Fragenliste von Stetige Verteilungen

Ein Unternehmen hat Kunden in verschiedenen Altersgruppen. 10% der Kunden fallen in Altersgruppe A1, 60% in A2 und 30% in A3. Kunden dieser drei Altersgruppen wurden nach einem neuen Produkt befragt. Laut Umfrage würden 70% der Altersgruppe A1, 50% der Altersgruppe A2 und 40% der Altersgruppe A3 das neue Produkt kaufen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein beliebiger Kunde Käufer des neuen Produkts wird? Nr. 3749
	24,5%
	45,3%
	49%
	72,8%
Lösungsweg Totale Wahrscheinlichkeit. $P(K)=P(A1) \cdot P(K\|A_1) +P(A2) \cdot P(K\|A_2) +P(A3) \cdot P(K\|A_3) = 0,1 \cdot 0,7 + 0,6 \cdot 0,5 + 0,3 \cdot 0,4 = 0,49 = 49%$

Die Lebensdauer eines radioaktiven $C_{14}$ Kohlenstoffisotops ist eine Zufallsvariable T mit Verteilungsfunktion $F(t)= 1-e^{-0.00012t}$ (für $t>0$ ) Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit $P(T\leq 100)$ . Nr. 3750
	$1,2%$
	$23,8%$
	$30,1%$
	$47,5%$
Lösungsweg $P(T \leq t) = F_T(t)=F(T)\\ P(t \leq 100) = 1-e^{-0.00012\cdot 100} = 1- e^{-0,012} \approx 0,012 = 1,2%$

Die Lebensdauer eines radioaktiven $C_{14}$ Kohlenstoffisotops ist eine Zufallsvariable T mit Verteilungsfunktion $F(t)= 1-e^{-0.00012t}$ (für $t>0$ ) Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit $P(T>5000)$ . Nr. 3751
	$11,3%$
	$23,8%$
	$54,9%$
	$47,5%$
Lösungsweg $P(T > t) = 1 - P(T \leq t) = 1- F(T)\\ 1 - P(t \leq 5000) = 1- (1-e^{-0.00012\cdot 5000} )= e^{-0,6} \approx 0,549 = 54,9%$

Die Lebensdauer eines radioaktiven $C_{14}$ Kohlenstoffisotops ist eine Zufallsvariable T mit Verteilungsfunktion $F(t)= 1-e^{-0.00012t}$ (für $t>0$ ) Bestimmen Sie die Halbwertszeit von $^{14}C$ , also die Zeit $t_{\frac{1}{2}}$ für die $F( t_{\frac{1}{2}})=0,5$ . gilt Nr. 3752
	$t_{\frac{1}{2}} = 1756 \qquad Jahre$
	$t_{\frac{1}{2}} = 2894 \qquad Jahre$
	$t_{\frac{1}{2}} = 4296 \qquad Jahre$
	$t_{\frac{1}{2}} = 5776 \qquad Jahre$
Lösungsweg $F(t_{\frac{1}{2}}) = 1 - e^{-0,00012 \cdot t_{\frac{1}{2}}} = \frac{1}{2} \\ e^{-0,00012 \cdot t_{\frac{1}{2}}} = \frac{1}{2} \\ -0,00012 \cdot t_{\frac{1}{2}} = \ln{\frac{1}{2}}$ $t_{\frac{1}{2}} = \frac{\ln{2}}{-0,00012} \approx 5776$

Die Lebensdauer eines radioaktiven $C_{14}$ Kohlenstoffisotops ist eine Zufallsvariable T mit Verteilungsfunktion $F(t)= 1-e^{-0.00012t}$ (für $t>0$ ) Bestimmen Sie die Dichtefunktion f(t). Nr. 3753
	$f(t) = e^{-0,00012} \cdot t$
	$f(t) = -0,00012 \cdot e^{-0,00012} \cdot t$
	$f(t) = 0,00012 \cdot e^{-0,00012 t}$
Lösungsweg $f(x)=F^{\prime}(x)$ Die Dichtefunktion ist die Ableitung der Verteilungsfunktion.

