Fragenliste von Operationen mit Funktionen

Was ist die Umkehrfunktion der Funktion $/$ f(x)=4x-1, X=Y=\mathbb{R}$ Nr. 348
	$/$ f^{-1}(x)=\frac{1}{4x-1}$
	$/$ f^{-1}(x)=4x$
	$/$ f^{-1}(x)=\frac{1}{4}(x+1)$
Lösungsweg $4x-1=y \\ 4x=y+1\\ x=\frac{y+1}4$ $f^{-1}(x)=\frac{x+1}{4}$

Was ist die Umkehrfunktion der Funktion: $/$ f(x)=x^2, X=Y=\lbrace x\|x \in \mathbb{R}, x \geq 0 \rbrace$ Nr. 349
	Keine Umkehrfunktion möglich
	$/$ f^{-1}(x)=\sqrt{x}$
	$/$ f^{-1}(x)=\frac x 2$
Lösungsweg $y= x^2 \\ \sqrt{y}=\sqrt{x^2}\\ x= \sqrt{y}$

Was ist die Umkehrfunktion der Funktion $/$ f(x)=\frac 1 x, X=Y=\lbrace{x\|x \in \mathbb{R}, x > 0\rbrace$ ? Nr. 350
	$/$ f^{-1}(x)=\frac 1 x$
	$/$ f^{-1}(x)=x$
	$/$ f^{-1}(x)=x^2$
Lösungsweg $y=\frac 1x\\ x=\frac 1y$

Was ist die Umkehrfunktion der Funktion $/$ f(x)=2^x, X=\mathbb{R}^+ \setminus \lbrace 0 \rbrace$ ? Nr. 351
	$/$ f^{-1}(x)=x^2$
	Keine Umkehrfunktion möglich.
	$/$ f^{-1}(x)=log_2(x)$
	$/$ f^{-1}(x)=\sqrt{x}$
Lösungsweg $y=2^x\\ \log_2 y= \log_2 2^x\\ x= \log_2 y$

Was ist die Umkehrfunktion der Funktion $/$ f(x)=2x+1, X=Y=\mathbb{R}$ ? Nr. 352
	$/$ f^{-1}(x)=\frac{x-1}{2}$
	$/$ f^{-1}(x)= \frac{x}{2}-1$
	$/$ f^{-1}(x)=\sqrt{x+1}$
Lösungsweg $y=2x+1\\ y-1=2x\\ x= \frac{y-1}{2}$

Die Fallhöhe s in Metern nach der Fallzeit ts in Sekunden kann durch die Gleichung $s(t_s)=\frac g2 \cdot t_s^{\ 2}$ berechnet werden. g = 9,81m/s² beschreibt die Erdbeschleunigung an der Erdoberfläche. Wie lautet eine Beschreibung desselben physikalischen Vorgangs, wenn man t in Minuten angibt? Nr. 2192
	$s(t_{min})= 60 \cdot \frac g2 \cdot t_{s}^2$
	$s(t_{min})= 3600 \cdot \frac g2 \cdot t_{min}^2$
	$s(t_{min})= 120 \cdot \frac g2 \cdot t_{min}^2$
Lösungsweg Skalierung der Funktion $s(t_s)=\frac gs \cdot t_s^{\ 2} = \frac g2 \cdot (60\cdot t_{min})^2= 3600 \cdot \frac g2 \cdot t_{min}^2=s(t_{min})$

Bilden Sie die Umkehrfunktion $/$ f(x)=e^x, X=\mathbb{R}$ Nr. 2252
	$f^{-1}(x)=\ln x$
	$f^{-1}(x)=\sqrt x$
	keine Umkehrfunktion möglich
Lösungsweg Funktion ist mit $X=\mathbb{R}$ nicht injektiv

