Fragenliste von Exponentialgleichungen

Die Gleichung $3^x=7$ ist erfüllt, falls: Nr. 113
	$x=\log_3 7$
	$x=\log_7 3$
	$x=\frac{\ln 7}{\ln 3}$

Die Gleichung $4^{x+2}=9$ ist erfüllt, falls: Nr. 114
	$x=\log_4 9-2$
	$x=\log_9 4-2$
	$x=\frac{\log 9-2}{\log 4}$

Die Gleichung $4^x=8^{x+4}$ ist erfüllt, falls: Nr. 115
	$x=-12$
	$x=-4-\frac{4}{\log_4 2}$
	$x=-4\ln 2-\frac{4\ln 4}{\ln 2}$

Die Gleichung $2y=2^x$ ist erfüllt, falls: Nr. 116
	$x=\log _2(2y)$
	$x=\log_2 y$
	$x=1+\log_2 y$

Die Gleichung $2^{x-1}=5^{2x+1}$ ist erfüllt, falls: Nr. 117
	$x=\frac{\ln 2+\ln 5}{\ln 2-2\ln 5}$
	$x=\frac{1+\log_2 5}{1-2\log_2 5}$
	$x=1-\frac{\ln 5}{2\ln 5}$

Lösen Sie die Gleichung nach $\tau$ auf! $u_{c}(t)=U_{0}\cdot e^{-\frac{t}{\tau}$ Nr. 1370
	$\tau=ln\left (1-\frac{u_{c}(t)}{U_{0}}\right )$
	$\tau= \frac{t}{ln\left (\frac{U_{0}}{u_{c}(t)}\right )$
	$\tau=\frac{t}{ln\left (\frac{u_{c}(t)}{U_{0}}\right )$
	$\tau=\frac{t}{ln\left (1+\frac{u_{c}(t)}{U_{0}}\right )$
	$\tau= 1-\frac{u_{c}(t)}{U_{o}$
Lösungsweg $u_{c}(t)=U_{0}\cdot e^{-\frac{t}{\tau}$ $\ln u_{c}=\ln(U_{0}\cdot e^{-\frac{t}{\tau}})$ $\ln u_{c}=\ln(U_{0})+\ln( e^{-\frac{t}{\tau}})$ $\ln u_{c}-\ln(U_{0})=-\frac{t}{\tau}$ $\frac{t}{-\ln u_{c}+\ln U_{0}}=\tau$ $\frac{t}{\ln \frac{U_0}{u_{c}(t)}}=\tau$

Lösen Sie die Gleichung $u(t)=U_0 (1-e^{-\frac{t}{\tau}})$ nach $\tau$ auf! Nr. 1371
	$\tau=ln\left (1-\frac{u_{c}(t)}{U_{o}}\right )$
	$\tau= 1-\frac{u_{c}(t)}{U_{o}}$
	$\tau=\frac{t}{ln\left (\frac{u_{c}(t)}{U_{0}}\right )$
	$\tau= -\frac{t}{ln\left (1-\frac{u_{c}(t)}{U_{0}}\right )$
	$\tau=\frac{t}{ln\left (\frac{U_{0}(t)}{u_{c}}\right )$
Lösungsweg $u(t)=U (1-e^{-\frac{t}{\tau}})$ $1-\frac{u(t)}{U}=e^{-\frac{t}{\tau}}$ $\ln (1-\frac{u(t)}{U})=\ln(e^{-\frac{t}{\tau}})$ $\ln (1-\frac{u(t)}{U})=-\frac{t}{\tau}$ $-\frac{t}{\ln (1-\frac{u(t)}{U})}=\tau$

Berechnen Sie $L_{T}$ ! $10^{\frac{L_{T}-L}{10}}=\frac{A}{10}$ Nr. 1372
	$L_{T}=10\left (lgA-1\right)+L$
	$L_{T}=10L\left (lgA+1\right)$
	$L_{T}=lg\frac{AL}{10}$
	$L_{T}=ln\frac{AL}{10}$
	$L_{T}=\frac{lgA-1}{10 L}$
Lösungsweg $10^{\frac{L_{T}-L}{10}}=\frac{A}{10}$ $\frac{L_{T}-L}{10}=\lg\frac{A}{10}$ $L_{T}-L=10\cdot (\lg A- \lg 10)$ $L_{T}=10\cdot (\lg A -1) +L$