Eine Maschine produziert Müsliriegel die einer Normalverteilung mit Mittelwert $\mu=50\,g$ und Standardabweichung $\sigma=1,0\,g$ folgen. Berechnen Sie den Anteil der Riegeln, deren Masse weniger als $48\,g$ beträgt. Nr. 3754
	$1,4%$
	$2,3%$
	$3,6%$
	$7,8%$
Lösungsweg Standardnormalverteilung. Die Werte hierfür sind einer entsprechenden Tabelle zu entnehmen. $Z = \frac{X- \mu}{\sigma} = \frac{48-50}{1}=-2 \\ P(X<48) = \Phi(-2) = 1 - \Phi(2) \approx 1-0,977 = 0,023 = 2,3%$

Eine Maschine produziert Müsliriegel die einer Normalverteilung mit Mittelwert $\mu=50\,g$ und Standardabweichung $\sigma=1,0\,g$ folgen. Berechnen Sie den Anteil der Riegeln, deren Masse mehr als 51g beträgt. Nr. 3755
	$20,81%$
	$25,27%$
	$28,14%$
	$15,9%$
Lösungsweg Standardnormalverteilung. Die Werte hierfür sind einer entsprechenden Tabelle zu entnehmen. $Z = \frac{X - \mu}{\sigma} = \frac{51-50}{1}= 1 \\ P(X>51) = 1 - P(X \leq 51) = 1 - \Phi(1) \approx 1-0,841 = 0,159 = 15,9%$

Eine Maschine produziert Müsliriegel die einer Normalverteilung mit Mittelwert $\mu=50\,g$ und Standardabweichung $\sigma=1,0\,g$ folgen. Berechnen Sie den Anteil der Tafeln, deren Masse um mehr als $1,5\,g$ vom Mittelwert abweicht. Nr. 3756
	$2,86%$
	$13,4%$
	$49,2%$
	$52,7%$
Lösungsweg Standardnormalverteilung. Die Werte hierfür sind einer entsprechenden Tabelle zu entnehmen. $P(X<48,5) + P(X>51,5) \\ Z_1 = \frac{X_1 - \mu}{\sigma} = \frac{48,5-50}{1}=-1,5 \\ Z_2 = \frac{X_2 - \mu}{\sigma} = \frac{51,5-50}{1}=1,5$ $P(X<48,5) = \Phi(-1,5) = 1 - \Phi(1,5) \approx 0,067 \\ \\ P(X>51,5) = 1- P(X \leq 51,5) = 1- \Phi(1,5) \approx 0,067$

Eine Maschine produziert Müsliriegel die einer Normalverteilung mit Mittelwert $\mu=50\,g$ und Standardabweichung $\sigma=2,0\,g$ folgen. Wie muss $c$ gewählt werden, damit 95% der Tafeln in dem Intervall $[\mu-c;\mu+c]$ liegen? Nr. 3757
	$c=1,96$
	$c=0,05$
	$c=3,92$
	$c=4,46$
Lösungsweg Standardnormalverteilung. Die Werte hierfür sind einer entsprechenden Tabelle zu entnehmen. $\Phi(\frac{c}{\sigma})-\Phi(-\frac{c}{\sigma})=0,95$ $\Phi(\frac{c}{2})-(1-\Phi(\frac{c}{2}))=0,95 \\Umformen\qquad nach\qquad \Phi(\frac{c}{2}) \\ \Phi(\frac{c}{2})=(1+0.95)/2=0.975$ Wert aus für $\frac{c}{2}$ aus Tabelle ablesen: $\frac{c}{2}=1,96\\ c=3,92$

Die Reaktionszeit von Autofahrern kann als normalverteilt angenommen werden. Angenommen, der Erwartungswert beträgt 0,8 Sekunden und die Standardabweichung 0,06 Sekunden. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit einer Reaktionszeit größer als 0,7 Sekunden? Nr. 3758
	$69,81%$
	$75,22%$
	$89,44%$
	$95,25%$
Lösungsweg Standardnormalverteilung. Die Werte hierfür sind einer entsprechenden Tabelle zu entnehmen. $Z = \frac{X - \mu}{\sigma} = \frac{0,7 - 0,8}{0,06} \approx -1,67\\ P(X>0,7) = 1 - P(X \leq 0,7) = 1 - \Phi(-1,67) = 1- (1 - \Phi(1,67)) = \Phi(1,67) \approx 0,9525$