Bilden Sie die Umkehrfunktion

$/$ f(x)=e^x, X=\mathbb{R}^+$

Nr. 2253

$f^{-1}(x)=\ln x$

$f^{-1}(x)=\sqrt[e] x$

keine Umkehrfunktion möglich

Gegeben sei die Funktion $f(x) :\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R^}, x \rightarrow f(x) = e^x$ . Verschieben Sie den Graphen der Funktion um 2 Einheiten nach oben. Wie lautet die neue Funktionsvorschrift? Nr. 2320
	$f(x) :\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R^}, x \rightarrow f(x) = e^{x+2}$
	$f(x) :\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R^}, x \rightarrow f(x) = e^{x-2}$
	$f(x) :\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R^}, x \rightarrow f(x) = e^x +2$
	$f(x) :\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R^}, x \rightarrow f(x) = e^x-2$
	$f(x) :\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R^}, x \rightarrow f(x) = 2 \cdot e^x$

Gegeben sei die Funktion $f(x) :\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R^}, x \rightarrow f(x) = e^x$ . Verschieben Sie den Graphen der Funktion um 2 Einheiten nach unten. Wie lautet die neue Funktionsvorschrift? Nr. 2321
	$f(x) :\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R^}, x \rightarrow f(x) = e^{x+2}$
	$f(x) :\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R^}, x \rightarrow f(x) = e^{x-2}$
	$f(x) :\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R^}, x \rightarrow f(x) = e^x +2$
	$f(x) :\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R^}, x \rightarrow f(x) = e^x-2$
	$f(x) :\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R^}, x \rightarrow f(x) = 2 \cdot e^x$

Gegeben sei die Funktion $f(x) :\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R^}, x \rightarrow f(x) = e^x$ . Verschieben Sie den Graphen der Funktion um 2 Einheiten nach rechts. Wie lautet die neue Funktionsvorschrift? Nr. 2322
	$f(x) :\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R^}, x \rightarrow f(x) = e^{x+2}$
	$f(x) :\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R^}, x \rightarrow f(x) = e^{x-2}$
	$f(x) :\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R^}, x \rightarrow f(x) = e^x +2$
	$f(x) :\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R^}, x \rightarrow f(x) = e^x-2$
	$f(x) :\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R^}, x \rightarrow f(x) = 2 \cdot e^x$

Gegeben sei die Funktion $f(x) :\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R^}, x \rightarrow f(x) = e^x$ . Verschieben Sie den Graphen der Funktion um 2 Einheiten nach links. Wie lautet die neue Funktionsvorschrift? Nr. 2323
	$f(x) :\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R^}, x \rightarrow f(x) = e^{x+2}$
	$f(x) :\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R^}, x \rightarrow f(x) = e^{x-2}$
	$f(x) :\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R^}, x \rightarrow f(x) = e^x +2$
	$f(x) :\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R^}, x \rightarrow f(x) = e^x-2$
	$f(x) :\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R^}, x \rightarrow f(x) = 2 \cdot e^x$

Gegeben sei die Funktion $f(x) :\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R^}, x \rightarrow f(x) = e^x$ . Strecken Sie den Graphen um 2 Einheiten. Wie lautet die neue Funktionsvorschrift? Nr. 2324
	$f(x) :\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R^}, x \rightarrow f(x) = e^{x+2}$
	$f(x) :\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R^}, x \rightarrow f(x) = e^{x-2}$
	$f(x) :\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R^}, x \rightarrow f(x) = e^x +2$
	$f(x) :\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R^}, x \rightarrow f(x) = e^x-2$
	$f(x) :\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R^}, x \rightarrow f(x) = 2 \cdot e^x$

Gegeben sei die Funktion $f(x) :\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R^}, x \rightarrow f(x) = x^2$ . Verschieben Sie den Graphen der Funktion um 2 Einheiten nach oben. Wie lautet die neue Funktionsvorschrift? Nr. 2325
	$f(x) :\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R^}, x \rightarrow f(x) = x^2+2$
	$f(x) :\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R^}, x \rightarrow f(x) = x^2-2$
	$f(x) :\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R^}, x \rightarrow f(x) = (x+2)^2$
	$f(x) :\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R^}, x \rightarrow f(x) = (x-2)^2$
	$f(x) :\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R^}, x \rightarrow f(x) = x^4$