Berechnen Sie k! $T\cdot V^{k-1}=C$ Nr. 1373
	$k= \frac{ln\frac{C}{T}}{lnV}$
	$k= \frac{lg\frac{C}{T}}{lgV}$
	$k= \frac{lg\frac{C}{T}}{lgV}-1$
	$k= \frac{lg\frac{C}{T}}{lgV}+1$
	$k= \frac{ln\frac{C}{T}}{lnV}+1$
Lösungsweg $T\cdot V^{k-1}=C$ $V^{k-1}=\frac{C}{T}$ $\log_V V^{k-1}= \log_V \frac{C}{T}$ $k-1= \frac{\ln \frac{C}{T}}{\ln V}$ $k= \frac{\ln \frac{C}{T}}{\ln V}+1$

Berechnen Sie t! $R=e^{-(\frac{t}{T})^b}$ Nr. 1375
	$R=e{-(\frac{t}{T})^b}$
	$t=\left [ln(\frac{1}{R})\right]^{\frac{1}{b}$
	$t= T\cdot\left [ln(\frac{1}{R})\right]^{\frac{1}{b}$
	$t=\left [ln(\frac{1}{R})\right]^{\frac{1}{b}-T$
	$t=R\cdot\left [ln(\frac{1}{T})\right]^{\frac{1}{b}$
Lösungsweg $R=e^{-(\frac{t}{T})^b}$ $\ln R=\ln (e^{-(\frac{t}{T})^b})$ $\ln R=-\frac{t^b}{T^b}$ $\sqrt[b]{-\ln R\cdot T^b}=t$ $\sqrt[b]{\ln \frac{1}{R}}\cdot T}=t$

Lösen Sie für s! $v^2=\frac{m\cdot g}{k} \cdot \left(1-e^{-\frac{2k}{m} \cdot s} \right)$ Nr. 1376
	$s=\frac{2k}{m} \cdot ln \left(1-\frac{v^2\cdot k}{ m \cdot g} \right)$
	$s=\frac{m}{2k} \cdot ln\left(1-\frac{v^2 \cdot k}{m \cdot g} \right)$
	$s=-\frac{2k}{m} \cdot ln\left(1-\frac{v^2 \cdot k}{m \cdot g} \right)$
	$s=-\frac{m}{2k} \cdot ln\left(1-\frac{v^2 \cdot k}{m \cdot g} \right)$
	$s= \frac{ln \cdot2k}{m}\left(1-\frac{v^2 \cdot k}{m \cdot g} \right)$
Lösungsweg $v^2=\frac{m\cdot g}{k} \cdot \left(1-e^{-\frac{2k}{m} \cdot s} \right)$ $1-\frac{v^2 \cdot k}{m\cdot g}=e^{-\frac{2k}{m} \cdot s}$ $\ln(1-\frac{v^2 \cdot k}{m\cdot g})=\ln(e^{-\frac{2k}{m} \cdot s} )$ $\ln(1-\frac{v^2 \cdot k}{m\cdot g})=-\frac{2k}{m} \cdot s$ $-\frac{m}{2k} \cdot\ln(1-\frac{v^2 \cdot k}{m\cdot g})= s$

Lösen Sie für k! $\frac{T_{1}}{T_{2}}=\left( \frac{V_{2}}{V_{1}}\right)^{k-1}$ Nr. 1377
	$k=\frac{ln\left(\frac{T_{1}}{T_{2}}\right)}{ln\left(\frac{V_{1}}{V_{2}}\right)+1$
	$k=\frac{ln\left(\frac{T_{1}}{T_{2}}\right)}{ln\left(\frac{V_{2}}{V_{1}}\right)}+1$
	$k=1+\frac{ln\left(\frac{T_{1}}{T_{2}}\right)}{ln\left(\frac{V_{2}}{V_{1}}\right)$
	$k=1-\frac{ln\left(\frac{T_{1}}{T_{2}}\right)}{ln\left(\frac{V_{1}}{V_{2}}\right)$
	$k=ln\frac{ln\left(\frac{T_{1}}{T_{2}}\right)}{ln\left(\frac{V_{1}}{V_{2}}\right)$
Lösungsweg $\frac{T_{1}}{T_{2}}=\left( \frac{V_{2}}{V_{1}}\right)^{k-1}$ $\log_{\frac{V_2}{V_1}}\frac{T_{1}}{T_{2}}=\log_{\frac{V_2}{V_1}}\left( \frac{V_{2}}{V_{1}}\right)^{k-1}$ $\frac{\ln\frac{T_{1}}{T_{2}}}{\ln\frac{V_2}{V_1}}}=k-1$ $\frac{\ln\frac{T_{1}}{T_{2}}}{\ln\frac{V_2}{V_1}}}+1=k$