Die Reaktionszeit von Autofahrern kann als normalverteilt angenommen werden. Angenommen, der Erwartungswert beträgt 0,8 Sekunden und die Standardabweichung 0,06 Sekunden. Über welchem Wert liegt die Reaktionszeit mit 98%-iger Wahrscheinlichkeit? Nr. 3759
	0,41 Sekunden
	0,5 Sekunden
	0,68 Sekunden
	1,2 Sekunden
Lösungsweg Standardnormalverteilung. Die Werte hierfür sind einer entsprechenden Tabelle zu entnehmen. $P(X>x) = 0,98 ? \\ P(X \leq x) = 0,02 \Rightarrow \Phi(Z) = 0,02 \Rightarrow 1 - \Phi(-Z) = 0,02 \Rightarrow \Phi(-Z) = 0,98\\ Z=-2,06 = \frac{x-0,8}{0,06} \Rightarrow x= 0,6764$

Die erreichte Punkteanzahl bei einer Prüfung ist näherungsweise normalverteilt mit $\mu = 50$ Punkten und $\sigma= 20$ Punkten. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit mehr als 60 Punkte zu erreichen? Nr. 3760
	$19,86%$
	$26,52%$
	$30,85%$
	$42,18%$
Lösungsweg Standardnormalverteilung. Die Werte hierfür sind einer entsprechenden Tabelle zu entnehmen. $Z= \frac{60-50}{20} = 0,5\\ P(X > 60) = 1 - P(X \leq 60) = 1 - \Phi(0,5) \approx 1 - 0,6915 = 0,3085 = 30,85%$

Die erreichte Punkteanzahl bei einer Prüfung ist näherungsweise normalverteilt mit $\mu = 50$ Punkten und $\sigma= 20$ Punkten. Über welche Punktezahl kommen höchstens 10% der Geprüften? Nr. 3761
	34 Punkte
	68 Punkte
	75 Punkte
	81 Punkte
Lösungsweg Standardnormalverteilung. Die Werte hierfür sind einer entsprechenden Tabelle zu entnehmen. $\Phi(Z) = 0,9 \Rightarrow Z=1,29\\ Z = \frac{X-50}{20} \Rightarrow X = 75,8$

Einem Hersteller ist bekannt, dass 2% der produzierten Sakko-Knöpfe fehlerhaft sind. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass in einer Stichprobe von 1000 Sakko-Knöpfen mindestens 10 fehlerhaft sind? Nr. 3762
	$\approx 79,4%$
	$\approx 84,6%$
	$\approx 89,2%$
	$\approx99,5 %$
Lösungsweg Die ZV ist binomialveteilt. Verwendung der Binomialverteilung ergibt: $P(x\geq 10)=0,9953...\approx 0,995$ Anderer "händischer" Weg: Approximation der (diskreten) Binomialverteilung durch die (stetige) Normalverteilung: n ... Stichprobe = 1000 p ... Anteil fehlerhafte Stück = 0,02 $\mu = np = 20\\ \sigma^2 = np(1-p) = 19,6 \Rightarrow \sigma \approx 4,43\\$ $P(X\geq 10)\approx 1-\Phi(\frac{9,5 - 20}{4,43})=1-\Phi( -2,37)\approx 0.991$ , wobei $Z= \frac{10-0,5 - 20}{4,43} \approx -2,37$ ist. Vorsicht: Hier wurde die Stetigkeitskorrektur verwendet, die aber oftmals auch weggelassen wird, vor allem bei großem n.