Gegeben sei die Funktion $f(x) :\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R^}, x \rightarrow f(x) = x^2$ . Verschieben Sie den Graphen der Funktion um 2 Einheiten nach unten. Wie lautet die neue Funktionsvorschrift? Nr. 2326
	$f(x) :\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R^}, x \rightarrow f(x) = x^2+2$
	$f(x) :\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R^}, x \rightarrow f(x) = x^2-2$
	$f(x) :\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R^}, x \rightarrow f(x) = (x+2)^2$
	$f(x) :\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R^}, x \rightarrow f(x) = (x-2)^2$
	$f(x) :\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R^}, x \rightarrow f(x) = x^4$

Gegeben sei die Funktion $f(x) :\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R^}, x \rightarrow f(x) = x^2$ . Verschieben Sie den Graphen der Funktion um 2 Einheiten nach rechts. Wie lautet die neue Funktionsvorschrift? Nr. 2327
	$f(x) :\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R^}, x \rightarrow f(x) = x^2+2$
	$f(x) :\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R^}, x \rightarrow f(x) = x^2-2$
	$f(x) :\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R^}, x \rightarrow f(x) = (x+2)^2$
	$f(x) :\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R^}, x \rightarrow f(x) = (x-2)^2$
	$f(x) :\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R^}, x \rightarrow f(x) = x^4$

Wie lautet die Umkehrfunktion von $f(x): \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R^+}, f(x) = e^x$ ? Nr. 2598
	$f(x)^{-1} = \ln ( x)$
	$f(x)^{-1} = \frac{1}{e^x}$
	$f(x)^{-1} = - e^x$
	$f(x)^{-1} = e^{\frac{1}{x}}$
	Es existiert keine eindeutige Umkehrfunktion.
Lösungsweg $e^x = y \\ x = \ln (y) \\ f^{-1} (x) = \ln (x)$

Wie lautet die Umkehrfunktion von $f(x): \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, f(x) = a \cdot x; a \in \mathbb{R} \setminus \lbrace 0 \rbrace$ ? Nr. 2599
	$f(x)^{-1} = \frac{1}{a} \cdot x$
	$f(x)^{-1} = \frac{x}{a}$
	$f(x)^{-1} = \frac{a}{x}$
	$f(x)^{-1} = - \frac{x}{a}$
	Es existiert keine Umkehrfunktion.
Lösungsweg $a \cdot x = y \\ x = \frac{y}{a} = \frac{1}{a} \cdot y \\ f^{-1} = \frac{x}{a} = \frac{1}{a} \cdot x$

Wie lautet die Umkehrfunktion von $f(x): \mathbb{R^+} \rightarrow \mathbb{R^+}, f(x) = x^2$ ? Nr. 2600
	$f(x)^{-1} = \sqrt{x}$
	$f(x)^{-1} = - \sqrt{x}$
	$f(x)^{-1} = x^{-2}$
	$f(x)^{-1} = x^{\frac{1}{2}}$
	Es existiert keine Umkehrfunktion.
Lösungsweg $y = x^2 \\ x = \sqrt y = y^{\frac{1}{2}} \\ f^{-1}(x) = \sqrt x = x^{\frac{1}{2}}$

Wie lautet die Umkehrfunktion von $f(x): \mathbb{R^+} \rightarrow \mathbb{R^+}, f(x) = x^k; \vspace k \in \mathbb{N} \setminus \lbrace 0 \rbrace$ ? Nr. 2601
	$f(x)^{-1} = k \cdot x$
	$f(x)^{-1} = x^{\frac{1}{k}}$
	$f(x)^{-1} = - \sqrt[k]{x}$
	$f(x)^{-1} = x^{-k}$
	$f(x)^{-1} = \sqrt[k]{x}$
Lösungsweg $y = x^k \\ x = \sqrt[k]{y} = y^{\frac{1}{k}}\\ f(x)^{-1} = \sqrt[k]{x} = x^{\frac{1}{k}}$

