nr. 1947
	$y'=4\cdot\sin x \cdot\cos x$
	$y'=-2\cdot\cos x \cdot\sin x$
	$y'=-8\cdot\sin x \cdot\cos x$
	$y'=4\cdot\sin x \cdot\cos^2 x$
	$y'=8\cdot\sin^2 x$

Drücken Sie y explizit aus und bilden Sie danach die Ableitung $y'(x)$ $xy - x + 2y = - 3$ Nr. 2887
	$y'(x) = \frac{1}{x+2} + \frac{3-x}{(x+2)^2}$
	$y'(x) = \frac{5}{(x+2)^2}$
	$y'(x) = \frac{1}{(x+2)^2}$
	$y'(x) = \frac{2x-1}{(x+2)^2}$
Lösungsweg $xy - x + 2y = - 3 \\ y = \frac{-3+x}{x+2} \\ y = (-3+x) \cdot \frac{1}{x+2}$ $y'(x) = 1 \cdot \frac{1}{x+2} + (-3+x) \cdot (-1) \cdot \frac{1}{(x+2)^2} \\ y'(x) = \frac{1}{x+2} + \frac{3-x}{(x+2)^2} \\ y'(x) = \frac{x+2+3-x}{(x+2)^2} \\ y'(x) = \frac{5}{(x+2)^2}$

Bilden Sie die erste Ableitung $y(x) = \frac{-3+x}{5x+2}$ Nr. 2888
	$y'(x) = \frac{17}{(5x+2)^2}$
	$y'(x) = \frac{5+4x}{(5x+2)^2}$
	$y'(x) = \frac{10x-1}{(5x+2)^2}$
Lösungsweg $y(x) = \frac{-3+x}{5x+2} \\ y(x) = (-3+x) \cdot \frac{1}{5x+2} \\ y'(x) = 1 \cdot \frac{1}{5x+2} + (-3+x) \cdot (-1) \cdot \frac{1}{(5x+2)^2} \cdot 5 \\$ $y'(x) = \frac{1}{5x+2} + \frac{(3-x)\cdot 5}{(5x+2)^2} \\ y'(x) = \frac{5x + 2 + 15 - 5x}{(5x+2)^2} \\ y'(x) = \frac{17}{(5x+2)^2}$

Bilden Sie die erste Ableitung $y(x) = x \cdot e^x$ Nr. 2889
	$y'(x) = e^x ( 1+x)$
	$y'(x) = e^x$
	$y'(x) = 1+e^x$
Lösungsweg $y(x) = x\cdot e^x \\ y'(x) = e^x + x e^x \\ y'(x) = e^x ( 1+x)$

Bilden Sie die erste Ableitung: $y(x) = x^2 \cdot e^x$ Nr. 2890
	$y'(x) = 2x + e^x$
	$y'(x) = e^x (2x + x^2)$
	$y'(x) = 2x e^x$
Lösungsweg $y(x) = x^2 + e^x \\ y'(x) = 2x e^x + e^x x^2$ $y'(x) = e^x (2x + x^2)$

Bilden Sie die erste Ableitung $y(x) = \frac{e^x}{x}$ Nr. 2891
	$y'(x) = -\frac{1}{x^2} e^x$
	$y'(x) = e^x \frac{x-1}{x^2}$
	$y'(x) = \ln(x) \cdot e^x$
Lösungsweg $y(x) = \frac{e^x}{x} \\ y(x) = e^x \cdot x^{-1} \\ y'(x) = e^x x^{-1} +e^x \cdot (-1) \cdot x^{-2} \\$ $y'(x) = e^x ( x^{-1} - x^{-2}) \\ y'(x) = e^x ( \frac{1}{x} - \frac{1}{x^2}) \\ y'(x) = e^x \frac{x-1}{x^2}$

Bilden Sie die erste Ableitung: $y(x) = \frac{x^2}{e^x}$ Nr. 2892
	$y'(x) = \frac{2x-x^2}{e^x}$
	$y'(x) = \frac{2x}{e^x}$
	$y'(x) = \frac{2x}{e^{2x}}$
	$y'(x) = \frac{2x-x^2}{e^{2x}}$
Lösungsweg $y(x) = \frac{x^2}{e^x} \\ y(x) = x^2 \cdot e^{-x} \\ y'(x) = 2x \cdot e^{-x} - x^2 \cdot e^{-x}$ $y'(x) =\frac{ 2x -x^2}{e^x}$