Lösen Sie nach k auf! $\frac{p_{2}}{p_{1}}=\left(\frac{T_{2}}{T_{1}}\right)^{\frac{k}{k-1}}$ Nr. 1378
	$k= \frac{ln \left(\frac{p_{2}}{p_{1}}\right)}{ln\left(\frac{T_{2}}{T_{1}}\right)}$
	$k=\frac{k}{k-1}\cdot\frac{ln \left(\frac{p_{2}}{p_{1}}\right)}{ln\lef(\frac{T_{2}}{T_{1}}\right)$
	$k= \frac{ln\left(\frac{p_{2}}{p_{1}}\right)}{ln\left(\frac{p_{2}\cdot T_{1}}{p_{1}\cdot T_{2}}\right)$
	$k=\frac{ln\left(\frac{p_{2}}{p_{1}}\right)}{ln\left(\frac{p_{2}}{p_{1}}\right)-ln\left(\frac{T_{2}}{T_{1}}\right)}$
	$k=\frac{ln\left(\frac{p_{2}}{p_{1}}\right)}{ln\left(\frac{p_{2}}{p_{1}}\right)\cdot ln\left(\frac{T_{2}}{T_{1}}\right)}$
Lösungsweg $\frac{p_{2}}{p_{1}}=\left(\frac{T_{2}}{T_{1}}\right)^{\frac{k}{k-1}}$ $\log_{\frac{T_{2}}{T_{1}}}\frac{p_{2}}{p_{1}}=\log_{\frac{T_{2}}{T_{1}}}\left(\frac{T_{2}}{T_{1}}\right)^{\frac{k}{k-1}}$ $\frac{\ln\frac{p_{2}}{p_{1}}}{\ln\frac{T_{2}}{T_{1}}}}=\frac{k}{k-1}$ $\frac{\ln\frac{p_{2}}{p_{1}}}{\ln\frac{T_{2}}{T_{1}}}}\cdot (k-1)=k$ $\frac{\ln\frac{p_{2}}{p_{1}}}{\ln\frac{T_{2}}{T_{1}}}}\cdot k - \frac{\ln\frac{p_{2}}{p_{1}}}{\ln\frac{T_{2}}{T_{1}}}}-k=0$ $k\cdot \left( \frac{\ln\frac{p_{2}}{p_{1}}}{\ln\frac{T_{2}}{T_{1}}} - 1 \right) =\frac{\ln\frac{p_{2}}{p_{1}}}{\ln\frac{T_{2}}{T_{1}}}}$ $k=\frac{\frac{\ln\frac{p_{2}}{p_{1}}}{\ln\frac{T_{2}}{T_{1}}}}{\frac{\ln\frac{p_{2}}{p_{1}}}{\ln\frac{T_{2}}{T_{1}}} - 1 }$ $k=\frac{\ln\frac{p_{2}}{p_{1}}}{\ln\frac{T_{2}}{T_{1}}}\cdot \frac{\ln\frac{T_{2}}{T_{1}}}{\ln\frac{p_{2}}{p_{1}}-\ln\frac{T_{2}}{T_{1}}}}$ $k=\frac{\ln\frac{p_{2}}{p_{1}}}{\ln\frac{p_{2}}{p_{1}}-\ln\frac{T_{2}}{T_{1}}}}$ $k=\frac{\ln\frac{p_{2}}{p_{1}}}{\ln(\frac{p_{2}}{p_{1}}\cdot \frac{T_{1}}{T_{2}})}$

Lösen Sie die Gleichung für $E_{F}$ $f=\frac{A}{e^{\frac{E_{0}-E_{F}}{kT}}-1$ Nr. 1379
	$E_{F}=ln\left(\frac{A}{f}+1\right)$
	$E_{F}=k\cdot T \cdot ln \left(\frac{A}{f}+1\right)$
	$E_{F}=E_{0}-k\cdot T\cdot ln\left(\frac{A}{f}+1\right)$
	$E_{F}= k- E_{0} \cdot T\cdot ln\left(\frac{A}{f}+1\right)$
	$E_{F}= E_{0}-k\cdot T\cdot ln\left(\frac{A}{f}-1\right)$
Lösungsweg $f=\frac{A}{e^{\frac{E_{0}-E_{F}}{kT}}-1$ $e^{\frac{E_{0}-E_{F}}{kT}}=\frac{A}{f}+1$ $\ln e^{\frac{E_{0}-E_{F}}{kT}}=\ln\frac{A}{f}+1$ $-E_{F}=\ln(\frac{A}{f}+1)\cdot kT-E_0$ $E_{F}=E_0-\ln(\frac{A}{f}+1)\cdot kT$

