Fragenliste von Anwendungen für komplexe Zahlen

Berechnen Sie den komplexen Widerstand $Z_C$ eines idealen Kondensators der Kapazität $C=20 \mu F$ bei einer Frequenz von $f=100kHz$ . Nr. 3888
	$-i \cdot 79,57 k\Omega$
	$80 k\Omega$
	$i \cdot 723 \Omega$
	$795 k\Omega$
Lösungsweg $Z_C=\frac{1}{i \omega C}$ $\omega = 2 \pi f = 2 \pi \cdot 100 kHz$ $Z_C=-i\frac{1}{ \omega C}$ $Z_C=-i\frac{1}{ 2 \pi \cdot 100 kHz \cdot 20 \mu F} = -i \cdot 79,57 k\Omega$

Berechnen Sie den komplexen Widerstand $Z_L$ einer idealen Spule mit der Induktivität $L=10 mH$ bei einer Frequenz von $f=100kHz$ . Nr. 3889
	$i \cdot 6,28 k\Omega$
	$-i \cdot 628 k\Omega$
	$82,4 k\Omega$
	$240 \Omega$
Lösungsweg $Z_L=i \omega L$ $\omega = 2 \pi f = 2 \pi \cdot 100 kHz$ $Z_L=i \cdot 2 \pi \cdot 100 kHz \cdot 10 m H} = i \cdot 6,28 k\Omega$

Lösen Sie folgende Gleichung: $\sqrt[4]{-81}=0$ Nr. 4199
	Es gibt eine Lösung: $z = 3 \exp \Big(i \frac{\pi}{4} \Big)$
	Es gibt vier Lösungen: $z_0 = 3 \exp \Big(-i \frac{\pi}{4} \Big) \\ z_1 = 9 \exp \Big(-i \frac{3\pi}{4}\Big) \\ z_2 = 27 \exp \Big(-i \frac{5\pi}{4}\Big) \\ z_3 = 81 \exp \Big(-i \frac{7\pi}{4}\Big)$
	Es gibt vier Lösungen: $z_0 = 3 \exp \Big(i \frac{\pi}{4} \Big) \\ z_1 = 3 \exp \Big(i \frac{3\pi}{4}\Big) \\ z_2 = 3 \exp \Big(i \frac{5\pi}{4}\Big) \\ z_3 = 3 \exp \Big(i \frac{7\pi}{4}\Big)$
Lösungsweg In diesem Beispiel hat die komplexe Zahl z also folgende Form: $z = -81 + i \cdot 0$ Nun berechnet man den Betrag und das Argument: $r = \|z\| = 81 \\ \varphi = \arctan \Big( \frac{0}{-81} \Big) = \arctan(0) = \pi$ Für unsere Gleichung $\sqrt[4]{-81}=0$ erwarten wir vier Lösungen: $\sqrt[4]{z} = \sqrt[4]{81} \exp\Big( i \frac{\pi + 2n\pi}{4} \Big) \text{ mit } n \in \{0,1,2,3\}$ Somit erhält man folgende vier Lösungen: $z_0 = 3 \exp \Big(i \frac{\pi}{4} \Big) \\ z_1 = 3 \exp \Big(i \frac{\pi + 2\pi}{4}\Big) = 3 \exp \Big(i \frac{3\pi}{4}\Big) \\$ $z_2 = 3 \exp \Big(i \frac{\pi + 2 \cdot 2\pi}{4}\Big) = 3 \exp \Big(i \frac{5\pi}{4}\Big)\\ z_3 = 3 \exp \Big(i \frac{\pi + 2 \cdot 3\pi}{4}\Big) = 3 \exp \Big(i \frac{7\pi}{4}\Big)$

Gegeben ist folgendes: $R = 330 \Omega$ $\omega L = 20 \Omega$ Geben Sie die komplexe Impedanz $Z$ in Exponentialdarstellung an! Nr. 4357
	$Z = 330 \; e^{j \cdot 20}$
	$Z = 20 -330j$
	$Z = \sqrt{108900} \; e^{j \cdot 0.06}$
	$Z = 330 + 20j$
	$Z = \sqrt{350} \; e^{j \cdot 0.06\pi}$
Lösungsweg $Z = R + j \omega L = 330 + 20j$ $\mid Z \mid = \sqrt{330^2+20^2} = \sqrt{108900}$ $\varphi = \arctan \Big( \frac{Im(Z) } {Re(Z)} \Big) = \arctan \Big( \frac{20} {330} \Big) = 3.47^\circ = 0.06 \text{rad}$ $Z = \sqrt{108900} \; e^{j \cdot 0.06}$

