Fragenliste von Analytische Geometrie

Rechnen Sie aus der Normalenform in die Parameterform um.

Ebenengleichung

2(x_1-1)+2(x_2-2)+1(x_3-3)=0

Nr. 3892
Lösungsweg

Rechnen Sie von der Parameterform in die expizite Form y=kx+d um

\vec x= \left( 2 \\3 \right) + s \left( 1 \\4 \right)

Nr. 4052
Lösungsweg

Geben Sie die durch die drei Punkte gegebene Ebene in Parameterform an

P=(1,2,2) Q=(2,1,-1) R=(3,2,1)

Nr. 4053
Lösungsweg

Erstellen Sie eine Geradengleichung in Parameterform durch die folgenden zwei Punkte:

A=\left(\begin{array}{c} {-3} \\ {2} \end{array}\right)



  und B=\left(\begin{array}{c} {1} \\ {5} \end{array}\right)

Nr. 4258
Lösungsweg

Gegeben sind zwei Punkte der Ebene:

A=\left(\begin{array}{c} {-1} \\ {2} \end{array}\right)



und B=\left(\begin{array}{c} {3} \\ {0} \end{array}\right)

Stellen sie die Gleichung der Geraden auf, die durch die beiden Punkte verläuft. Geben Sie diese Geradengleichung in Normalvektorform an.

Nr. 4259
Lösungsweg

Geben Sie folgende Gerade, die hier in Normalvektorform gegeben ist, in Koordinatenform an:

g: \; \;

\left(\begin{array}{c} {2} \\ {4} \end{array}\right) \cdot \Big( X - 

\left(\begin{array}{c} {-1} \\ {2} \end{array}\right) \Big) = 0

Nr. 4260
Lösungsweg

Stellen Sie folgende Geradengleichung in Koordinatenform dar:

g: \; \; X =
\left(\begin{array}{c}
{3} \\
{7}
\end{array}\right)+t \cdot\left(\begin{array}{c}
{2} \\
{3}
\end{array}\right), mit t \in \mathbb{R}.

Nr. 4261
Lösungsweg

Gegeben ist eine Gerade in Koordinantenform:

-7x+0.5y=14

Geben Sie die dazugehörige Normalvektorform an!

Nr. 4262
Lösungsweg

Gegeben ist die folgende Koordinatenform einer Gerade:

2x - y = -3

Geben Sie die Gerade in Parameterform an!

Nr. 4263
Lösungsweg

Gegeben ist eine Gerade in expliziter Form:

y = 4x -3

Geben Sie die Gerade in Normalvektorform an!

Nr. 4264
Lösungsweg

Gegeben ist folgende Gerade in Parameterform:

g: \; \; X =
\left(\begin{array}{c}
{2} \\
{-1}
\end{array}\right)+t \cdot\left(\begin{array}{c}
{1} \\
{1}
\end{array}\right) , mit t \in \mathbb{R}.

Der Punkt P = \left(\begin{array}{c}
{3} \\
{y}
\end{array}\right) soll auf der Geraden liegen. Bestimmen Sie seine y-Komponente!

Nr. 4265
Lösungsweg

Gegeben ist folgende Gerade in Parameterform:

g: \; \; X =
\left(\begin{array}{c}
{2} \\
{-2}
\end{array}\right)+t \cdot\left(\begin{array}{c}
{3} \\
{-1}
\end{array}\right) , mit t \in \mathbb{R}.

Der Punkt P = \left(\begin{array}{c}
{x} \\
{0.5}
\end{array}\right) soll auf der Geraden liegen. Bestimmen Sie seine x-Komponente!

Nr. 4266
Lösungsweg

Prüfen Sie, ob die folgenden drei Punkte auf einer Geraden liegen:

A = \left(\begin{array}{c} {3} \\ {1} \end{array}\right)B = \left(\begin{array}{c} {1} \\ {0} \end{array}\right), C = \left(\begin{array}{c} {-1} \\ {-3} \end{array}\right)

Nr. 4267
Lösungsweg

Gegeben ist eine Gerade g und ein Punkt P:

g: \; \; X =
\left(\begin{array}{c}
{0} \\
{-1}
\end{array}\right)+t \cdot\left(\begin{array}{c}
{2} \\
{9}
\end{array}\right) , mit t \in \mathbb{R}  und P =
\left(\begin{array}{c}
{3} \\
{2}
\end{array}\right).