Lösen Sie die Gleichung $e\cdot x^x=e^{2x+1}$ nach x auf. Nr. 1380
	$x=\ln 2$
	$x=\ln (e+1)$
	$x=\ln (e^2)$
	$x=e^{\ln 2}$
	$x=e ^2$
Lösungsweg $e\cdot x^x=e^{2x+1}$ $\ln (e\cdot x^x)=\ln e^{2x+1}$ $1+\ln x^x=2x+1$ $1+x\ln x=2x+1$ $\ln x=2$ $e^{\ln x}=e^2$ $x=e^2$

Berechnen Sie x für: $x^{lnx}=e$ Nr. 1382
	$x= e$
	$x=e^2$
	$x= \sqrt{e}$
	$x=\frac{1}{e}$
	$x= ln\cdot e^2$
Lösungsweg $x^{\ln x}=e$ $\ln (x^{\ln x})=\ln e$ $\ln x \cdot \ln x=1$ $\ln x=\pm 1$ $x_1=e, x_2=\frac{1}{e}$

Berechnen Sie x für: $e^4\cdot x^{lnx}=x^4$ Nr. 1384
	$x=2$
	$x=e ^2$
	$x=\frac{1}{2}$
	$x=\frac{e}{2}$
	$x=\sqrt{4}$
Lösungsweg $e^4\cdot x^{\ln x}=x^4$ $\ln (e^4\cdot x^{\ln x})=\ln x^4$ $\ln e^4+\ln x^{\ln x}=\ln x^4$ $4+\ln x\cdot \ln x}=4\ln x$ $\ln x\cdot \ln x-4\ln x+4=0$ $u^2-4u+4=0,\ln x=u$ $u_{1,2}=2\pm \sqrt{4-4}=2$ $\ln x=2$ $x=e^2$

Es gilt $5^{x-1}=7$ . Berechnen Sie x. Nr. 1385
	$x=\frac{\ln5}{\ln7}-1$
	$x=\frac{\ln7}{\ln5}+1$
	$x=\frac{1}{\ln5}\cdot \ln35$
	$x=\ln35-1$
	$x=\log35-1$
Lösungsweg $5^{x-1}=7$ $\ln 5^{x-1}=\ln 7$ $(x-1) \ln 5=\ln 7$ $x=\frac{\ln 7}{\ln 5}+1$

Berechnen Sie x für: $x^{lgx}=10$ Nr. 1386
	$x=10$
	$x= lg10$
	$x=\frac{1}{10}$
	$x=\frac{1}{lg10}$
	$x=\frac{10}{lg1}$
Lösungsweg $x^{\lg x}=10$ $\lg x^{\lg x}=\lg 10$ $\lg x \cdot \lg x=1$ $\lg x=\pm 1$ $x_1=10,x_2=\frac{1}{10}$

Berechnen Sie x: $x^{lgx}=\frac{x^3}{100}$ Nr. 1388
	$x=2$
	$x=3$
	$x=10$
	$x=100$
	$x=\frac{3}{2}$
Lösungsweg $x^{\lg x}=\frac{x^3}{100}$ $100\cdot x^{\lg x}=x^3$ $\lg( 100\cdot x^{\lg x})=\lg x^3$ $\lg 100+ \lg x^{\lg x}=3\lg x$ $2+ \lg x\cdot \lg x-3\lg x=0$ $u^2-3u+2=0,\lg x=u$ $u_{1,2}=\frac{3}{2}\pm \sqrt{\frac{9}{4}-\frac{8}{4}}=\frac{3}{2}\pm \frac{1}{2}$ $\lg x_{1,2}=\frac{3}{2}\pm \frac{1}{2}$ $x_1=10^2,x_2=10^1$

Berechnen Sie x: $\left(x^{lgx}\right)=\frac{x^3}{100}$ Nr. 1389
	$x=0$
	$x=\sqrt{100}$
	$x=\sqrt[3]{100}$
	$x= 10$
	$x=100$
Lösungsweg $x^{\lg x}=\frac{x^3}{100}$ $100\cdot x^{\lg x}=x^3$ $\lg(100\cdot x^{\lg x})=\lg x^3$ $\lg100 + \lg x^{\lg x}=3\lg x$ $2 + \lg x\cdot \lg x-3\lg x=0$ $u^2-3u+2=0,\lg x=u$ $u_{1,2}=\frac{3}{2}\pm\sqrt{\frac{9}{4}-\frac{8}{4}}=\frac{3}{2}\pm\frac{1}{2}$ $\lg x_{1,2}=\frac{3}{2}\pm\frac{1}{2}$ $x_1=100,x_2=10$