Gegeben sei eine stetige Zufallsvariable X, die im Intervall [0;6] gleichverteilt ist. Bestimmen Sie die Dichtefunktion f(x) im Bereich $0 \leq x \leq 6$ Nr. 4562
	$f(x) = \frac{1}{6}x$
	$f(x) = 6x$
	$f(x) = \frac{1}{6x}$
	$f(x) = \frac{1}{6}$
Lösungsweg Eine auf dem Intervall [a;b] gleichverteilte stetige Zufallsvariable hat die Dichtefunktion f(x) = 1/(b-a) für $0 \leq x \leq 6$ und f(x) = 0 sonst (das folgt daraus, dass die Gesamtfläche unter dem Graphen von f gleich 1 sein muss). Wegen a=0 und b=6 gilt hier f(x) = 1/6 für $0 \leq x \leq 6$ und f(x) = 0 sonst.

Gegeben sei eine stetige Zufallsvariable X, die im Intervall [0;6] gleichverteilt ist. Bestimmen Sie die Verteilungsfunktion F(x) im Bereich 0<x<6! Nr. 4563
	$F(x) = \frac{x}{6}$
	$F(x) = \frac{6}{x}$
	$F(x) = \frac{x^2}{6}$
	$F(x) = \frac{1}{6}$
Lösungsweg Eine auf dem Intervall [a;b] gleichverteilte stetige Zufallsvariable hat die Verteilungsfunktion $F(x) = \frac{x-a}{b-a}$ für a < x < b und F(x)=0 für $x \leq a$ bzw. F(x) = 1 für $x \geq b$ . Wegen a=0 und b=6 gilt hier $F(x) = \frac{x}{6}$ für 0<x<6.

Gegeben sei eine stetige Zufallsvariable X, die im Intervall [0;6] gleichverteilt ist. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass X einen Wert zwischen 0,2 und 0,5 annimmt! Nr. 4565
	0
	0,05
	0,1
	0,5
Lösungsweg Die Verteilungsfunktion von X ist $F(x) = \frac{x}{6}$ für 0 < x < 6 . Die gesuchte Wahrscheinlichkeit ist damit: $P(0,2 \leq X \leq 0,5) = F(0,5)-F(0,2) = \frac{0,5}{6} - \frac{0,2}{6} = 0,05$

Ein Bus fährt pünktlich alle 15 Minuten. Sei X die Zufallsvariable, welche durch die Wartezeit in Minuten bestimmt wird, wenn man zufällig zur Bushaltestelle kommt. Wie ist dann die Wahrscheinlichkeitsdichte definiert? Nr. 4571
	f(x) = 15x für 0 < x < 15, sonst f(x) = 0
	f(x) = x/15 für 0 < x < 15, sonst f(x) = 0
	f(x) = 1/15 für 0 < x < 15, sonst f(x) = 0
	f(x) = x/15 für 0 < x < 15, f(x) = 0 für x <= 0 und f(x) = 1 für x >= 15
Lösungsweg Jede Wartezeit zwischen 0 und 15 Minuten ist gleich wahrscheinlich. Folglich ist X gleichverteilt im Intervall (0;15) und die Dichtefunktion hat in diesem Bereich einen konstanten Wert >0 ("Rechteckverteilung"). Da die Fläche unter dem Graphen von f gleich 1 sein muss (denn irgendeinen Wert zwischen 0 und 15 nimmt f(x) auf jeden Fall an), gilt f(x) = 1/15 für 0 < x < 15 und f(x) = 0 sonst.

Ein Bus fährt pünktlich alle 15 Minuten. Sei X die Zufallsvariable, welche durch die Wartezeit in Minuten bestimmt wird, wenn man zufällig zur Haltestelle kommt. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass man höchstens 5 Minuten auf den Bus warten muss? Nr. 4572
	1/2
	1/3
	1/4
	1/5
Lösungsweg X ist gleichverteilt im Intervall (0;15); die Verteilungsfunktion lautet somit F(x) = x/15 für 0 < x < 15, F(x) = 0 für x <= 0 und F(x) = 1 für x >= 15. Es gilt $F(x) = P(X \leq x)$ . Damit ist die gesuchte Wahrscheinlichkeit $P(X \leq 5) = F(5) = \frac{5}{15} = \frac{1}{3}$ .