Bilden Sie die erste Ableitung: $y(x) = x \ln(x)$ Nr. 2893
	$y'(x) = \ln(x) + 1$
	$y'(x) = \frac{1}{x}$
	$y'(x) = 1$
	$y'(x) = \ln(x) + \frac{1}{x}$
Lösungsweg $y(x) = x \ln(x) \\ y'(x) = 1 \cdot \ln(x) + x \cdot \frac{1}{x} \\ y'(x) = \ln(x) + 1$

Bilden Sie die erste Ableitung: $y(x) = \frac{\ln(x) }{x}$ Nr. 2894
	$y'(x) = \frac{1-\ln(x)}{x^2}$
	$y'(x) = \frac{1}{x^2}$
	$y'(x) = \frac{1+ \ln(x)}{x^2}$
Lösungsweg $y(x) = \frac{\ln(x) }{x} = \ln(x) \cdot \frac{1}{x} = \ln(x) \cdot x^{-1} \\$ $y'(x) = \frac{1}{x} \cdot x^{-1} + \ln(x) \cdot (-1) \cdot x^{-2} \\ y'(x) = \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{x} - \ln(x) \cdot \frac{1}{x^2} \\ y'(x) = \frac{1-\ln(x) }{x^2}$

Bestimmen Sie die erste Ableitung: $f(x) = 4 \cdot \frac1{x^{\frac23}} + x$ Nr. 2936
	$f(x)' = -\frac83 \cdot \frac1{\sqrt[3]{x^5} }+ 1$
	$f(x)' = - \frac83 \cdot \frac1{\sqrt[3]{x^5} }$
	$f(x)' = \frac83 \cdot \frac1{\sqrt[5]{x^3} }+ 1$
	$f(x)' = \frac83 \cdot \sqrt[3]{x} }+ 1$
Lösungsweg $f(x) = 4 \cdot \frac1{x^{\frac23}} + x = f(x) = 4 \cdot x^{-\frac23} + x$ $f(x)' = -4 \frac23 \cdot x^{-\frac53} + 1= f(x)' = - \frac83 \cdot \frac1{x^{\frac53}} + 1= f(x)' = -\frac83 \cdot \frac1{\sqrt[3]{x^5} }+ 1$

Bestimmen Sie die erste Ableitung: $y(x) = e^x \cdot \sin(x)$ Nr. 2937
	$y'(x) = e^x \cdot( \sin(x) + \cos(x) )$
	$y'(x) = e^x \cdot \cos(x)$
	$y'(x) = e^x \cdot( \sin(x) - \cos(x) )$

Bestimmen Sie die erste Ableitung:

$y(x) = e^x \cdot \sin(x)$

Nr. 2937

$y'(x) = e^x \cdot( \sin(x) + \cos(x) )$

$y'(x) = e^x \cdot \cos(x)$

$y'(x) = e^x \cdot( \sin(x) - \cos(x) )$

Bestimmen Sie die erste Ableitung: $y(x) = e^x \cdot x^2$ Nr. 2938
	$y'(x) = e^x \cdot (x^2 + 2x)$
	$y'(x) = e^x \cdot 2x$
	$y'(x) = e^{x-1} \cdot (x^2 + 2x)$

Bestimmen Sie die erste Ableitung:

$y(x) = e^x \cdot x^2$

Nr. 2938

$y'(x) = e^x \cdot (x^2 + 2x)$

$y'(x) = e^x \cdot 2x$

$y'(x) = e^{x-1} \cdot (x^2 + 2x)$

Bestimmen Sie die zweite Ableitung von : $y(x) = x^2 e^x$ Nr. 2939
	$y''(x) = e^x \cdot ( x^2 + 4x + 2 )$
	$y''(x) = e^x \cdot ( x^2 + 2x + 2 )$
	$y''(x) = e^x \cdot 2$
Lösungsweg $y(x) = e^x x^2$ $y'(x) = e^x \cdot (x^2 + 2x)$ $y''(x) = e^x \cdot ( x^2 + 4x + 2 )$

Bestimmen Sie die erste Ableitung von $y(x) = \frac1{3x^6}$ Nr. 2940
	$y'(x) = - \frac2{x^7}$
	$y'(x) = \frac2{x^7}$
	$y'(x) = - \frac2{x^5}$
Lösungsweg $y(x) = \frac1{3x^6} = \frac13 x^{-6}$ $y'(x) = \frac13 \cdot (-6) \cdot x^{-7} = - \frac2{x^7}$