Berechnen Sie x: $2^{3x+2}+4\cdot 5^{2x-1}=3\cdot 8^{x+1}$ Nr. 1392
	$x=\frac{ln 25}{ln \frac{25}{8}}$
	$x=31ln2-2ln5$
	$x=\frac{1}{2ln5}$
	$x=2,825$
	$x=8539,252$
Lösungsweg $2^{3x+2}+4\cdot 5^{2x-1}=3\cdot 8^{x+1}$ $8^x\cdot 2^2+\frac{4}{5}\cdot 25^x=3\cdot 8^x\cdot 8$ $\frac{4}{5}\cdot 25^x=8^x\cdot(24-4)$ $\ln\frac{4}{5}\cdot 25^x=\ln20\cdot 8^x$ $\ln\frac{4}{5}+\ln 25^x=\ln20+\ln 8^x$ $\ln\frac{4}{5}+x\ln 25=\ln20+x\ln 8$ $x(\ln 25-\ln 8)=\ln20-\ln\frac{4}{5}$ $x=\frac{\ln20\cdot \frac{5}{4}}{\ln \frac{25}{8}}$ $x=\frac{\ln 25}{\ln \frac{25}{8}}$

Lösen Sie die Gleichung $13^{3x+2}-12^{2x+1}=13^{3x-2}-12^{2x-1}$ nach x auf. Nr. 1393
	$x=0,924$
	$x=0,973$
	$x=-0,310$
	$x=-3,14$
	$x=-0,973$
Lösungsweg $13^{3x+2}-12^{2x+1}=13^{3x-2}-12^{2x-1}$ $13^{3x}\cdot 13^2-13^{3x}\cdot 13^{-2}=12^{2x}\cdot 12-12^{2x}\cdot 12^{-1}$ $13^{3x}\cdot (13^2-13^{-2})=12^{2x}\cdot (12-12^{-1})$ $\ln(13^{3x}\cdot (13^2-13^{-2}))=\ln(12^{2x}\cdot (12-12^{-1}))$ $\ln13^{3x}+\ln(13^2-13^{-2})=\ln12^{2x}+\ln(12-12^{-1})$ $3x\ln13-2x\ln12=\ln(12-12^{-1})-\ln(13^2-13^{-2})$ $x=\frac{\ln(12-12^{-1})-\ln(13^2-13^{-2})}{3\ln13-2\ln12}\approx -0,973$

Berechnen Sie x: $6^{x+3}-5\cdot 6^{x+1}=4\cdot 9^{2x+5}$ Nr. 1394
	$x=-2,746$
	$x=-2,764$
	$x=-2,475$
	$x=-2,674$
	$x=2,764$
Lösungsweg $6^{x+3}-5\cdot 6^{x+1}=4\cdot 9^{2x+5}$ $6^x\cdot 6^3-5\cdot 6\cdot 6^x=4\cdot 81^x\cdot 9^5$ $6^x\cdot (6^3-5\cdot 6)=81^x\cdot 9^5\cdot 4$ $\ln(6^x\cdot (6^3-5\cdot 6)=\ln(81^x\cdot 9^5\cdot 4)$ $\ln6^x+\ln(6^3-5\cdot 6)=\ln81^x+\ln( 9^5\cdot 4)$ $x\ln6-x\ln81=\ln( 9^5\cdot 4)-\ln(6^3-5\cdot 6)$ $x=\frac{\ln( 9^5\cdot 4)-\ln(6^3-5\cdot 6)}{\ln6-\ln81}\approx -2,746$

Lösen Sie die Gleichung $y=\frac{e^x-e^{-x}}{2}$ nach x auf. Nr. 1395
	$x=ln\left(y+\sqrt{1} \right)$
	$x=ln\left(y+\sqrt{y^2+1}\right)$
	$x=ln\left(y+\sqrt{y^2+ln1}\ \right)$
	$x=ln\left(y-\sqrt{y^2+ln1}\\right)$
	$x=ln\left(y-\sqrt{y^2+1}\\right)$
Lösungsweg $y=\frac{e^x-e^{-x}}{2}$ $2y=e^x-e^{-x}$ $2ye^x=e^{2x}-1$ $(e^x)^2-2ye^x-1=0$ $e^x_{1,2}=y\pm\sqrt{y^2+1}$ $x_{1,2}=\ln(y\pm\sqrt{y^2+1})$

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