Ein Bus fährt pünktlich alle 15 Minuten. Sei X die Zufallsvariable, welche durch die Wartezeit in Minuten bestimmt wird, wenn man zufällig zur Haltestelle kommt. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass man mindestens 10 Minuten auf den Bus warten muss? Nr. 4573
	1/2
	1/3
	1/4
	1/5
Lösungsweg X ist gleichverteilt im Intervall (0;15); die Verteilungsfunktion lautet F(x) = x/15 für 0 < x < 15, F(x) = 0 für x <= 0 und F(x) = 1 für x >= 15. Es gilt $F(x) = P(X \leq x)$ und $P(X \geq x) = 1-P(X < x) = 1-F(x)$ (). Damit ist die gesuchte Wahrscheinlichkeit $P(X \geq 10) = 1-F(10) = 1-\frac{10}{15} = \frac{5}{15} = \frac{1}{3}$ . () Anmerkung: Bei einer stetigen Zufallsvariable ist die Wahrscheinlichkeit, exakt einen vorgegebenen Wert x anzunehmen, gleich Null; daraus folgt $P(X \leq x) = P(X < x)$ und $P(X \geq x) = P(X > x)$ .

Ein Bus fährt pünktlich alle 15 Minuten. Sei X die Zufallsvariable, welche durch die Wartezeit in Minuten bestimmt wird, wenn man zufällig zur Haltestelle kommt. Wie lange wird man im Schnitt auf den Bus warten müssen? Nr. 4574
	5 Minuten
	7 Minuten
	7,5 Minuten
	10 Minuten
Lösungsweg X ist gleichverteilt im Intervall (0;15), denn alle Wartezeiten zwischen 0 und 15 Minuten sind gleich wahrscheinlich. Für den Erwartungswert einer gleichverteilten Zufallsvariable gilt: $\mu = \frac{a+b}{2}$ Mit a=0 und b=15 folgt: $\mu = \frac{15}{2} = 7,5$

Sei X eine stetige Zufallsvariable. Welche Ausssagen sind (unter gewissen Voraussetzungen) korrekt? Nr. 4575
	Die Dichtefunktion erhält man durch Ableitung der Verteilungsfunktion.
	Die Dichtefunktion erhält man durch Integration der Verteilungsfunktion.
	Die Verteilungsfunktion erhält man durch Ableitung der Dichtefunktion.
	Die Verteilungsfunktion erhält man durch Integration der Dichtefunktion.
Lösungsweg Bei einer stetigen Zufallsvariablen X entspricht die Fläche unter dem Graphen der Dichtefunktion gerade der Verteilungsfunktion. Die Verteilungsfunktion erhält man folglich durch Integration der Dichtefunktion; umgekehrt ist die Dichtefunktion die Ableitung der Verteilungsfunktion. Genauer: Bei einer stetigen Zufallsvariablen X entspricht die Fläche unter dem Graphen der Dichtefunktion über dem Bereich $(-\infty;\, x)$ gerade der Wahrscheinlichkeit, dass X in diesem Bereich liegt (d.h. dass X < x gilt), und damit dem Wert der Verteilungsfunktion F(x) = P(X < x). Folglich gilt: $F(x) = \int_{-\infty}^{x} f(t) \,dt$

Ein Bauteil habe eine Lebensdauer in Jahren, welche definiert ist durch die Verteilungsfunktion $F(x) = 1-e^{-3x}$ für $x \geq 0$ und F(x) = 0 sonst. Mit welcher Wahrscheinlichkeit beträgt die Lebensdauer des Bauteils höchstens 1 Jahr? Nr. 4576
	35%
	55%
	75%
	95%
Lösungsweg $F(1) = 1-e^{-3} = 0,95$

Ein Bauteil habe eine Lebensdauer in Jahren, welche definiert ist durch die Verteilungsfunktion $F(x) = 1-e^{-3x}$ für $x \geq 0$ und F(x) = 0 sonst. Mit welcher Wahrscheinlichkeit beträgt die Lebensdauer des Bauteils 3 bis 6 Monate? Nr. 4577
	25%
	30%
	35%
	40%
Lösungsweg $F\left$ \frac{1}{2} \right$ - F\left$ \frac{1}{4} \right$ = 1-e^{-1,5} - \left$ 1-e^{-0,75} \right$ = e^{-0,75} - e^{-1,5} = 0,4724 - 0,2231 = 0,25$