Geben Sie die Parameterform einer Geraden an, die parallel zu g und durch den Punkt P verläuft!

 

Nr. 4268
Lösungsweg

Gegeben ist eine Gerade g und ein Punkt P:

g: \; \; X =
\left(\begin{array}{c}
{5} \\
{2}
\end{array}\right)+t \cdot\left(\begin{array}{c}
{3} \\
{-1}
\end{array}\right) , mit t \in \mathbb{R}  und P =
\left(\begin{array}{c}
{4} \\
{0}
\end{array}\right).

Geben Sie die Parameterform einer Geraden an, die normal zu g und durch den Punkt P verläuft!

Nr. 4269
Lösungsweg

Gegeben ist eine Gerade g und ein Punkt P:

g: \; \; X =
\left(\begin{array}{c}
{1} \\
{-1}
\end{array}\right)+t \cdot\left(\begin{array}{c}
{2} \\
{-3}
\end{array}\right) , mit t \in \mathbb{R}  und P =
\left(\begin{array}{c}
{0} \\
{-3}
\end{array}\right).

Geben Sie die Normalvektorform der Geraden an, die normal zu g und durch den Punkt P verläuft!

Nr. 4270
Lösungsweg

Gegeben ist folgende Gerade in Parameterform:

g: \; \; X =
\left(\begin{array}{c}
{2} \\
{-2}
\end{array}\right)+t \cdot\left(\begin{array}{c}
{3} \\
{1}
\end{array}\right) , mit t \in \mathbb{R}.

Berechnen Sie den Normalabstand des  Punktes

P = \left(\begin{array}{c}
{-1} \\
{0.5}
\end{array}\right) von der Geraden g.

Nr. 4271
Lösungsweg

Gegeben ist folgende Gerade in Parameterform:

g: \; \; X =
\left(\begin{array}{c}
{3} \\
{0}
\end{array}\right)+t \cdot\left(\begin{array}{c}
{-1} \\
{2}
\end{array}\right) , mit t \in \mathbb{R}.

Berechnen Sie den Normalabstand des  Punktes

P = \left(\begin{array}{c}
{10} \\
{3}
\end{array}\right)  von der Geraden g.

Nr. 4272
Lösungsweg

Geben Sie die Lagebeziehung der folgenden beiden Geraden an:

g_1: \; \; X =
\left(\begin{array}{c}
{2} \\
{1}
\end{array}\right)+t \cdot\left(\begin{array}{c}
{1} \\
{-3}
\end{array}\right) , mit t \in \mathbb{R}.

g_2: \; \; X =
\left(\begin{array}{c}
{0} \\
{5}
\end{array}\right)+s \cdot\left(\begin{array}{c}
{-4} \\
{-12}
\end{array}\right) , mit s \in \mathbb{R}.

Nr. 4273
Lösungsweg

Geben Sie die Lagebeziehung der folgenden beiden Geraden an:

g_1: \; \; X =
\left(\begin{array}{c}
{-1} \\
{1}
\end{array}\right)+t \cdot\left(\begin{array}{c}
{1} \\
{-2}
\end{array}\right) , mit t \in \mathbb{R}.

g_2: \; \; X =
\left(\begin{array}{c}
{3} \\
{-5}
\end{array}\right)+s \cdot\left(\begin{array}{c}
{-4} \\
{8}
\end{array}\right) , mit s \in \mathbb{R}.

Nr. 4274
Lösungsweg

Geben Sie die Lagebeziehung der folgenden beiden Geraden an:

g_1: \; \; X =
\left(\begin{array}{c}
{0} \\
{0}
\end{array}\right)+t \cdot\left(\begin{array}{c}
{3} \\
{-5}
\end{array}\right) , mit t \in \mathbb{R}.

g_2: \; \; X =
\left(\begin{array}{c}
{9} \\
{-15}
\end{array}\right)+s \cdot\left(\begin{array}{c}
{-4.5} \\
{7.5}
\end{array}\right) , mit s \in \mathbb{R}.

