Fragenliste von Orthogonalität und Skalarprodukt

Berechnen Sie das Skalarprodukt der Vektoren a und b $\vec a = \begin{pmatrix} 2\\ -4\\ 0 \end{pmatrix}$ $\vec b = \begin{pmatrix} 3\\ 2\\ 5 \end{pmatrix}$ Nr. 2107
	$\vec a \cdot \vec b = \begin{pmatrix} 6\\ -8\\ 0 \end{pmatrix}$
	$\vec a \cdot \vec b =-2$
	$\vec a \cdot \vec b =0$
Lösungsweg $\vec a \cdot \vec b = 2 \cdot 3 + (-4) \cdot 2 + 0 \cdot 5 = -2$

Berechnen Sie das Skalarprodukt der Vektoren a und b $\vec a = \begin{pmatrix} 1\\ 5\\ 1 \end{pmatrix}$ , $\vec b = \begin{pmatrix} 4\\ 2\\ 1 \end{pmatrix}$ Nr. 2108
	$\vec a \cdot \vec b = \begin{pmatrix} 4\\ 10\\ 1 \end{pmatrix}$
	$\vec a \cdot \vec b = \begin{pmatrix} 1 & 4\\ 5 & 2\\ 1 & 1 \end{pmatrix}$
	$\vec a \cdot \vec b = 14$
	$\vec a \cdot \vec b = 15$
Lösungsweg $\vec a \cdot \vec b = \begin{pmatrix} 1\\ 5\\ 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 4\\ 2\\ 1 \end{pmatrix} =1 \cdot 4 + 5 \cdot 2 + 1 \cdot 1 = 15$

Berechnen Sie das Skalarprodukt der Vektoren a und b $\vec a = \begin{pmatrix} 2\\ 3\\ 3 \end{pmatrix}$ $\vec b = \begin{pmatrix} -4\\ -1\\ 1 \end{pmatrix}$ Nr. 2333
	-8
	$\begin{pmatrix} -8\\ -3\\ 3 \end{pmatrix}$
	14
Lösungsweg $\begin{pmatrix} 2\\ 3\\ 3 \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} -4\\ -1\\ 1 \end{pmatrix}= 2\cdot (4-)+3\cdot (-1) + 3\cdot 1=-8$

Berechnen Sie das Skalarprodukt der Vektoren a und b $\vec a = \begin{pmatrix} -2\\ 0\\ 9 \end{pmatrix}$ $\vec b = \begin{pmatrix} x\\ y\\ z \end{pmatrix}$ Nr. 2335
	9z-2x
	$\begin{pmatrix} -2x\\ 0y\\ 9z \end{pmatrix}$
	2x+y+9z
	$\begin{pmatrix} -2x\\ 0\\ 9z \end{pmatrix}$

Bei welchem Eckpunkt liegt der rechte Winkel des angegebenen Dreiecks $ABC$ ? $A=(25\|13\|4)$ , $B=(11\|5\|10)$ , $C=(20\|0\|-25)$ Hinweis: Verwende das Orthogonalitätskriterium: Zwei Vektoren stehen auf einander normal, wenn ihr Skalarprodukt 0 beträgt. Nr. 2513
	A
	B
	C
	Das Dreieck ist nicht rechtwinkelig.
Lösungsweg $\vec {AB}= \begin{pmatrix} 14\\ 8 \\-6 \end{pmatrix}$ , $\vec{AC}=\begin{pmatrix} 5 \\ 13 \\ 29 \end{pmatrix}$ $\vec{AB} \cdot \vec {AC} = 14 \cdot 5 + 8 \cdot 13 -6 \cdot 29 = 0$

Bei welchem Eckpunkt liegt der rechte Winkel des angegebenen Dreiecks $ABC$ ? $A=(2\|1\|0)$ , $B=(2\|-3\|-4)$ , $C=(1\|-1\|-2)$ Hinweis: Verwende das Orthogonalitätskriterium: Zwei Vektoren stehen auf einander normal, wenn ihr Skalarprodukt 0 beträgt. Nr. 2514
	A
	B
	C
	Das Dreieck ist nicht rechtwinkelig.

