Fragenliste von Vektorräume

Aus welchen Vektoren besteht das Erzeugendensystem von $\mathbb{R}^2$ ? Nr. 3882
	$\left { \begin{pmatrix}1 \\\ 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix}0 \\\ 1 \end{pmatrix} \right}$
	$\left { \begin{pmatrix} 1 \\\ 0 \\\ 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix}0 \\\ 1 \\\ 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix}0 \\\ 0 \\\ 1 \end{pmatrix} \right}$
	$\left { \begin{pmatrix}1 \\\ 1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix}1 \\\ 0 \end{pmatrix} \right}$
Lösungsweg Alle Vektoren in $\mathbb{R}^2$ lassen sich als Linearkombination der Vektoren $\begin{pmatrix}1 \\\ 0 \end{pmatrix}$ und $\begin{pmatrix}0 \\\ 1 \end{pmatrix}$ darstellen

Der Vektor $\vec v$ in der $\mathbb{ R}^3$ Standardbasis hat die Koordinaten $\vec v= \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ -2 \end{pmatrix}$ Welche Koordinaten hat der Vektor in der Basis b $\vec b_1= \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}$ $\vec b_2= \begin{pmatrix} 1/2 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}$ $\vec b_3= \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}$ Nr. 3945
	$\vec v'= \begin{pmatrix} 3 \\ -4 \\ 2 \end{pmatrix}$
	$\vec v'= \begin{pmatrix} 5/2 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}$
	$\vec v'= \begin{pmatrix} 3/2 \\ 3 \\ -4 \end{pmatrix}$
Lösungsweg Es muss gelten $v_1\vec b_1+v_2 \vec b_2 + v_3 \vec b_3 = v'_1\vec b'_1+v'_2 \vec b'_2 + v'_3 \vec b'_3$ Mit den Vektoren b als Spalten der Matrix $\vec B= \begin{pmatrix} 1 && 1/2 && 0 \\ 1 && 0 && 0 \\ 0 && 1 && 1 \end{pmatrix}$ Ist der transformierte Vektor $\vec v' = B^{-1} \vec{v}$ $\vec v'= \begin{pmatrix} 0 && 1 && 0 \\ 2 && -2 && 0 \\ -2 && 2 && 1 \end{pmatrix} \vec v$ $\vec v'= \begin{pmatrix} 3 \\ -4 \\ 2 \end{pmatrix}$

Transformieren Sie den Vektor v von Basis B zu Basis B' $\vec v= \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 3 \end{pmatrix}$ $\vec b_1= \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}$ $\vec b_2= \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}$ $\vec b_3= \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix}$ $\vec b'_1= \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$ $\vec b'_2= \begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix}$ $\vec b'_3= \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ -2 \end{pmatrix}$ Nr. 3946
	$\vec v'= \begin{pmatrix} -1 \\ -1/2 \\ -2 \end{pmatrix}$
	$\vec v'= \begin{pmatrix} 3 \\ 8 \\ 16 \end{pmatrix}$
	$\vec v'= \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ 4 \end{pmatrix}$
Lösungsweg Es muss gelten $v_1\vec b_1+v_2 \vec b_2 + v_3 \vec b_3 = v'_1\vec b'_1+v'_2 \vec b'_2 + v'_3 \vec b'_3$ $\vec v_s =v_1\vec b_1+v_2 \vec b_2 + v_3 \vec b_3 = \begin{pmatrix} -1 \\ 4 \\-4 \end{pmatrix}$ Mit den Vektoren b' als Spalten ist $B'= \begin{pmatrix} 1 && 0 && -1 \\ 0 && 2 && 0 \\ 0 && 2 && -2 \end{pmatrix}$ $\vec v' = B^{-1}\vec v_s$ $\vec v'= \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ 4 \end{pmatrix}$

Welche Vektoren sind linear abhängig von $\vec a = (-2, 3, 1)$ Nr. 4000
	$\vec b = (4, -6, -2)$
	$\vec c = (4, 6, 2)$
	$\vec d = (-1, \ 1.5, \ 0.5)$

