Fragenliste von Lineare Abbildungen

Berechnen Sie die Matrix A (mit f(x)=Ax) der linearen Abbildung $f \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2x_1 \\ x_2 \end{pmatrix}$ Nr. 3878
	$A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$
	$A = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$
	$A = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}$
Lösungsweg Die Spalten der Matrix A sind $f(e_1)$ und $f(e_2)$ $f(e_1)=f( \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} ) = \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \end{pmatrix}$ $f(e_2)=f( \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} ) = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}$ $A = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$

Berechnen Sie die Matrix A (mit f(x)=Ax) der linearen Abbildung $f \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3x_1 \\ 5x_2 \end{pmatrix}$ Nr. 3937
	$A = \begin{pmatrix} -3 & 0 \\ 0 & 5 \end{pmatrix}$
	$A = \begin{pmatrix} -3 & 1 \\ 1 & 5 \end{pmatrix}$
	$A = \begin{pmatrix} -3 & 0 \\ 5 & 0 \end{pmatrix}$
Lösungsweg Die Spalten der Matrix A sind $f(e_1)$ und $f(e_2)$ $f(e_1)=f( \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} ) = \begin{pmatrix} -3 \\ 0 \end{pmatrix}$ $f(e_2)=f( \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} ) = \begin{pmatrix} 0 \\ 5 \end{pmatrix}$ $A = \begin{pmatrix} -3 & 0 \\ 0 & 5 \end{pmatrix}$

Ist folgende Funktion f linear? $f: \ \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^2$ $\left(x_1\\x_2 \\ x_3\right) \mapsto \left(2x_1+x_2-x_3 \\ 2x_2+x_3\right)$ Nr. 4089
	Ja
	Nein, weil $f(x+y) \neq f(x)+f(y)$
	Nein, eine Abbildung von $\mathbb{R}^3$ nach $\mathbb{R}^2$ ist nie linear
Lösungsweg $f(x+y)=\left(2(x_1+y_1)+(x_2+y_2)-(x_3+y_3)\\ 2(x_2+y_2)+(x_3+y_3)\right)$ $=\left(2x_1+2y_1+x_2+y_2-x_3-y_3\\ 2x_2+2y_2+x_3+y_3\right)=f(x)+f(y)$ $f(ax)=\left(2ax_1 +ax_2-ax_3 \\ 2ax_2+ax_3\right)=\left(a(2x_1+x_2-x_3)\\a(2x_2+x_3)\right)=af(x)$

Ist die Abbildung linear? $f: \ \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^2$ $\left(x_1 \\x_2 \\x_3\right) \to \left( 3x_1^2 +x_2 \\ x_3\right)$ Nr. 4090
	Ja
	Nein, weil $f(x+y) \neq f(x)+f(y)$
	Nein, weil ein Quadrat vorkommt
	Nein, weil $f(ax) \neq a f(x)$
Lösungsweg Gegenbeispiel: $x=\left(1\\1\\1\right)$ $f(x+x)=f(2x)=\left(3\cdot 4+2\\2\right)= \left(14 \\ 2\right)$ $f(x)+f(x)=2 f(x)= 2 \left(3\cdot 1+1 \\ 1\right)=\left(8\\2\right)$

Bestimmen Sie, ob die folgende Abbildung linear ist oder nicht: $f: (x_1, x_2) \mapsto (x_1+ x_2, x_2 -1)$ Nr. 4216
	nicht linear
	linear
Lösungsweg Betrachte dafür zwei allgemeine Vektoren aus dem $\mathbb{R}^2$ : $v_1=(x_1,x_2) \text{ und } v_2=(y_1,y_2)$ und ein $\lambda \in \mathbb{R}$ . Zu überprüfen sind folgende 3 Dinge: $f(\vec{0}) = \vec{0} ?$ $f(v_1) + f(v_2) = f(v_1 + v_2) ?$ $f( \lambda v_1) = \lambda f(v_1) ?$ Überprüfe zunächst Bedingung 1: $f: (x_1, x_2) \mapsto (x_1+ x_2, x_2 -1)$ also $f(\vec{0}) = f (0,0) = (0+0, 0-1 ) = (0, -1) \neq \vec{0}$ Somit kann an dieser Stelle schon festgestellt werden, dass es sich um keine lineare Abbildung handelt.

