Fragenliste von Zufallsvariablen

Bei einem Glücksspiel können Sie eine von drei Türen wählen.
Hinter einer Tür befindet sich eine Niete, hinter einer eine Goldmünze, und hinter einer sind 99 Goldmünzen.
Wieviele Goldmünzen gewinnen Sie im Durchschnitt, wenn Sie dieses Spiel sehr oft spielen?

Nr. 3738
Lösungsweg

Bei einem Glücksspiel können Sie eine von drei Türen wählen.
Hinter einer Tür befinden sich 25 Goldmünzen, hinter einer 30 Goldmünzen, und hinter einer sind 45 Goldmünzen.
Wieviele Goldmünzen gewinnen Sie im Durchschnitt, wenn Sie dieses Spiel sehr oft spielen?

 

Nr. 3739
Lösungsweg

Bei einem Glücksspiel können Sie eine von drei Türen wählen.
Hinter einer Tür befindet sich eine Niete, hinter einer eine Goldmünze, und hinter einer sind 99 Goldmünzen.
Berechnen Sie die Varianz für dieses Spiel.

Nr. 3740
Lösungsweg

Bei einem Glücksspiel können Sie eine von drei Türen wählen.
Hinter einer Tür befinden sich 25 Goldmünzen, hinter einer 30 Goldmünzen, und hinter einer sind 45 Goldmünzen.
Berechnen Sie die Varianz für dieses Spiel.

Nr. 3741
Lösungsweg

„Mensch ärgere dich nicht“: Max hat keine Figur auf dem Spielfeld und darf 3 Mal würfeln. Wenn der Würfel die Augenzahl 6 hat, so kann Max eine Figur aufs Spielfeld bringen.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass Max eine Figur aufs Spielfeld bringen kann?

Nr. 3742
Lösungsweg

Roulette: Beim Roulette gibt es 18 rote Felder, 18 schwarze Felder und die Null. Ein Spieler setzt auf rot. Rollt die Kugel auf rot, so erhält der Spieler einen Gewinn in der Höhe seines Einsatzes (und sein Einsatz bleibt ihm erhalten), andernfalls verliert er seinen Einsatz.
Wie hoch ist der erwartete Gewinn, wenn der Spieler bei einem Spiel 10 € setzt?

Nr. 3743
Lösungsweg

Roulette: Beim Roulette gibt es 18 rote Felder, 18 schwarze Felder und die Null. Ein Spieler setzt auf rot. Rollt die Kugel auf rot, so erhält der Spieler einen Gewinn in der Höhe seines Einsatzes (und sein Einsatz bleibt ihm erhalten), andernfalls verliert er seinen Einsatz.
Wie hoch ist das Risiko (die Standardabweichung), wenn der Spieler bei einem Spiel 500 € setzt?

Nr. 3744
Lösungsweg

Roulette: Beim Roulette gibt es 18 rote Felder, 18 schwarze Felder und die Null. Ein Spieler setzt auf rot. Rollt die Kugel auf rot, so erhält der Spieler einen Gewinn in der Höhe seines Einsatzes (und sein Einsatz bleibt ihm erhalten), andernfalls verliert er seinen Einsatz. Wie hoch ist der erwartete Gewinn, wenn der Spieler in hundert Runden 1 € setzt?

Nr. 3745
Lösungsweg

Zwei Würfel werden geworfen. Untersuchen Sie, ob die folgenden Ereignisse unabhängig sind.
A = der erste Würfel zeigt eine gerade Augenzahl
B = der zweite Würfel zeigt eine Augenzahl größer als 3.

Nr. 3746

Zwei faire Würfel werden geworfen. Untersuchen Sie, ob die folgenden Ereignisse unabhängig sind.
A = die Augensumme ist 9
B = der zweite Würfel zeigt eine Augenzahl größer als 3 an. 

