Fragenliste von Geometrische Transformationen

Berechnen Sie die Matrix A (mit f(x)=Ax) der linearen Abbildung $f \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2x_1 \\ x_2 \end{pmatrix}$ Nr. 3878
	$A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$
	$A = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$
	$A = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}$
Lösungsweg Die Spalten der Matrix A sind $f(e_1)$ und $f(e_2)$ $f(e_1)=f( \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} ) = \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \end{pmatrix}$ $f(e_2)=f( \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} ) = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}$ $A = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$

Berechnen Sie die Matrix A (mit f(x)=Ax) der linearen Abbildung $f \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3x_1 \\ 5x_2 \end{pmatrix}$ Nr. 3937
	$A = \begin{pmatrix} -3 & 0 \\ 0 & 5 \end{pmatrix}$
	$A = \begin{pmatrix} -3 & 1 \\ 1 & 5 \end{pmatrix}$
	$A = \begin{pmatrix} -3 & 0 \\ 5 & 0 \end{pmatrix}$
Lösungsweg Die Spalten der Matrix A sind $f(e_1)$ und $f(e_2)$ $f(e_1)=f( \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} ) = \begin{pmatrix} -3 \\ 0 \end{pmatrix}$ $f(e_2)=f( \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} ) = \begin{pmatrix} 0 \\ 5 \end{pmatrix}$ $A = \begin{pmatrix} -3 & 0 \\ 0 & 5 \end{pmatrix}$

Welchen Punkt erhält man wenn man (-2,4) um 90° um den Ursprung dreht? Nr. 3938
	(-2,-4)
	(4,2)
	(-4,-2)
Lösungsweg $x= -2 \cos(90^\circ)- y \sin(90^\circ) =-4$ $y= 4 \cos(90^\circ)- 2 \sin(90^\circ) =-2$

Welche Matrix entspricht einer Streckung um den Faktor 2? Nr. 3939
	$\begin{pmatrix} 2& 0 \\0& 1 \end{pmatrix}$
	$\begin{pmatrix} 2& 0 \\0& 2 \end{pmatrix}$
	$\begin{pmatrix} 2& 2 \\2& 2 \end{pmatrix}$

Welche Matrix entspricht einer Streckung in x Richtung um den Faktor 3 und einer Drehung um 180°? Nr. 3940
	$\begin{pmatrix} 3 & -1 \\-1& 1\end{pmatrix}$
	$\begin{pmatrix} -3 & 0 \\0& -1\end{pmatrix}$
	$\begin{pmatrix} -3 & 0 \\0& -3\end{pmatrix}$
Lösungsweg 1. Streckung: $\begin{pmatrix} 3 & 0 \\0& 1\end{pmatrix}$ 2. Drehung $\begin{pmatrix} \cos(\pi) & -\sin(\pi) \\sin (\pi)& cos(\pi)\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & 0 \\0& -1\end{pmatrix}$ Zusammen: $\begin{pmatrix} -3 & 0 \\0& -1\end{pmatrix}$

Welche Matrix entspricht einer Spiegelung an der x Achse und anschließender Rotation um 90° Nr. 3941
	$\begin{pmatrix} 0 & 1 \\1& 0\end{pmatrix}$
	$\begin{pmatrix} 1 & 0 \\0& 1\end{pmatrix}$
	$\begin{pmatrix} 1 & 1 \\1& -1\end{pmatrix}$
Lösungsweg 1 Spiegelung $\begin{pmatrix} 1 & 0 \\0& -1\end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\y\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x \\-y\end{pmatrix}$ 2. Rotation $\begin{pmatrix} \cos(\pi/2) & -\sin(\pi/2) \\\sin(\pi/2)& \cos(\pi/2)\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\1& 0\end{pmatrix}$ $\begin{pmatrix} 0 & -1 \\1& 0\end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\-y\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} y \\x\end{pmatrix}$ Insgesamt also $\begin{pmatrix} 0 & 1 \\1& 0\end{pmatrix}$

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