Nr. 4275
Lösungsweg

Geben Sie die Lagebeziehung der folgenden beiden Geraden an:

g_1: \; \; X =
\left(\begin{array}{c}
{-1} \\
{1}
\end{array}\right)+t \cdot\left(\begin{array}{c}
{8} \\
{6}
\end{array}\right) , mit t \in \mathbb{R}.

g_2\; : \; \; \; 3x - 4y = 16

Nr. 4276
Lösungsweg

Berechnen Sie mit Hilfe der Vektorrechnung den Schwerpunkt des Dreiecks ABC:

A =\left(\begin{array}{c}
{2} \\
{1} \\
{3}
\end{array}\right), B =\left(\begin{array}{c} {6} \\ {3} \\ {-1} \end{array}\right), C =\left(\begin{array}{c} {4} \\ {3} \\ {2} \end{array}\right)

Nr. 4277
Lösungsweg

Von einem Dreieck ABC sind zwei Eckpunkte sowie der Schwerpunkt S bekannt. Berechnen Sie den fehlenden Eckpunkt!

B =\left(\begin{array}{c} {-1} \\ {-2} \\ {-3} \end{array}\right),\;

C =\left(\begin{array}{c} {4} \\ {2} \\ {0} \end{array}\right), \;

S =\left(\begin{array}{c} {3} \\ {3} \\ {3} \end{array}\right)

Nr. 4278
Lösungsweg

Geben Sie die Gerade durch A und B in Parameterform an, sodass der Richtungsvektor möglichst kleine, ganzzahlige Koordinaten aufweist!

A =\left(\begin{array}{c}
{2} \\
{1} \\
{3}
\end{array}\right), B =\left(\begin{array}{c} {6} \\ {3} \\ {-1} \end{array}\right)

Nr. 4279
Lösungsweg

Gegeben ist folgende Gerade im \mathbb{R}^3:

g: \;

X = \left(\begin{array}{c} {1} \\ {5} \\ {-4} \end{array}\right) + 

t \cdot 

\left(\begin{array}{c} {1} \\ {-2} \\ {3} \end{array}\right) , t \in \mathbb{R}.

Berechnen Sie den Abstand zwischen der Gerade g und dem Punkt

P =

\left(\begin{array}{c} {10} \\ {-5} \\ {8} \end{array}\right)

Nr. 4280
Lösungsweg

Gegeben ist folgende Gerade im \mathbb{R}^3:

g: \;

X = \left(\begin{array}{c} {1} \\ {0} \\ {5} \end{array}\right) + 

t \cdot 

\left(\begin{array}{c} {1} \\ {2} \\ {-1} \end{array}\right) , t \in \mathbb{R}.

Berechnen Sie den Abstand zwischen der Gerade g und dem Punkt

P =

\left(\begin{array}{c} {24} \\ {5} \\ {-2} \end{array}\right)

Nr. 4281
Lösungsweg

Geben Sie die Lagebeziehung der folgenden beiden Geraden im \mathbb{R}^3 an:

g_1: \;

X = \left(\begin{array}{c} {1} \\ {0} \\ {0} \end{array}\right) + 

t \cdot 

\left(\begin{array}{c} {1} \\ {-2} \\ {3} \end{array}\right) , t \in \mathbb{R}.

g_2: \;

X = \left(\begin{array}{c} {0} \\ {1} \\ {1} \end{array}\right) + 

s \cdot 

\left(\begin{array}{c} {-1} \\ {1} \\ {0} \end{array}\right) , s \in \mathbb{R}.

Nr. 4282
Lösungsweg

Geben Sie die Lagebeziehung der folgenden beiden Geraden im \mathbb{R}^3 an:

g_1: \;

X = \left(\begin{array}{c} {3} \\ {3} \\ {-2} \end{array}\right) + 

t \cdot 

\left(\begin{array}{c} {2} \\ {0} \\ {-14} \end{array}\right) , t \in \mathbb{R}.

g_2: \;

X = \left(\begin{array}{c} {2} \\ {3} \\ {5} \end{array}\right) + 

s \cdot 

\left(\begin{array}{c} {-3} \\ {4} \\ {6} \end{array}\right) , s \in \mathbb{R}.