Bei welchem Eckpunkt liegt der rechte Winkel des angegebenen Dreiecks $ABC$ ? $A=(-1\|1\|2)$ , $B=(-2\|2\|4)$ , $C=(0\|3\|4)$ Hinweis: Verwende das Orthogonalitätskriterium: Zwei Vektoren stehen auf einander normal, wenn ihr Skalarprodukt 0 beträgt. Nr. 2515
	A
	B
	C
	Das Dreieck ist nicht rechtwinkelig.

Bei welchem Eckpunkt liegt der rechte Winkel des angegebenen Dreiecks $ABC$ ? $A=(4\|2\|1)$ , $B=(13\|6\|5)$ , $C=(7\|8\|2)$ Hinweis: Verwende das Orthogonalitätskriterium: Zwei Vektoren stehen auf einander normal, wenn ihr Skalarprodukt 0 beträgt. Nr. 2516
	A
	B
	C
	Das Dreieck ist nicht rechtwinkelig.

Bei welchem Eckpunkt liegt der rechte Winkel des angegebenen Dreiecks $ABC$ ? $A=(-1\|1\|2)$ , $B=(2\|1\|5)$ , $C=(1\|-1\|3)$ Hinweis: Verwende das Orthogonalitätskriterium: Zwei Vektoren stehen auf einander normal, wenn ihr Skalarprodukt 0 beträgt. Nr. 2518
	A
	B
	C
	Das Dreieck ist nicht rechtwinkelig.

Berechne das Skalarprodukt: $\begin{pmatrix}2\\-3\\-4\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}4\\-2\\4\end{pmatrix}$ Nr. 2522
	-5
	-2
	1
	5
	14

Berechne das Skalarprodukt: $\begin{pmatrix}3\\9\\3\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}2\\1\\-5\end{pmatrix}$ Nr. 2526
	-4
	0
	2
	5
	11

Welcher Wert muss für die fehlende Komponente eingesetzt werden, damit die beiden Vektor orthogonal (normal) aufeinander stehen? $\begin{pmatrix}1\\2\\-5\end{pmatrix}\ ,\ \ \ \ \ \begin{pmatrix}4\\5\\z\end{pmatrix}$ Nr. 2527
	z=-2,8
	z=1,5
	z=2,8
	z=3,5
	z=4,1
Lösungsweg $4+10-5z=0 \\ 14/5=z$

Welcher Wert muss für die fehlende Komponente eingesetzt werden, damit die beiden Vektor orthogonal (normal) aufeinander stehen? $\begin{pmatrix}2\\-3\\-4\end{pmatrix}\ ,\ \ \ \ \ \begin{pmatrix}4\\y\\4\end{pmatrix}$ Nr. 2528
	y=-2,67
	y=3,2
	y=3,67
	y=4,5
	y=5,33
Lösungsweg $8-3y-16=0 \\ -8/3=z$

Welcher Wert muss für die fehlende Komponente eingesetzt werden, damit die beiden Vektor orthogonal (normal) aufeinander stehen? $\begin{pmatrix}4\\1\\4\end{pmatrix}\ ,\ \ \ \ \ \begin{pmatrix}x\\4\\1\end{pmatrix}$ Nr. 2529
	x=-4,5
	x=-2
	x=-0,67
	x=1,5
	x=3,2
Lösungsweg $4x+4+4=0 \\ x=-8/4=-2$

Welcher Wert muss für die fehlende Komponente eingesetzt werden, damit die beiden Vektor orthogonal (normal) aufeinander stehen? $\begin{pmatrix}x\\-2\\-3\end{pmatrix}\ ,\ \ \ \ \ \begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix}$ Nr. 2530
	x=-2
	x=-1,5
	x=0
	x=2,2
	x=3
Lösungsweg $x-3=0\\ x=3$