Bestimmen Sie die erste Ableitung mithilfe der Produktregel: $y(x) = (\sin(x))^2$ Nr. 2941
	$y'(x) = 2 \sin(x)$
	$y'(x) = \sin(x) \cos(x)$
	$y'(x) = 2 \sin(x) \cos(x)$
Lösungsweg $y(x) = (\sin(x))^2 = \sin(x) \cdot \sin(x)$ $y'(x) = \sin(x) \cos(x) + \sin(x) \cos(x) = 2 \sin(x) \cos(x)$

Bestimmen Sie die erste Ableitung mithilfe der Produktregel: $y(x) = (\cos(x))^2$ Nr. 2942
	$y'(x) = - 2 \sin(x)\cos(x)$
	$y'(x) = 2 \sin(x)\cos(x)$
	$y'(x) = 2 \sin(x)$
Lösungsweg $y(x) = (\cos(x))^2 = \cos(x) \cos(x)$ $y'(x) = - \sin(x) \cos(x) - \sin(x) \cos(x) = - 2\sin(x) \cos(x)$

Bestimmen Sie die erste Ableitung von $f(x) = \frac{e^x}{x^2}$ Nr. 2943
	$f'(x) = e^x ( \frac1{x^2} - \frac2{x^3})$
	$f'(x) = -e^x \frac2{x^3}$
	$f'(x) = e^x ( \frac1{x^2} - \frac2{x})$
Lösungsweg $f(x) = \frac{e^x}{x^2} = e^x \cdot x^{-2}$ $f'(x) = e^x x^{-2} - 2 e^x x^{-3} = e^x ( \frac1{x^2} - \frac2{x^3})$

Bestimmen Sie die erste Ableitung: $y(x) = x \cdot \ln(x)$ Nr. 2944
	$y'(x) = \ln(x) + 1$
	$y'(x) = \ln(x)$
	$y'(x) = \ln(x) + x^2$
Lösungsweg $y(x) = x \cdot \ln(x)$ $y'(x) = \ln(x) + x \frac1x = \ln(x) + 1$

Bestimmen Sie die zweite Ableitung: $y(x) = x \cdot \ln(x)$ Nr. 2945
	$y''(x) = \frac1x$
	$y''(x) = 0$
	$y''(x) = 1$
Lösungsweg $y(x) = x \cdot \ln(x)$ $y'(x) = \ln(x) + x \frac1x = \ln(x) + 1$ $y''(x) = \frac1x$

Bestimmen Sie mithilfe der Produktregel die erste Ableitung: $y(x) = (\sin(x) ) ^2 + (\cos(x))^2$ Nr. 2946
	$y'(x) = 0$
	$y'(x) = 2\sin(x) + 2\cos(x)$
	$y'(x) = 4\sin(x) \cos(x)$
Lösungsweg $y(x) = (\sin(x) ) ^2 + (\cos(x))^2 = \sin(x) \sin(x) + \cos(x) \cos(x)$ $y'(x) = \sin(x) \cos(x) + \sin(x) \cos(x) - \sin(x) \cos(x) - \sin(x) \cos(x) = 0$

Bestimmen Sie die erste Ableitung: $y(x) = \sin(x) \cos(x)$ Nr. 2947
	$y'(x) = (\cos(x))^2 - (\sin(x))^2$
	$y'(x) = (\cos(x))^2+(\sin(x))^2$
	$y'(x) =(\sin(x))^2- (\cos(x))^2$

Bestimmen Sie die erste Ableitung:

$y(x) = \sin(x) \cos(x)$

Nr. 2947

$y'(x) = (\cos(x))^2 - (\sin(x))^2$

$y'(x) = (\cos(x))^2+(\sin(x))^2$

$y'(x) =(\sin(x))^2- (\cos(x))^2$

Bestimmen Sie die erste Ableitung mit Hilfe der Produktregel und Kettenregel: $y(x) = \tan(x)$ Nr. 2987
	$\frac{1 }{(\cos(x))^2}$
	$\frac{1 }{(\sin(x))^2}$
	$\frac1{(\tan(x))^2}$
Lösungsweg $y(x) = \tan(x) = \frac{\sin(x)}{\cos(x)} = \sin(x) \cdot (\cos(x))^{-1}$ $y'(x) = \cos(x) \cdot (\cos(x))^{-1} + \sin(x) \cdot (\cos(x))^{-2} \sin(x) = 1 + (\sin(x))^2 \cdot (\cos(x))^{-2} =$ $= \frac{(\cos(x))^2 + (\sin(x))^2 }{(\cos(x))^2} = \frac{1 }{(\cos(x))^2}$

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