Welche der Vektoren sind linear abhängig von $\vec a =(1,-1, 2)$ und $\vec b =(-1,3, 5)$ Nr. 4001
	(2, 1, 7)
	(-3, 5, 1)
	(2,-4,-3)
	(0, -5, -3)

Ist die folgende Teilmenge $V$ des $\mathbb{R}^2$ ein Teilraum? $V: \; \{ (x_1, \; x_2) \; \mid \; x_1+x_2=0 \}$ Nr. 4226
	nein, kein Teilraum
	ja, ein Teilraum
Lösungsweg Zu überprüfen sind drei Bedingungen, $\text{ wobei } v_1 \in V \; , \; v_2 \in V \text{ und } \lambda \in \mathbb{R}$ : $\vec{0} \in V ?$ $v_1 + v_2 \in V ?$ $\lambda v_1 \in V?$ Wähle also: $v_1=(x_1,x_2) \text{ und } v_2=(y_1,y_2)$ Bedingung 1: ist erfüllt, da 0+0=0 Bedingung 2: $v_1 + v_2 = (x_1 + y_1 , \; x_2 + y_2)$ Der Teilraum ist wie folgt bestimmt: $V: \; \{ (x_1, \; x_2) \; \mid \; x_1+x_2=0 \}$ , also muss überprüft werden, ob $v_1 + v_2$ dies Bedingung des Teilraums erfüllt: $(x_1 + y_1 + x_2 + y_2) = (x_1 + x_2 + y_1 + y_2)$ Nach Vorraussetzung sind aber $v_1 \in V \; , \; v_2 \in V$ , also $(x_1 + x_2 + y_1 + y_2) = (0 + 0 ) = 0$ $\rightarrow (v_1 + v_2) \in V$ Bedingung 3: $\lambda v_1 = \lambda (x_1, x_2)$ , überprüfe die Teilraumbedingung: $\lambda x_1 + \lambda x_2 = 0 ? \\ \lambda x_1 + \lambda x_2 = \lambda (x_1 + x_2) = \lambda \cdot 0 = 0$ Somit sind alle drei Bedingungen erfüllt und es handelt sich um einen Teilraum.

Ist die folgende Teilmenge $V$ des $\mathbb{R}^2$ ein Teilraum?

$V: \; \{ (x_1, \; x_2) \; \mid \; x_1+x_2=0 \}$

Nr. 4226

nein, kein Teilraum

ja, ein Teilraum

Lösungsweg

Ist die folgende Teilmenge $V$ des $\mathbb{R}^2$ ein Teilraum? $V: \; \{ (x_1, \; x_2) \; \mid \; x_1+x_2=1 \}$ Nr. 4227
	ja, ein Teilraum
	nein, kein Teilraum
Lösungsweg Zu überprüfen sind drei Bedingungen, $\text{ wobei } v_1 \in V \; , \; v_2 \in V \text{ und } \lambda \in \mathbb{R}$ : $\vec{0} \in V ?$ $v_1 + v_2 \in V ?$ $\lambda v_1 \in V?$ Wähle also: $v_1=(x_1,x_2) \text{ und } v_2=(y_1,y_2)$ Bedingung 1: $0 + 0 = 0 \neq 1$ Hier ist schon Bedingung 1 nicht erfüllt, es handelt sich um KEINEN Teilraum!

Ist die folgende Teilmenge $V$ des $\mathbb{R}^2$ ein Teilraum?