Bestimmen Sie, ob die folgende Abbildung linear ist oder nicht:

$f: (x_1, x_2) \mapsto (x_1+ x_2, x_2 -1)$

Nr. 4216

nicht linear

linear

Lösungsweg

Bestimmen Sie, ob folgende Abbildung linear ist: $f: (x_1, x_2) \mapsto (x_1 - x_2, x_2)$ Nr. 4217
	linear
	nicht linear
Lösungsweg Betrachte dafür zwei allgemeine Vektoren aus dem $\mathbb{R}^2$ : $v_1=(x_1,x_2) \text{ und } v_2=(y_1,y_2)$ und ein $\lambda \in \mathbb{R}$ . Zu überprüfen sind folgende 3 Dinge: $f(\vec{0}) = \vec{0} ?$ $f(v_1) + f(v_2) = f(v_1 + v_2) ?$ $f( \lambda v_1) = \lambda f(v_1) ?$ Überprüfen Sie zunächst Bedingung 1: $f: (x_1, x_2) \mapsto (x_1 - x_2, x_2)$ also $f(\vec{0}) = f (0,0) = (0-0, 0) = (0, 0) = \vec{0}$ Bedingung 2: $f(v_1) + f(v_2) =(x_1 - x_2, x_2) + (y_1 - y_2, y_2) = (x_1 - x_2 + y_1 - y_2, \; x_2 + y_2)$ $f(v_1 + v_2) = f( x_1 + y_1, x_2 +y_2) =(x_1 + y_1 - x_2 - y_2, \; x_2 +y_2)$ Bedingung 2 ist also erfüllt. Nun Bedingung 3: $f( \lambda v_1) = f( \lambda x_1, \lambda x_2) =\\ = ( \lambda x_1 - \lambda x_2, \; \lambda x_2)= \\ = (\lambda (x_1 - x_2), \; \lambda x_2) = \\ = \lambda (x_1 - x_2, \; x_2) = \lambda f(v_1)$ Somit sind alle 3 Bedingungen erfüllt und die Abbildung ist linear.

Bestimmen Sie, ob folgende Abbildung linear ist:

$f: (x_1, x_2) \mapsto (x_1 - x_2, x_2)$

Nr. 4217

linear

nicht linear

Lösungsweg

Bestimmen Sie, ob die folgende Abbildung linear ist oder nicht: $f: (x_1, x_2) \mapsto (x_2, \; 0, \; 3x_1 - 2x_2)$ Nr. 4218
	nicht linear
	linear
Lösungsweg Betrachte dafür zwei allgemeine Vektoren aus dem $\mathbb{R}^2$ : $v_1=(x_1,x_2) \text{ und } v_2=(y_1,y_2)$ und ein $\lambda \in \mathbb{R}$ . Zu überprüfen sind folgende 3 Dinge: $f(\vec{0}) = \vec{0} ?$ $f(v_1) + f(v_2) = f(v_1 + v_2) ?$ $f( \lambda v_1) = \lambda f(v_1) ?$ Bedingung 1: $f: (x_1, x_2) \mapsto (x_2, \; 0, \; 3x_1 - 2x_2)$ also $f(\vec{0}) = f (0,0) = (0, 0, 3\cdot 0-2 \cdot 0 ) = (0, 0, 0)=\vec{0}$ Bedingung 2: $f(v_1) + f(v_2) =(x_2, 0, 3x_1 - 2x_2) + (y_2, 0, 3y_1 - 2y_2) = (x_2 + y_2 , 0 + 0, 3x_1 - 2x_2 + 3y_1 - 2y_2) = \\ = (x_2 + y_2 , 0, 3x_1 - 2x_2 + 3y_1 - 2y_2)$ $f(v_1 + v_2) =(x_2 + y_2, 0, 3(x_1 + y_1) - 2(x_2 + y_2)) = (x_2 + y_2, 0, 3x_1 + 3y_1 - 2x_2 - 2y_2) = \\ =(x_2 + y_2, 0, 3x_1 - 2x_2 + 3y_1 - 2y_2)$ Bedingung 3: $f( \lambda v_1) = f( \lambda x_1, \lambda x_2) =\\ = ( \lambda x_2, 0 , 3 \lambda x_1 -2 \lambda x_2)= \\ = \lambda (x_2, 0 , 3 x_1 -2 x_2) = \lambda f(v_1)$ Alle 3 Bedingungen sind erfüllt, die Abbildung ist linear.