Berechnen Sie den Scheinwiderstand der Reihenschaltung eines Ohm'schen Widerstands $R=100 \Omega$ mit einm induktiven Widerstand $\big( L = 0.02 H \big)$ bei einer Frequenz von $100kHz$ . Nr. 4359
	$\mid Z \mid \approx 168 k\Omega$
	$\mid Z \mid \approx 1.73 k\Omega$
	$\mid Z \mid \approx 4751\pi\Omega$
	$\mid Z \mid \approx 12.57 k\Omega$
	$\mid Z \mid \approx 54.93\Omega$
Lösungsweg Die komplexe Impedanz ist gegeben durch: $Z = R + jX_L$ $X_L = \omega L = 2\pi \cdot f \cdot L= 2\pi \cdot 100000 \cdot 0.02 = 4000\pi$ $Z = 100 + j\cdot 4000\pi$ Der Scheinwiderstand ist gegeben durch: $\mid Z \mid = \sqrt{100^2 +(4000\pi)^2 } \approx 12.57 k\Omega$

Eine Spule und ein Kondensator werden bei einer Frequenz von $50kHz$ in Reihe geschaltet. Berechnen Sie den Scheinwiderstand der Schaltung! $L = 0.1 H \\ C = 20 \mu F$ Nr. 4360
	$\mid Z \mid \approx 1031.75 k\Omega$
	$\mid Z \mid \approx 982.15\Omega$
	$\mid Z \mid \approx 6.28\Omega$
	$\mid Z \mid \approx 125 k\Omega$
	$\mid Z \mid \approx 31.4 k\Omega$
Lösungsweg Der Scheinwiderstand ist der Betrag der komplexen Impedanz Z. Die komplexe Impedanz Z erhalten Sie durch: $Z =Z_L + Z_C = j \omega L - j \frac{1}{\omega C} = j \big( 2\pi fL - \frac{1}{2\pi f C} \big) = j \big( 2\pi \cdot 50000 \cdot 0.1 - \frac{1}{2\pi \cdot 50000 \cdot 20 \cdot 10^{-6}} \big)$ $Z = j \big(10000\pi - \frac{1}{2\pi} \big)$ Der Scheinwiderstand ergibt sich aus: $\mid Z \mid = \sqrt{ \big(10000\pi - \frac{1}{2\pi} \big)^2} = \big(10000\pi - \frac{1}{2\pi} \big) \approx 31.4 k\Omega$

Ein Ohm'scher Widerstand und eine Spule werden im Wechselstromkreis bei einer Frequenz von $100kHz$ in Reihe geschalten. Berechnen Sie die komplexe Impedanz Z der Reihenschaltung und geben Sie diese in Exponentialdarstellung an! $R = 1k\Omega \\ L = 0.15 H$ Nr. 4361
	$Z \approx 7129\cdot \text{e}^{ 84.32j}$
	$Z \approx 96k \Omega \cdot \text{e}^{ 1.56j}$
	$Z = 4k \Omega \cdot \text{e}^{ 1.56j}$
	$Z \approx 30000\cdot \text{e}^{- 1.56j}$
	$Z \approx 2k \Omega \cdot \text{e}^{ 45.58j}$
Lösungsweg Die komplexe Impedanz Z ist gegeben durch: $Z = R + j Z_L = R + j \omega L = R + j \cdot 2\pi f L = 1000 + j \cdot 2 \pi \cdot 100000 \cdot 0.15 = 1000 + j \cdot 30000\pi$ Für die Exponentialdarstellung benötigen Sie den Betrag von Z und das Argument von Z: $\mid Z \mid = \sqrt{1000^2 + (30000\pi)^2} \approx 94253.08 \Omega$ $\varphi = \arctan \Big( \frac{ Im(Z)}{Re(Z)} \Big) = \arctan \Big( \frac{ 30000\pi}{1000} \Big) = 89.39^\circ = 1.56 \text{rad}$ $Z \approx 96k \Omega \cdot \text{e}^{ 1.56j}$

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