Nr. 3747

Es werden zwei (faire) Würfel geworfen. Untersuchen Sie, ob die folgenden Ereignisse unabhängig sind.
A = die Augensumme ist 7
B = der erste Würfel zeigt eine gerade Augenzahl

Nr. 3748

Bei einem Glücksspiel erhalten Sie in jedem Durchgang entweder 5, 25, oder 30  Punkte. Wie viele Punkte erhalten Sie im Durchschnitt wenn Sie sehr oft spielen?

Nr. 3774
Lösungsweg

Bei einem Glücksspiel erhalten Sie entweder 10, 20, oder 80 Punkte.
Berechnen Sie die Varianz für dieses Spiel.

Nr. 3775
Lösungsweg

Bei einem Glücksspiel können Sie eine von drei Türen wählen.
Hinter einer Tür befinden sich 31 Goldmünzen, hinter einer 33 Goldmünzen, und hinter einer sind 36 Goldmünzen.
Berechnen Sie die Varianz für dieses Spiel.

Nr. 3776
Lösungsweg

Bei einem Glücksspiel können Sie eine von drei Türen wählen.
Hinter einer Tür befinden sich 31 Goldmünzen, hinter einer 33 Goldmünzen, und hinter einer sind 36 Goldmünzen.
Wieviele Goldmünzen gewinnen Sie im Durchschnitt, wenn Sie dieses Spiel sehr oft spielen?

Nr. 3777
Lösungsweg

Roulette: Beim Roulette gibt es 18 rote Felder, 18 schwarze Felder und die Null. Ein Spieler setzt auf rot. Rollt die Kugel auf rot, so erhält der Spieler einen Gewinn in der Höhe seines Einsatzes (und sein Einsatz bleibt ihm erhalten), andernfalls verliert er seinen Einsatz.
Wie hoch ist der erwartete Gewinn, wenn der Spieler bei einem Spiel 500 € setzt?

Nr. 3778
Lösungsweg

Roulette: Beim Roulette gibt es 18 rote Felder, 18 schwarze Felder und die Null. Ein Spieler setzt auf rot. Rollt die Kugel auf rot, so erhält der Spieler einen Gewinn in der Höhe seines Einsatzes (und sein Einsatz bleibt ihm erhalten), andernfalls verliert er seinen Einsatz.
Wie hoch ist das Risiko (die Standardabweichung), wenn der Spieler bei einem Spiel 10 € setzt?

Nr. 3779
Lösungsweg

test

Nr. 4047
Lösungsweg

Sei X eine Zufallsvariable, die die Werte 0; 1; 2 und 3 mit den Wahrscheinlichkeiten 1/8; 3/8; 2/8 und 1/8 annimmt. Sind das bereits alle Werte, die X annehmen kann?

Nr. 4548
Lösungsweg

Wahr oder falsch: Die Zufallsvariable X = "Augensumme dreier Würfel" ist stetig.

Nr. 4549
Lösungsweg

Sei X die Zufallsvariable "Augensumme dreier Würfel". Die Verteilungsfunktion F(x) von X gibt dann die Wahrscheinlichkeit an, dass eine Augensumme X gewürfelt wird, für welche gilt:

Nr. 4550
Lösungsweg

Sei X die Zufallsvariable "Augensumme dreier Würfel". Bestimmen Sie P(X=4), also die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses "Augensumme ist 4"!

Nr. 4551
Lösungsweg

Sei X die Zufallsvariable "Augensumme dreier Würfel". Bestimmen Sie P(X \leq 6), also die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses "Augensumme ist kleiner oder gleich 6"!

Nr. 4552
Lösungsweg

Sei X die Zufallsvariable "Augensumme dreier Würfel". Bestimmen Sie P(X>16), also die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses "Augensumme ist größer 16"!

Nr. 4553
Lösungsweg

Sei X die Zufallsvariable "Augensumme dreier Würfel". Bestimmen Sie P(4<X \leq 6), also die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses "Augensumme größer als 4 und kleiner oder gleich 6"!

Nr. 4554
Lösungsweg

Sei X die Zufallsvariable "Augensumme dreier Würfel". Seien die beiden Werte der Verteilungsfunktion F(4) = \frac{4}{216} und F(6) = \frac{20}{216} bekannt. Bestimmen Sie daraus P(4<X \leq 6), also die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses "Augensumme größer als 4 und kleiner oder gleich 6"!