$V: \; \{ (x_1, \; x_2) \; \mid \; x_1+x_2=1 \}$

Nr. 4227

ja, ein Teilraum

nein, kein Teilraum

Lösungsweg

Ist die folgende Teilmenge $V$ des $\mathbb{R}^2$ ein Teilraum? $V: \; \{ (x_1, \; x_2) \; \mid \; x_1+(x_2)^2=0 \}$ Nr. 4228
	nein, kein Teilraum.
	ja, ein Teilraum
Lösungsweg Zu überprüfen sind drei Bedingungen, $\text{ wobei } v_1 \in V \; , \; v_2 \in V \text{ und } \lambda \in \mathbb{R}$ : $\vec{0} \in V ?$ $v_1 + v_2 \in V ?$ $\lambda v_1 \in V?$ Wähle also: $v_1=(x_1,x_2) \text{ und } v_2=(y_1,y_2)$ Bedingung 1: ist erfüllt, da $0+0^2=0$ , also $\vec{0} \in V$ Bedingung 2: $v_1 + v_2 = (x_1 + y_1 , \; x_2 + y_2)$ Der Teilraum ist wie folgt bestimmt: $V: \; \{ (x_1, \; x_2) \; \mid \; x_1+(x_2)^2=0 \}$ , also muss überprüft werden, ob $v_1 + v_2$ diese Bedingung des Teilraums erfüllt: $(x_1 + y_1 + (x_2 + y_2)^2 ) = (x_1 + y_1 + (x_2)^2 + 2x_2y_2 + (y_2)^2) = \\ = (x_1 + (x_2)^2 ) + (y_1 + (y_2)^2) + 2x_2y_2 = 0 + 0 + 2x_2y_2 \; \text{ da } \; v_1 \in V \; , \; v_2 \in V$ Also: $(x_1 + y_1 + (x_2 + y_2)^2 ) = 0 + 0 + 2x_2y_2 \neq 0$ , daher $v_1 + v_2 \notin V$ Es handelt sich also um KEINEN Teilraum.

Ist die folgende Teilmenge $V$ des $\mathbb{R}^2$ ein Teilraum?

$V: \; \{ (x_1, \; x_2) \; \mid \; x_1+(x_2)^2=0 \}$

Nr. 4228

nein, kein Teilraum.

ja, ein Teilraum

Lösungsweg

Ist die folgende Teilmenge $V$ des $\mathbb{R}^3$ ein Teilraum? $V: \; \{ (x_1, \; x_2, \; x_3) \; \mid \; 4x_1-x_2 + 7x_3=0 \}$ Nr. 4229
	ja, ein Teilraum.
	nein, kein Teilraum.
Lösungsweg Zu überprüfen sind drei Bedingungen, $\text{ wobei } v_1 \in V \; , \; v_2 \in V \text{ und } \lambda \in \mathbb{R}$ : $\vec{0} \in V ?$ $v_1 + v_2 \in V ?$ $\lambda v_1 \in V?$ Wähle also: $v_1=(x_1,x_2, x_3) \text{ und } v_2=(y_1,y_2, y_3)$ Bedingung 1: ist erfüllt, da $4 \cdot 0 - 0 + 7 \cdot 0 = 0 -0+0=0$ , also $\vec{0} \in V$ Bedingung 2: $v_1 + v_2 = (x_1 + y_1 , \; x_2 + y_2, \; x_3 + y_3)$ Der Teilraum ist wie folgt bestimmt: $V: \; \{ (x_1, \; x_2, \; x_3) \; \mid \; 4x_1-x_2 + 7x_3=0 \}$ , also muss überprüft werden, ob $v_1 + v_2$ dies Bedingung des Teilraums erfüllt: $4(x_1 + y_1)-(x_2-y_2) + 7(x_3+y_3)=0 ?$ $4(x_1 + y_1)-(x_2+y_2) + 7(x_3+y_3) = \\ = 4x_1 + 4y_1-x_2-y_2 + 7x_3+7y_3= \\ = (4x_1 -x_2+ 7x_3 ) + (4y_1 -y_2 + 7y_3)= \\ = 0 + 0 = 0$ also $v_1 + v_2 \in V$ Bedingung 3: $\lambda v_1 = \lambda (x_1, x_2, x_3)$ , überprüfe die Teilraumbedingung: $4 \cdot( \lambda x_1) - \lambda x_2 + 7 \cdot ( \lambda x_3) = 0 ? \\ 4\lambda x_1 - \lambda x_2 + 7\lambda x_3= \\ = \lambda ( 4 x_1 - x_2 + 7x_3) = \lambda \cdot 0 = 0$ Also $\lambda v_1 \in V$ Alle drei Bedingungen sind erfüllt, es handelt sich um einen Teilraum.