Ein Bauteil habe eine Lebensdauer in Jahren, welche definiert ist durch die Verteilungsfunktion $F(x) = 1-e^{-3x}$ für $x \geq 0$ und F(x) = 0 sonst. Mit welcher Wahrscheinlichkeit hält das Bauteil länger als 2 Jahre? Nr. 4578
	25%
	2,5%
	0,25%
	0,025%
Lösungsweg $P(X > 2) = 1-P(X \leq 2) = 1-F(2) = 1-(1-e^{-6}) = e^{-6} = 0,0025$

Ein Bauteil habe eine Lebensdauer in Jahren, welche definiert ist durch die Verteilungsfunktion $F(x) = 1-e^{-3x}$ für $x \geq 0$ und F(x) = 0 sonst. Nach welcher Zeit ist das Bauteil mit 50%-iger Wahrscheinlichkeit ausgefallen? Nr. 4579
	2 Monate
	3 Monate
	4 Monate
	5 Monate
Lösungsweg Wir suchen das 0,5-Quantil, also den Median: Für welches x nimmt F(x) den Wert 0,5 an? Aus $F(x) = 1-e^{-3x} = 0,5$ folgt $x = -\frac{1}{3} \cdot ln (0,5) = 0,23$ , d.h. nach knapp 3 Monaten ist das Bauteil mit einer Wahrscheinlichkeit von 0,5 ausgefallen.

Bei Marmeladengläsern ist das Abfüllgewicht normalverteilt mit $\mu$ = 200 Gramm und $\sigma$ = 5 Gramm. Legen Sie den Toleranzbereich $[\mu -c;\;\; \mu +c]$ fest, in den 90% aller Abfüllgewichte fallen! Nr. 4600
	[190; 210]
	[192,78; 208,22]
	[195; 205]
	[198,76; 201,24]
Lösungsweg Wenn 90% der Abfüllgewichte innerhalb des Intervalls [200-c; 200+c] liegen sollen, dann liegen links von 200-c und rechts von 200+c jeweils 5% aller Abfüllgewichte. Wir suchen also die Quantile $x_{0,05}$ und $x_{0,95}$ , welche wir mittels der Quantile $z_{0,05}$ bzw. $z_{0,95}$ der Standardnormalverteilung berechnen (bzw. der Tabelle entnehmen). Wegen der Symmetrieeigenschaft der Standardnormalverteilung gilt außerdem $z_p = -z_{1-p}$ : $x_{0,05} = \sigma \cdot z_{0,05} + \mu = \sigma \cdot (- z_{0,95}) + \mu = 5 \cdot (-1,645) + 200 = 191,775 \\ x_{0,95} = \sigma \cdot z_{0,95} + \mu = 5 \cdot 1,645 + 200 = 208,225$ 90% aller Abfüllgewichte liegen also im Bereich zwischen 191,78 und 208,22 Gramm (c = 8,225). Alternativer Lösungsweg: Wir suchen den Wert c, für den die Verteilungsfunktion an der Stelle 200+c den Wert 0,95 annimmt (denn das heißt, dass 95% der Abfüllgewichte kleiner oder gleich 200 + c sind): F(200+c) = 0,95 Auch hier nutzen wir wieder die Umrechnung auf die Standardnormalverteilung, damit wir die Tabelle verwenden können: $F(x) = \Phi( \frac{x-\mu}{\sigma} ) = \Phi( \frac{x-200}{5} ) = 0,95$ Setzt man x=200+c ein, so folgt $\Phi(\frac{c}{5}) = 0,95$ . Der Tabelle entnehmen wir c/5 = 1,645, somit ist c = 8,225 und das gesuchte Intervall lautet [191,78; 208,22].