Wie lautet die Umkehrfunktion von $f(x): \mathbb{R}^+ \setminus \lbrace 0 \rbrace \rightarrow \mathbb{R}^+ \setminus \lbrace 0 \rbrace, f(x) = \frac{1}{x}$ ? Nr. 2602
	$f(x)^{-1} = \frac{1}{x}$
	$f(x)^{-1} = - \frac{1}{x}$
	$f^{-1} (x) = x^{-1}$
	$f(x)^{-1} = x$
	$f(x)^{-1} = -x$
Lösungsweg $y = \frac{1}{x} \\ x \cdot y = 1 \\ x = \frac{1}{y} = y^{-1} \\ f^{-1}(x) = \frac{1}{x} = x^{-1} \\$

Wie lautet die Umkehrfunktion von $f(x) : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, f(x) = x$ Nr. 2603
	$f^{-1} (x) = - x$
	$f(x)^{-1} = \frac{1}{x}$
	$f(x)^{-1} = - \frac{1}{x}$
	$f^{-1} (x) = x$
Lösungsweg $y = x \\ x = y \\ f^{-1} (x) = x$

Wie lautet die Umkehrfunktion von $f(x): \mathbb{R} \setminus \lbrace -1 \rbrace \rightarrow \mathbb{R}\setminus \lbrace 0 \rbrace, f(x) = \frac{1}{x+1}$ ? Nr. 2604
	$f(x)^{-1} = - \frac{1}{x} +1$
	$f(x)^{-1} = \frac{1}{x} -1$
	$f(x)^{-1} = \frac{1}{x-1}$
	$f(x)^{-1} = x-1$
	$f(x)^{-1} = \frac{1-x}{x}$
Lösungsweg $y = \frac{1}{x+1} \\ y \cdot (x+1) = 1 \\ x + 1 = \frac{1}{y} \\ x = \frac{1}{y} -1 \\ f^{-1} (x) = \frac{1}{x} -1 = \frac{1-x}{x}$

Wie lautet die Umkehrfunktion von $f(x) : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, f(x) = \frac{1}{2} \cdot x + 1$ ? Nr. 2605
	$f^{-1} (x) = 2 \cdot x - 2$
	$f^{-1} (x) = 2 \cdot (x-1)$
	$f(x)^{-1} = 2 \cdot x + 1$
	$f(x)^{-1} = 2 \cdot x - 1$
Lösungsweg $y = \frac{1}{2} \cdot x + 1 \\ y - 1 = \frac{1}{2} \cdot x \\ 2 \cdot (y-1) = x \\ f^{-1}(x) = 2\cdot (x-1) = 2 \cdot x - 2$

Wie lautet die Umkehrfunktion von $f(x): [- \frac{\pi}{2} ; \frac{\pi}{2}] \rightarrow [-1;1], f(x) = \sin(x)$ ? Nr. 2606
	$f^{-1} (x) = \cos(x)$
	$f^{-1} (x)= - \sin(x)$
	$f^{-1}(x) = \arccos(x)$
	$f^{-1}(x) = \arcsin(x)$
	$f^{-1}(x) = \frac{1}{\sin(x)}$

Wie lautet die Umkehrfunktion von $f(x): [0 ; \pi ] \rightarrow [-1;1], f(x) = \cos(x )$ ? Nr. 2607
	$f^{-1} (x) = - \cos(x)$
	$f^{-1} (x) = \sin(x)$
	$f^{-1} (x) = \arccos(x)$
	$f^{-1} (x) = \arcsin(x)$
	$f^{-1} (x)= \frac{1}{\cos(x)}$

Wie lautet die Umkehrfunktion von $f(x): (- \frac{\pi}{2} ; \frac{\pi}{2}) \rightarrow \mathbb{R}, f(x) = \tan(x)$ ? Nr. 2608
	$f^{-1} (x)= \frac{\cos(x)}{\sin(x)}$
	$f^{-1} (x)= \frac{\sin(x)}{\cos(x)}$
	$f^{-1}(x) = - \tan(x)$
	$f^{-1}(x) = \arctan(x)$
	$f^{-1} (x)= \frac{1}{\tan(x)}$

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