Nr. 4555
Lösungsweg

Sei X die Zufallsvariable "Augensumme dreier Würfel". Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit P(X=20) und den Wert der Verteilungsfunktion F(20)!

Nr. 4556
Lösungsweg

Sei X die Zufallsvariable "Augensumme dreier Würfel" und F(x) ihre Verteilungsfunktion. Wie kann man die Wahrscheinlichkeit angeben für das Ereignis, dass eine zweistellige Augensumme gewürfelt wird?

Nr. 4557
Lösungsweg

Für diskrete Zufallsvariablen hat die Verteilungsfunktion immer die Form

Nr. 4558
Lösungsweg

Sei X die Anzahl der Würfe mit einem fairen Würfel, bis zum ersten Mal eine Sechs geworfen wird. Welche Werte kann die Zufallsvariable X annehmen?

Nr. 4559
Lösungsweg

Sei X die Anzahl der Würfe mit einem fairen Würfel, bis zum ersten Mal eine Sechs geworfen wird. Geben Sie die Wahrscheinlichkeitsverteilung der Zufallsvariablen X an!

Nr. 4560
Lösungsweg

Sei X die Anzahl der Würfe mit einem fairen Würfel, bis zum ersten Mal eine Sechs geworfen wird. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, höchstens 4 Würfe zu brauchen, bis zum ersten Mal eine Sechs gewürfelt wird?

Nr. 4561
Lösungsweg

Gegeben sei eine stetige Zufallsvariable X, die im Intervall [0;6] gleichverteilt ist. Bestimmen Sie die Dichtefunktion f(x) im Bereich 0 \leq x \leq 6

Nr. 4562
Lösungsweg

Gegeben sei eine stetige Zufallsvariable X, die im Intervall [0;6] gleichverteilt ist. Bestimmen Sie die Verteilungsfunktion F(x) im Bereich 0<x<6!

Nr. 4563
Lösungsweg

Gegeben sei eine stetige Zufallsvariable X, die im Intervall [0;6] gleichverteilt ist. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass X einen Wert zwischen 0,2 und 0,5 annimmt!

Nr. 4565
Lösungsweg

Auf einem Jahrmarkt wird ein Glücksspiel angeboten: Für einen Einsatz von 1 Euro werfen Sie drei faire Würfel gleichzeitig. Bei einer Augensumme von 3 oder 18 erhalten Sie jeweils 100 Euro, ansonsten ist der Einsatz weg. Welche Aussagen sind korrekt?

Nr. 4566
Lösungsweg

Ein Bus fährt pünktlich alle 15 Minuten. Sei X die Zufallsvariable, welche durch die Wartezeit in Minuten bestimmt wird, wenn man zufällig zur Bushaltestelle kommt. Welche Aussagen sind korrekt?

Nr. 4570
Lösungsweg

Ein Bus fährt pünktlich alle 15 Minuten. Sei X die Zufallsvariable, welche durch die Wartezeit in Minuten bestimmt wird, wenn man zufällig zur Bushaltestelle kommt. Wie ist dann die Wahrscheinlichkeitsdichte definiert?

Nr. 4571
Lösungsweg

Ein Bus fährt pünktlich alle 15 Minuten. Sei X die Zufallsvariable, welche durch die Wartezeit in Minuten bestimmt wird, wenn man zufällig zur Haltestelle kommt. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass man höchstens 5 Minuten auf den Bus warten muss?

Nr. 4572
Lösungsweg

Ein Bus fährt pünktlich alle 15 Minuten. Sei X die Zufallsvariable, welche durch die Wartezeit in Minuten bestimmt wird, wenn man zufällig zur Haltestelle kommt. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass man mindestens 10 Minuten auf den Bus warten muss?