Bestimmen Sie, ob die folgende Abbildung linear ist oder nicht:

$f: (x_1, x_2) \mapsto (x_2, \; 0, \; 3x_1 - 2x_2)$

Nr. 4218

nicht linear

linear

Lösungsweg

Bestimmen Sie, ob folgende Abbildung linear ist: $f: (x_1, x_2) \mapsto (x_2, \; 0, \; 3x_1-2)$ Nr. 4219
	linear
	nicht linear
Lösungsweg Betrachte dafür zwei allgemeine Vektoren aus dem $\mathbb{R}^2$ : $v_1=(x_1,x_2) \text{ und } v_2=(y_1,y_2)$ und ein $\lambda \in \mathbb{R}$ . Zu überprüfen sind folgende 3 Dinge: $f(\vec{0}) = \vec{0} ?$ $f(v_1) + f(v_2) = f(v_1 + v_2) ?$ $f( \lambda v_1) = \lambda f(v_1) ?$ Bedingung 1: $f: (x_1, x_2) \mapsto (x_2, \; 0, \; 3x_1-2)$ also $f(\vec{0}) = f (0,0) = (0, 0, 3\cdot 0-2 ) = (0, 0, -2) \neq \vec{0}$ Somit ist die Abbildung nicht linear.

Bestimmen Sie, ob folgende Abbildung linear ist:

$f: (x_1, x_2) \mapsto (x_2, \; 0, \; 3x_1-2)$

Nr. 4219

linear

nicht linear

Lösungsweg

Bestimmen Sie, ob die folgende Abbildung linear ist oder nicht: $f \;: \; \mathbb{R}^4 \mapsto \mathbb{R}^3, \; (x_1, x_2, x_3, x_4) \mapsto (x_1 e^{x_1}, \; x_2x_3, \; \sin x_4)$ Nr. 4220
	nicht linear
	linear
Lösungsweg Betrachte dafür zwei allgemeine Vektoren aus dem $\mathbb{R}^4$ : $v_1=(x_1,x_2, x_3, x_4) \text{ und } v_2=(y_1,y_2, y_3, y_4)$ und ein $\lambda \in \mathbb{R}$ . Zu überprüfen sind folgende 3 Dinge: $f(\vec{0}) = \vec{0} ?$ $f(v_1) + f(v_2) = f(v_1 + v_2) ?$ $f( \lambda v_1) = \lambda f(v_1) ?$ Bedingung 1: $f \;: \; (x_1, x_2, x_3, x_4) \mapsto (x_1 e^{x_1}, \; x_2x_3, \; \sin x_4)$ also $f(\vec{0}) = f (0,0,0,0) = (0 \cdot e^0, 0 \cdot 0, \sin (0)) = (0, 0, 0)=\vec{0}$ Bedingung 2: $f(v_1) + f(v_2) =(x_1 e^{x_1}, \; x_2x_3, \; \sin x_4) + (y_1 e^{y_1}, \; y_2y_3, \; \sin y_4) =\\ = (x_1 e^{x_1} + y_1 e^{y_1}, \; x_2x_3 + y_2y_3, \; \sin x_4 + \sin y_4)$ $f(v_1+v_2) = f( x_1+y_1 , x_2 + y_2, x_3 + y_3, x_4 + y_4)= \\ = ( (x_1 +y_1) e^{x_1 + y_1}, \; (x_2 + y_2)(x_3 +y_3), \; \sin (x_4+y_4) )$ Hier ist klar zu erkennen, dass diese Bedingung nicht erfüllt ist. $\rightarrow f(v_1) + f(v_2) \neq f(v_1+v_2)$ Die Abbildung ist nicht linear.

Bestimmen Sie, ob die folgende Abbildung linear ist oder nicht:

$f \;: \; \mathbb{R}^4 \mapsto \mathbb{R}^3, \; (x_1, x_2, x_3, x_4) \mapsto (x_1 e^{x_1}, \; x_2x_3, \; \sin x_4)$

Nr. 4220

nicht linear

linear

Lösungsweg

Betrachte folgende Abbildung über dem Vektorraum der Polynome $P(\mathbb{R})$ und gib an , ob die Abbildung linear ist: $f: P(\mathbb{R}) \mapsto P(\mathbb{R}) \; , \; p(x) \mapsto p(x+1)$ Nr. 4221
	linear
	nicht linear
Lösungsweg Wähle zwei Polynome $p_1, \; p_2$ und $\lambda \in \mathbb{R}$ Zu überprüfen ist wieder: $f(p_1) + f(p_2) = f(p_1+p_2) ?$ $f(\lambda p_1) = \lambda f(p_1) ?$ Also: $f(p_1) + f(p_2) = p_1(x+1) + p_2(x+1) = (p_1+p_2)(x+1) = f(p_1+p_2)$ Und: $f(\lambda p_1) = (\lambda p_1) (x+1) = \lambda p_1(x+1) = \lambda f(p_1)$ Die Abbildung ist also linear.