Seien X und Y zwei normalverteilte Zufallsvariable. Dann ist ihre Summe X+Y Nr. 4601
	standardnormalverteilt
	normalverteilt
	normalverteilt, wenn X und Y unabhängig sind
	normalverteilt, wenn X und Y abhängig sind
Lösungsweg Die Summe zweier unabhängiger Normalverteilungen ist wieder normalverteilt; Erwartungswert und Varianz addieren sich ebenso (Letzteres gilt sogar für beliebig verteilte unabhängige Zufallsvariable).

Was sagt der zentrale Grenzwertsatz über die Summe $X = X_1 + ... + X_n$ von n unabhängigen und identisch verteilten Zufallsvariablen $X_1, ..., X_n$ ? Nr. 4602
	X ist für $n \rightarrow \infty$ normalverteilt.
	X ist für große n genau dann normalverteilt, wenn alle $X_i$ normalverteilt sind.
	Das arithmetische Mittel $\overline X = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i = \frac{1}{n} X$ ist für $n \rightarrow \infty$ normalverteilt.
	Das hängt von der konkreten Verteilung der $X_i$ ab.
Lösungsweg Die Summe X von n unabhängigen, identisch verteilten Zufallsvariablen $X_i$ ist für große n annäherend normalverteilt, das arithmetische Mittel der Summe ebenso. Dafür brauchen die $X_i$ nicht normalverteilt zu sein! Der zentrale Grenzwertsatz ist somit der Grund dafür, dass eine Zufallsvariable X annähernd normalverteilt ist, wenn sie als Summe von vielen kleinen zufälligen Einflüssen entsteht (z.B. Messfehler, kleine Schwankungen bei der Produktion oder Abfüllung, etc.).

Sie werfen n verschiedene Würfel und addieren die Augensumme X aller Würfel nach jedem Wurf. Welche Verteilung hat X für große n? Nr. 4603
	Gleichverteilung
	Binomialverteilung
	Dreiecksverteilung
	Normalverteilung
Lösungsweg Die Augensummen der einzelnen Würfel sind paarweise unabhängig und alle identisch verteilt (nämlich gleichverteilt). Die Summe von n unabhängigen und identisch verteilten Zufallsvariablen (also die Augensumme aller n Würfel) ist nach dem zentralen Grenzwertsatz normalverteilt. Die Normalverteilung kann für große n also auch als Näherung von diskreten Zufallsvariablen verwendet werden.

Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Bit während der Übertragung "kippt", also fehlerhaft übertragen wird, betrage $10^{-4}$ . Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass beim Senden von einer Million Bit mehr als 80 Bit fehlerhaft übertragen werden? (Tipp: Verwenden Sie die Normalverteilung als Näherung!) Nr. 4604
	0,0974%
	0,974%
	9,74%
	97,4%
Lösungsweg Die Anzahl X der fehlerhaft übertragenen Bit ist binomialverteilt mit $n=10^6$ und $p=10^{-4}$ . Wegen $np(1-p) = 10^6 \cdot 10^{-4} \cdot 0,9999 = 99,99 > 9$ können wir die Normalverteilung als Näherung verwenden mit $\mu = np = 100$ und $\sigma = \sqrt{np(1-p)} = 9,9995$ : $F_{Binomial}(x) = F_{Normal}(x+0,5) = \Phi \left$ \frac{x+0,5-\mu}{\sigma} \right$ = \Phi \left$ \frac{x+0,5-np}{\sqrt{np(1-p)}} \right$$ Die Wahrscheinlichkeit, dass beim Übertragen von einer Million Bit mehr als 80 Bit kippen, ist also ungefähr: $P(X>80) = 1-F_{Binomial}(80) = 1 - \Phi \left$ \frac{80+0,5-100}{9,9995} \right$ = 1 - \Phi( -1,95 ) = \Phi( 1,95 ) = 0,974412$ Die vorletzte Gleichheit gilt wegen der Symmetrieeigenschaft der Standardnormalverteilung. Den Wert von $\Phi$ entnehmen wir der Tabelle.