Nr. 4573
Lösungsweg

Ein Bus fährt pünktlich alle 15 Minuten. Sei X die Zufallsvariable, welche durch die Wartezeit in Minuten bestimmt wird, wenn man zufällig zur Haltestelle kommt. Wie lange wird man im Schnitt auf den Bus warten müssen?

Nr. 4574
Lösungsweg

Sei X eine stetige Zufallsvariable. Welche Ausssagen sind (unter gewissen Voraussetzungen) korrekt?

Nr. 4575
Lösungsweg

Ein Bauteil habe eine Lebensdauer in Jahren, welche definiert ist durch die Verteilungsfunktion F(x) = 1-e^{-3x} für x \geq 0 und F(x) = 0 sonst. Mit welcher Wahrscheinlichkeit beträgt die Lebensdauer des Bauteils höchstens 1 Jahr?

Nr. 4576
Lösungsweg

Ein Bauteil habe eine Lebensdauer in Jahren, welche definiert ist durch die Verteilungsfunktion F(x) = 1-e^{-3x} für x \geq 0 und F(x) = 0 sonst. Mit welcher Wahrscheinlichkeit beträgt die Lebensdauer des Bauteils 3 bis 6 Monate?

Nr. 4577
Lösungsweg

Ein Bauteil habe eine Lebensdauer in Jahren, welche definiert ist durch die Verteilungsfunktion F(x) = 1-e^{-3x} für x \geq 0 und F(x) = 0 sonst. Mit welcher Wahrscheinlichkeit hält das Bauteil länger als 2 Jahre?

Nr. 4578
Lösungsweg

Ein Bauteil habe eine Lebensdauer in Jahren, welche definiert ist durch die Verteilungsfunktion F(x) = 1-e^{-3x} für x \geq 0 und F(x) = 0 sonst. Nach welcher Zeit ist das Bauteil mit 50%-iger Wahrscheinlichkeit ausgefallen?

Nr. 4579
Lösungsweg

Beim Wurf dreier Würfel sind die drei Zufallsvariablen X_i = Augenzahl \; des \; i-ten \; Wuerfels \;\; (i=1,2,3)

Nr. 4580
Lösungsweg

Wahr oder falsch: Der Erwartungswert gewichtet alle Werte einer Zufallsvariablen X gleich.

Nr. 4581
Lösungsweg

Berechnen Sie den Erwartungswert der Zufallsvariablen X = Anzahl Köpfe beim Wurf dreier Münzen!

Nr. 4582
Lösungsweg

Bestimmen Sie den Erwartungswert der Zufallsvariablen X = Augensumme beim Wurf zweier fairer Würfel! (Tipp: Betrachten Sie zunächst die Augensumme beim Wurf eines Würfels.)

Nr. 4583
Lösungsweg

Der Erwartungswert der Zufallsvariablen X = "Anzahl der Köpfe beim Wurf einer Münze" beträgt E(X) = 0,5. Berechnen Sie daraus den Erwartungswert der Zufallsvariablen Y = "Anzahl der Köpfe beim Wurf dreier Münzen"! (Annahme: Alle Münzen sind fair.)

Nr. 4584
Lösungsweg

Die Varianz der Zufallsvariablen X = "Anzahl der Köpfe beim Wurf einer Münze" beträgt Var(X) = 0,25. Berechnen Sie daraus die Varianz der Zufallsvariablen Y = "Anzahl der Köpfe beim Wurf dreier Münzen"! (Annahme: Alle Münzen sind fair.)

Nr. 4585
Lösungsweg

Bei einer Produktionsanlage treten Störungen mit folgender Verteilung für die Zufallsvariable X = Anzahl der Störfälle pro Tag auf: P(X=0) = 0,3; P(X=1) = 0,4; P(X=2) = 0,2 und P(X=3) = 0,1. Die Kosten für die Behebung einer Störung betragen 1000 Euro pro Störfall. Welche Kosten sind im Schnitt pro Tag zu erwarten?

Nr. 4586
Lösungsweg

Wann ist der Erwartungswert des Produkts zweier Zufallsvariablen gleich dem Produkt der Erwartungswerte, d.h. wann gilt E(X \cdot Y)= E(X) \cdot E(Y)?