Welcher Wert muss für die fehlende Komponente eingesetzt werden, damit die beiden Vektor orthogonal (normal) aufeinander stehen? $\begin{pmatrix}1\\1\\5\end{pmatrix}\ ,\ \ \ \ \ \begin{pmatrix}-2\\-3\\z\end{pmatrix}$ Nr. 2531
	z=-2,2
	z=-1,8
	z=0,5
	z=1
	z=2,8

Welcher Wert muss für die fehlende Komponente eingesetzt werden, damit die beiden Vektor orthogonal (normal) aufeinander stehen? $\begin{pmatrix}3\\9\\z\end{pmatrix}\ ,\ \ \ \ \ \begin{pmatrix}2\\1\\-5\end{pmatrix}$ Nr. 2532
	z=-2,5
	z=0,2
	z=3
	z=4,5
	z=5,2

Die Punkte A, B, C bilden eine Ebene. Finden Sie einen Vektor $\vec n$ , der normal auf diese Ebene steht. $A = \begin{pmatrix} 1 \\ 4 \\ 6 \end{pmatrix}$ , $B = \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ -7 \end{pmatrix}$ , $C = \begin{pmatrix} -3 \\ 6 \\ 10 \end{pmatrix}$ Nr. 3008
	$\vec n = \begin{pmatrix} 3 \\ 10 \\ -2 \end{pmatrix}$
	$\vec n = \begin{pmatrix} 18 \\ 60 \\ -12 \end{pmatrix}$
	$\vec n = \begin{pmatrix} -3 \\ -10 \\ 2 \end{pmatrix}$
	$\vec n = \begin{pmatrix} 3 \\ -10 \\ 2 \end{pmatrix}$
	$\vec n = \begin{pmatrix} 3 \\ 10 \\ 2 \end{pmatrix}$
Lösungsweg $\vec {AB} = B - A$ und $\vec {AC} = C - A$ $\vec n = \vec {AB} \times \vec {AC}$

Die Punkte A, B, C bilden eine Ebene. Finden Sie einen Vektor $\vec n$ , der normal auf diese Ebene steht. $A = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$ , $B = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}$ , $C = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$ Nr. 3009
	Die Punkte A, B, C bilden keine Ebene, Aufgabe daher unlösbar.
	$\vec n = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}$
	$\vec n = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}$
	$\vec n = \begin{pmatrix} \sqrt{2} \\ \sqrt{2} \\ 0 \end{pmatrix}$
	$\vec n = \begin{pmatrix} 0 \\ \sqrt{2} \\ 0 \end{pmatrix}$
Lösungsweg $\vec {AB}$ entspricht der z-Achse, $\vec {AC}$ entspricht der x-Achse. $\vec n$ muss daher parallel zur y-Achse sein.

Die Punkte A, B, C bilden eine Ebene. Finden Sie einen Vektor $\vec n$ , der normal auf diese Ebene steht. $A = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$ , $B = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}$ , $C = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}$ Nr. 3010
	Es gibt keine Lösung, da A, B, C keine Ebene bilden.
	$\vec n = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$
	$\vec n = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}$
	$\vec n = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix}$
	$\vec n = \begin{pmatrix} -1 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix}$
Lösungsweg $\vec n = \vec {AB} \times \vec {AC}$

Bestimmen Sie die Parameter $u$ und $v$ so, dass der Vektor $\vec c$ sowohl zu $\vec a$ als auch zu $\vec b$ orthogonal ist und zwar unter ausschliesslicher Verwendung des Vektorprodukts. $\vec a = \begin{pmatrix} 1 \\ 5 \\ 2 \end{pmatrix}$ , $\vec b = \begin{pmatrix} -2 \\ 14 \\ 1 \end{pmatrix}$ , $\vec c = \begin{pmatrix} u \\ 1 \\ v \end{pmatrix}$ Nr. 3012
	$u = 4,6 \\ v = -4,8$
	$u = -23 \\ v = 24$
	$u = -4,6 \\ v = 4,8$
	$u = -4,8 \\ v = 4,6$
Lösungsweg $\vec a \times \vec b$ ist orthogonal auf $\vec a$ und auf $\vec b$ , daher parallel zu $\vec c$ .