Eine Abfüllanlage soll Kaffeebohnen in Packungen zu je 500 Gramm abfüllen, das Abfüllgewicht X ist normalverteilt. Eine zufällige Stichprobe von n=10 Packungen ergibt ein arithmetisches Mittel von $\overline x = 497,5$ . Die Standardabweichung betrage $\sigma = 5$ Gramm. Berechnen Sie das Konfidenzintervall, welches zu 90% den gesuchten Erwartungswert $\mu$ der Kaffeepackungen enthält! Nr. 4608
	[492,7; 507,3]
	[493,5; 502,5]
	[494,9; 500,1]
	[495,3; 504,7]
Lösungsweg Gesucht ist ein zweiseitiges Konfidenzintervall für den Erwartungswert einer Normalverteilung bei bekannter Standardabweichung. Das Konfidenzniveau ist $1-\alpha = 0,90$ , somit ist $\alpha = 0,10$ . Die Formel für das Konfidenzintervall ist $[ \overline x - z_{0,95} \frac{\sigma}{\sqrt{n}};\; \overline x + z_{0,95} \frac{\sigma}{\sqrt{n}}]$ . Wir bestimmen also zunächst (aus der Tabelle) das Quantil $z_{1-\alpha/2} = z_{0,95}$ der Standardnormalverteilung: $z_{0,95} = 1,645$ Mit $\overline x = 497,5$ und $\sigma = 5$ sowie n=10 erhalten wir das Intervall [ 494,899; 500,101 ]. Dieses Konfidenzintervall überdeckt also mit einer Wahrscheinlichkeit von 90% den Erwartungswert $\mu$ .

Eine Kaffeekonsumentin will anhand einer zufälligen Stichprobe von 10 Kaffeepackungen feststellen, ob das Sollgewicht von 500 Gramm systematisch unterschritten wird. Ihre Stichprobe hat den Mittelwert $\overline x = 497,5$ . Mit welcher Wahrscheinlichkeit enthält das Intervall $(-\infty; \; 499,9]$ den Erwartungswert des Abfüllgewichts? Annahme: Das Abfüllgewicht X ist normalverteilt mit $\sigma = 5$ Gramm. Nr. 4609
	90,2%
	91,3%
	92,4%
	93,5%
Lösungsweg Gegeben ist ein einseitiges Konfidenzintervall für den Erwartungswert $\mu$ eines normalverteilten Merkmals bei bekannter Standardabweichung $\sigma$ . Die Formel für das nach oben begrenzte Konfindenzintervall lautet $(-\infty; \; \overline x + z_{p} \frac{\sigma}{\sqrt{n}} ]$ . Die obere Intervallgrenze ist vorgegeben als 499,9; wir suchen das passende p-Quantil der Standardnormalverteilung, also den Wert p, für welchen gilt: $\overline x + z_{p} \frac{\sigma}{\sqrt{n}} = 499,9$ . Auflösen nach $z_p$ ergibt $z_p = (499,9 - \overline x) \cdot \frac{\sqrt{n}}{\sigma}$ . Mit $\overline x = 497,5$ ; $\sigma = 5$ und n = 10 folgt $z_p = (499,9 - 497,5) \cdot \frac{\sqrt{10}}{5} = 2,4 \cdot \frac{\sqrt{10}}{5} = 1,51789$ . Der Tabelle für die Standardnormalverteilung entnehmen wir p=0,93548. Der Erwartungswert liegt also mit einer Wahrscheinlichkeit von ca. 93,5% unterhalb des Sollgewichts von 500 Gramm.

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Ein Bauteil habe eine Lebensdauer in Jahren, welche definiert ist durch die Verteilungsfunktion $F(x) = 1-e^{-3x}$ für $x \geq 0$ und F(x) = 0 sonst. Mit welcher Wahrscheinlichkeit beträgt die Lebensdauer des Bauteils 3 bis 6 Monate? Nr. 4577
	25%
	30%
	35%
	40%
Lösungsweg $F\left\( \frac{1}{2} \right\) - F\left\( \frac{1}{4} \right\) = 1-e^{-1,5} - \left\( 1-e^{-0,75} \right\) = e^{-0,75} - e^{-1,5} = 0,4724 - 0,2231 = 0,25$

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