Nr. 4587
Lösungsweg

Wann ist der Erwartungswert der Summe zweier Zufallsvariablen gleich der Summe der Erwartungswerte, d.h. wann gilt E(X+Y)= E(X)+E(Y)?

Nr. 4588
Lösungsweg

Seien X und Y zwei Zufallsvariable und Cov(X;Y) ihre Kovarianz. Welche Aussagen sind wahr?

Nr. 4589
Lösungsweg

Gegeben sei die Zufallsvariable X = Anzahl der Köpfe beim Wurf dreier Münzen. Es gilt E(X) = 1,5 und Var(X) = 0,75. Schätzen Sie P(|X-1,5| < 1) (also die Wahrscheinlichkeit, dass die Anzahl der Köpfe um weniger als 1 vom Erwartungswert 1,5 abweicht) mit der Ungleichung von Tschebyscheff ab, und berechnen Sie P(|X-1,5| < 1) exakt!

Nr. 4590
Lösungsweg

Was besagt das Gesetz der großen Zahlen?

Nr. 4591
Lösungsweg

Sie entnehmen zufällig (ohne Zurücklegen) 4 Kugeln aus einer Urne mit 6 roten und 18 blauen Kugeln. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass Sie genau eine rote Kugel ziehen? Wie viele rote Kugeln sind im Schnitt in Ihrer Stichprobe zu erwarten? (Tipp: Überlegen Sie, um welche Verteilung es sich handelt, und nutzen Sie die entsprechende Formel für den Erwartungswert!)

Nr. 4592
Lösungsweg

In einer Fabrik wird ein Bauteil produziert, der Anteil fehlerhafter Teile ist dabei konstant. Es wird eine zufällige Stichprobe von n Bauteilen entnommen. Welche Wahrscheinlichkeitsverteilung hat die Zufallsvariable X = Anzahl fehlerhafter Bauteile in der Stichprobe?

Nr. 4593
Lösungsweg

Eine Fertigungsanlage hat einen gleichbleibenden Ausschuss-Anteil von 0,5%. Mit welcher Wahrscheinlichkeit findet man unter 100 entnommenen Produktionseinheiten höchstens ein fehlerhaftes? Berechnen Sie die Lösung exakt sowie als Näherung durch die Poisson-Verteilung!

Nr. 4594
Lösungsweg

Bei der Übertragung von Vierer-Bitfolgen kommt es mit einer Wahrscheinlichkeit von 0,5% zu Übertragungsfehlern. Sei X die Zufallsvariable "Anzahl der Bitfehler in einer zufällig gesendeten Bitfolge der Länge 4". Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens ein Bitfehler auftritt? Wie viele Fehler sind im Schnitt pro gesendeter Bitfolge zu erwarten?

Nr. 4595
Lösungsweg

Beim telefonischen Support-Dienst eines Herstellers treffen zur Hauptgeschäftszeit pro Stunde im Schnitt 240 Anrufe ein. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass innerhalb von einer Minute kein Anruf bzw. mehr als 5 Anrufe eintreffen? (Annahme: Die Anzahl der Anrufe ist poissonverteilt.)

Nr. 4596
Lösungsweg

Bei Marmeladengläsern ist das Abfüllgewicht normalverteilt mit \mu = 200 Gramm und \sigma = 5 Gramm. Legen Sie den Toleranzbereich [\mu -c;\;\; \mu +c] fest, in den 90% aller Abfüllgewichte fallen!

Nr. 4600
Lösungsweg

Seien X und Y zwei normalverteilte Zufallsvariable. Dann ist ihre Summe X+Y

Nr. 4601
Lösungsweg

Was sagt der zentrale Grenzwertsatz über die Summe X = X_1 + ... + X_n von n unabhängigen und identisch verteilten Zufallsvariablen X_1, ..., X_n?

Nr. 4602
Lösungsweg

Bei einer Zufallsstichprobe sind die Stichprobenvariablen

Nr. 4605
Lösungsweg

NEWS

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