Betrachte folgende Abbildung über dem Vektorraum der Polynome $P(\mathbb{R})$ und gib an , ob die Abbildung linear ist:

$f: P(\mathbb{R}) \mapsto P(\mathbb{R}) \; , \; p(x) \mapsto p(x+1)$

Nr. 4221

linear

nicht linear

Lösungsweg

Die Abbildung f ist wie folgt definiert: $f \;: \; \mathbb{R}^3 \mapsto \mathbb{R}^2$ , sodass jeder Punkt des $\mathbb{R}^3$ parallel zur z-Achse auf die xy-Ebene projeziert wird. Geben Sie f in Matrixdarstellung an! Nr. 4222
	$A = \left( \begin{array}{rrrr} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{array}\right)$
	$A = \left( \begin{array}{rrrr} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{array}\right)$
	$A = \left( \begin{array}{rrrr} 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}\right)$
Lösungsweg Dafür gibt es eine hilfreiche Eselsbrücke: "Willst die Matrix du erhalten, schreibe die Bilder (der Einheitsvektoren) in die Spalten!" Das heißt, man muss überlegen, was mit den drei Einheitsvektoren des $\mathbb{R}^3$ unter der Wirkung von f passiert. Betrachtet man z.B. $\vec{e_1} = \left( \begin{array}{c} 1 \\\ 0 \\\ 0 \\\ \end{array}\right)$ , so wird dieser auf die xy-Eben projeziert, verliert also nur seine dritte Komponente: $f(\vec{e_1}) = \left( \begin{array}{c} 1 \\\ 0 \\\ \end{array}\right)$ Analoges gilt für $\vec{e_2} = \left( \begin{array}{c} 0 \\\ 1 \\\ 0 \\\ \end{array}\right)$ : $f(\vec{e_2}) = \left( \begin{array}{c} 0 \\\ 1 \\\ \end{array}\right)$ Bei $\vec{e_3} = \left( \begin{array}{c} 0 \\\ 0 \\\ 1 \\\ \end{array}\right)$ sieht es etwas anders aus, da ja parallel zur z-Achse in die Ebene hinunter projeziert wird (jeder Punkt, der eine z-Koordinate hat, endet also in der Ebene z=0, allerdings mit denselben x und y Koordinaten): $f(\vec{e_3}) = \left( \begin{array}{c} 0 \\\ 0 \\\ \end{array}\right)$ Für die Abbildungsmatrix müssen wir nun noch die drei Bilder der Einheitsvektoren zusammensetzen: $A = \left( \begin{array}{rrrr} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{array}\right)$

Geben sie die Matrix der folgenden linearen Abbildung an: $f \;: \; \mathbb{R}^2 \mapsto \mathbb{R}^2$ , sodass $\vec{e_1} \mapsto \left( \begin{array}{c} -4 \\\ 7 \\\ \end{array}\right)$ und $\vec{e_2} \mapsto \left( \begin{array}{c} 2 \\\ 5 \\\ \end{array}\right)$ . Nr. 4223
	$A = \left( \begin{array}{rr} -2 & 1 \\ 3 & 1 \end{array}\right)$
	$A = \left( \begin{array}{rr} -4 & 7 \\ 2 & 5 \end{array}\right)$
	$A = \left( \begin{array}{rr} -4 & 2 \\ 7 & 5 \end{array}\right)$
Lösungsweg Die Bilder der Einheitsvektoren ergeben die Abbildungsmatrix $\vec{e_1} \mapsto \left( \begin{array}{c} -4 \\\ 7 \\\ \end{array}\right)$ und $\vec{e_2} \mapsto \left( \begin{array}{c} 2 \\\ 5 \\\ \end{array}\right)$ also $A = \left( \begin{array}{rr} -4 & 2 \\ 7 & 5 \end{array}\right)$

Welche Dimension hat die Matrix $A$ einer linearen Abbildung $f: \; \mathb{R}^3 \rightarrow \mathb{R}^2$ ? Nr. 5033
	2x3
	3x2
	3x3
	2x2
Lösungsweg Die Zeilenzahl der Matrix $A$ muss gleich der Dimension der Zielmenge, die Spaltenzahl gleich der Dimension der Definitionsmenge sein. Daher muss die Dimension der Matrix $A$ gleich 2x3 sein. Dann ist die Matrizenmultiplikation $A \cdot \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} y_1 \\ y_2 \end{pmatrix}$ definiert.