Ist die folgende Teilmenge $V$ des $\mathbb{R}^3$ ein Teilraum?

$V: \; \{ (x_1, \; x_2, \; x_3) \; \mid \; 4x_1-x_2 + 7x_3=0 \}$

Nr. 4229

ja, ein Teilraum.

nein, kein Teilraum.

Lösungsweg

Ist die folgende Teilmenge $V$ des $\mathbb{R}^3$ ein Teilraum? $V: \; \{ (x_1, \; x_2, \; x_3) \; \mid \; x_1 +2x_3=0 \text{ und } (x_{2})^4=0 \}$ Nr. 4230
	nein, kein Teilraum.
	ja, ein Teilraum.
Lösungsweg Zu überprüfen sind drei Bedingungen, $\text{ wobei } v_1 \in V \; , \; v_2 \in V \text{ und } \lambda \in \mathbb{R}$ : $\vec{0} \in V ?$ $v_1 + v_2 \in V ?$ $\lambda v_1 \in V?$ Wähle also: $v_1=(x_1,x_2, x_3) \text{ und } v_2=(y_1,y_2, y_3)$ Bedingung 1: ist erfüllt, da $0 +2 \cdot 0 = 0$ und $0^2=0$ , also $\vec{0} \in V$ Bedingung 2: $v_1 + v_2 = (x_1 + y_1 , \; x_2 + y_2, \; x_3 + y_3)$ Der Teilraum ist wie folgt bestimmt: $V: \; \{ (x_1, \; x_2, \; x_3) \; \mid \; x_1 +2x_3=0 \text{ und } (x_{2})^4=0 \}$ , also muss überprüft werden, ob $v_1 + v_2$ dies Bedingung des Teilraums erfüllt: $(x_1 + y_1)+2(x_3+y_3) =0 ? \; \text{ und } \; (x_2+y_2)^4=0 ?$ $x_1 + y_1+2x_3+2y_3 = (x_1 +2x_3) + ( y_1+2y_3 ) = 0 + 0 = 0 \\ \text{ nun gilt es noch folgendes zu betrachten } \; (x_2+y_2)^4=0?$ Da aber $v_1 \in V \; , \; v_2 \in V$ wissen wir, dass sowohl $(x_2) ^4 = 0 \; \text{ als auch } \; (y_2) ^4=0.$ $\text{Darauf folgt allerdings jeweils: }\; x_2 = 0 \; \text{ und } \; y_2=0$ Das heißt: $(x_2+y_2)^4=( 0 + 0 )^4 = 0^4 = 0$ Also $v_1 + v_2 \in V$ . Bedingung 3: $\lambda v_1 = \lambda (x_1, x_2, x_3)$ , überprüfe die Teilraumbedingung: $( \lambda x_1) +2\cdot ( \lambda x_3) = 0 ? \; \text{ und } \; (\lambda x_2)^4=0? \\ \lambda x_1 +2 \lambda x_3 = \lambda (x_1 + 2x_3) = \lambda \cdot 0 = 0 \\$ und $(\lambda x_2)^4= \lambda ^4 (x_2)^4 = \lambda ^4 \cdot 0 = 0$ Also $\lambda v_1 \in V$ . Alle drei Bedingungen sind erfüllt, es handelt sich um einen Teilraum.

Ist die folgende Teilmenge $V$ des $\mathbb{R}^3$ ein Teilraum?

$V: \; \{ (x_1, \; x_2, \; x_3) \; \mid \; x_1 +2x_3=0 \text{ und } (x_{2})^4=0 \}$

Nr. 4230

nein, kein Teilraum.

ja, ein Teilraum.

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