Bestimmen Sie die Parameter $u$ und $v$ so, dass der Vektor $\vec c$ sowohl zu $\vec a$ als auch zu $\vec b$ orthogonal ist und zwar unter ausschliesslicher Verwendung des Skalarprodukts. $\vec a = \begin{pmatrix} 1 \\ 5 \\ 2 \end{pmatrix}$ , $\vec b = \begin{pmatrix} -2 \\ 14 \\ 1 \end{pmatrix}$ , $\vec c = \begin{pmatrix} u \\ 1 \\ v \end{pmatrix}$ Nr. 3013
	$u = 4,6 \\ v = -4,8$
	$u = 4,8 \\ v = -4,6$
	$u = -4,6 \\ v = 4,8$
	$u = -4,8 \\ v = 4,6$
Lösungsweg Die Skalarprodukte zweier ortogonaler Vektoren sind 0. $\vec a \cdot \vec c = 0$ und $\vec b \cdot \vec c = 0$

Gegeben ist der Vektor $\vec a = \begin{pmatrix} 2 \\ 6 \\ 3 \end{pmatrix}$ Finden Sie den Vektor $\vec b$ , der normal auf $\vec a$ steht, parallel zur (x,y) - Ebene liegt und den halben Betrag von $\vec a$ hat. Nr. 3019
	$\vec b = \begin{pmatrix} 3,32 \\ -1,11 \\ 0 \end{pmatrix}$
	$\vec b = \frac{7}{4 \sqrt{10}} \cdot \begin{pmatrix} 6 \\ -2 \\ 0 \end{pmatrix}$
	$\vec b = \frac{7}{2 \sqrt{10}} \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix}$
	$\vec b = \frac{7}{4 \sqrt{10}} \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix}$
	$\vec b = \begin{pmatrix} 6 \\ -2 \\ 0 \end{pmatrix}$
Lösungsweg Hinweis: Liegt ein Vektor parallel zur (x-y) - Ebene, so ist er orthogonal zur z - Achse. Die z - Achse lässt sich z.B: durch den Vektor $\vec z = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}$ repräsentieren. Der gesuchte Vektor $\vec b$ ist also normal zu $\vec a$ und zur z-Achse (verwende Kreuzprodukt!): $\vec b' = \vec a \times \vec z$ $\\| \vec a\| = \sqrt{4+36+9} = \sqrt{49} = 7 \Rightarrow \\| \vec b\| = \frac{7}{2}$ $\vec b = \frac{7}{2} \cdot \frac{\vec b'}{\\| \vec b'\|}$

Gegeben ist der Vektor $\vec a = \begin{pmatrix} 1 \\ 4 \\ 8 \end{pmatrix}$ Finden Sie den Vektor $\vec b$ , der normal auf $\vec a$ steht, parallel zur (x,y) - Ebene liegt und den halben Betrag von $\vec a$ hat. Nr. 3020
	$\vec b = \begin{pmatrix} 4,37 \\ -1,09 \\ 0 \end{pmatrix}$
	$\vec b = \frac{9}{2 \sqrt{17}} \cdot \begin{pmatrix} 4 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix}$
	$\vec b = \frac{9}{2} \cdot \begin{pmatrix} 4 \\ -2 \\ 0 \end{pmatrix}$
	$\vec b = \frac{9}{2 \sqrt{17}} \cdot \begin{pmatrix} 4 \\ -2 \\ 0 \end{pmatrix}$
Lösungsweg Hinweis: Liegt ein Vektor parallel zur (x-y) - Ebene, so ist er orthogonal zur z - Achse. Die z - Achse lässt sich z.B: durch den Vektor $\vec z = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}$ repräsentieren. Der gesuchte Vektor $\vec b$ ist also normal zu $\vec a$ und zur z-Achse (verwende Kreuzprodukt!): $\vec b' = \vec a \times \vec z$ $\\| \vec a\| = \sqrt{1+16+64} = \sqrt{81} = 9 \Rightarrow \\| \vec b\| = \frac{9}{2}$ $\vec b = \frac{9}{2} \cdot \frac{\vec b'}{\\| \vec b'\|}$

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