Welche Dimension hat die Matrix $A$ einer linearen Abbildung $f: \; \mathb{R}^2 \rightarrow \mathb{R}^3$ ? Nr. 5034
	2x3
	3x2
	3x3
	2x2
Lösungsweg Die Zeilenzahl der Matrix $A$ muss gleich der Dimension der Zielmenge, die Spaltenzahl gleich der Dimension der Definitionsmenge sein. Daher muss die Dimension der Matrix $A$ gleich 3x2 sein. Dann ist die Matrizenmultiplikation $A \cdot \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} y_1 \\ y_2 \\ y_3 \end{pmatrix}$ definiert.

Welche Dimension hat die Matrix $A$ einer linearen Abbildung $f: \; \mathb{R}^2 \rightarrow \mathb{R}^4$ ? Nr. 5035
	4x4
	2x4
	4x2
	2x2
Lösungsweg Die Zeilenzahl der Matrix $A$ muss gleich der Dimension der Zielmenge, die Spaltenzahl gleich der Dimension der Definitionsmenge sein. Daher muss die Dimension der Matrix $A$ gleich 4x2 sein. Dann ist die Matrizenmultiplikation $A \cdot \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} y_1 \\ y_2 \\ y_3 \\ y_4 \end{pmatrix}$ definiert.

Welche Dimension hat die Matrix $A$ einer linearen Abbildung $f: \; \mathb{R}^3 \rightarrow \mathb{R}^4$ ? Nr. 5036
	3x3
	3x4
	4x4
	4x3
Lösungsweg Die Zeilenzahl der Matrix $A$ muss gleich der Dimension der Zielmenge, die Spaltenzahl gleich der Dimension der Definitionsmenge sein. Daher muss die Dimension der Matrix $A$ gleich 4x3 sein. Dann ist die Matrizenmultiplikation $A \cdot \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} y_1 \\ y_2 \\ y_3 \\ y_4 \end{pmatrix}$ definiert.

Wir betrachten zwei lineare Abbildungen $f, \; g$ mit $f(\vec{x} ) = F \cdot \vec{x}$ und $g(\vec{x} ) = G \cdot \vec{x}$ . $h$ bezeichne die Hintereinanderausführung von $h = f \circ g$ . (Definitions- und Zielbereiche seien so gewählt, dass die Hintereinanderausführung definiert ist.) Wählen Sie alle zutreffenden Aussagen aus! Nr. 5068
	$h(\vec{x}) = g(f(\vec{x}))$
	Es wird zuerst $f$ , dann $g$ ausgeführt.
	$h(\vec{x}) = F \cdot G \cdot \vec{x}$
	$h(\vec{x}) = F \cdot \vec{x} + G \cdot \vec{x}$
	$h(\vec{x}) = G \cdot F \cdot \vec{x}$
Lösungsweg Bei der Hintereinanderausführung $h = f \circ g$ wird zuerst die Abbildung $g$ ausgeführt, dann die Abbildung $f$ . Es gilt $h ( \vec{x} ) = \left( f \circ g \right) (\vec{x} ) = f \left( g(\vec{x} ) \right)$ . Werden lineare Abbildungen durch Matrizen beschrieben, so entspricht die Hintereinanderausführung einer Matrixmultiplikation. Achtung: Auf die Reihenfolge achten, da die Matrixmultiplikation im Allgemeinen nicht kommutativ ist! Wenn die Matrixdarstellungen gegeben sind als $g(\vec{x}) = G \cdot \vec{x}, \quad f(\vec{x}) = F \cdot \vec{x}$ , dann gilt für die Hintereinanderausführung $h(\vec{x}) = f\left( g(\vec{x}) \right) = F \cdot G \cdot \vec{x}$ . (Die rechte Matrix gehört zu jener Abbildung, die zuerst ausgeführt wird.)

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