Nr. 4283
Lösungsweg

Geben Sie die Lagebeziehung der folgenden beiden Geraden im \mathbb{R}^3 an:

g_1: \;

X = \left(\begin{array}{c} {2} \\ {1} \\ {5} \end{array}\right) + 

t \cdot 

\left(\begin{array}{c} {-4} \\ {6} \\ {14} \end{array}\right) , t \in \mathbb{R}.

g_2: \;

X = \left(\begin{array}{c} {-3} \\ {7} \\ {18} \end{array}\right) + 

s \cdot 

\left(\begin{array}{c} {2} \\ {-3} \\ {-7} \end{array}\right) , s \in \mathbb{R}.

Nr. 4284
Lösungsweg

Berechnen Sie den Winkel, den die beiden Geraden einschließen:

g: \;

X = \left(\begin{array}{c} {9} \\ {4} \\ {-1} \end{array}\right) + 

t \cdot 

\left(\begin{array}{c} {8} \\ {2} \\ {-4} \end{array}\right) , t \in \mathbb{R}.

h: \;

X = \left(\begin{array}{c} {-11} \\ {7} \\ {-5} \end{array}\right) + 

s \cdot 

\left(\begin{array}{c} {-8} \\ {2} \\ {-3} \end{array}\right) , s \in \mathbb{R}.

Nr. 4285
Lösungsweg

Berechnen Sie den Winkel, den die beiden Geraden einschließen:

g: \;

X = \left(\begin{array}{c} {0} \\ {0} \\ {9} \end{array}\right) + 

t \cdot 

\left(\begin{array}{c} {-1} \\ {-2} \\ {5} \end{array}\right) , t \in \mathbb{R}.

h: \;

X = \left(\begin{array}{c} {2} \\ {-4} \\ {-1} \end{array}\right) + 

s \cdot 

\left(\begin{array}{c} {1} \\ {-2} \\ {-5} \end{array}\right) , s \in \mathbb{R}.

Nr. 4286
Lösungsweg

Gegeben sind drei Punkte A, B, C. Geben Sie die Parameterdarstellung der Ebene an, in der die drei Punkte liegen.

A =\left(\begin{array}{c}
{2} \\
{1} \\
{3}
\end{array}\right), B =\left(\begin{array}{c} {6} \\ {3} \\ {-1} \end{array}\right)C =\left(\begin{array}{c} {0} \\ {3} \\ {-2} \end{array}\right)

Nr. 4287
Lösungsweg

Berechnen Sie den Abstand zwischen dem folgenden Punkt P und der Ebene:

\epsilon: \;  \; x + 3y - 2z = 1

P =\left(\begin{array}{c} {5} \\ {3} \\ {-6} \end{array}\right)

Nr. 4289
Lösungsweg

Berechnen Sie den Schnittpunkt der folgenden Ebene

\epsilon: \;

2x +2y-z = 8

mit der Geraden durch die beiden Punkte

A =\left(\begin{array}{c}
{2} \\
{3} \\
{-2}
\end{array}\right) und   B =\left(\begin{array}{c} {4} \\ {0} \\ {-8} \end{array}\right).

Nr. 4291
Lösungsweg

Berechnen Sie den Schnittpunkt der folgenden Ebene

\epsilon: \;

-(x+2) +2(y+3)+4(z-1) = 0

mit der Geraden durch die beiden Punkte

A =\left(\begin{array}{c}
{-1} \\
{3} \\
{0}
\end{array}\right) und   B =\left(\begin{array}{c} {0} \\ {2} \\ {-3} \end{array}\right).

Nr. 4292
Lösungsweg

Berechnen Sie den Winkel zwischen der folgenden Ebene

\epsilon: \;

2x +2y-z = 8

und der Geraden

g: \; 

X = \left(\begin{array}{c}
{2} \\
{3} \\
{-2}
\end{array}\right)

 + t \cdot \left(\begin{array}{c} {2} \\ {-3} \\ {-6} \end{array}\right), mit t \in \mathbb{R}.

Nr. 4293
Lösungsweg

Berechnen Sie den Winkel zwischen der folgenden Ebene

\epsilon: \;

3x +12y-4z = -4

und der Geraden

g: \; 

X = \left(\begin{array}{c}
{2} \\
{0} \\
{-5}
\end{array}\right)

 + t \cdot \left(\begin{array}{c} {6} \\ {2} \\ {3} \end{array}\right), mit t \in \mathbb{R}.

Nr. 4294
Lösungsweg

Die Gerade g verläuft parallel zur Ebene \epsilon. Berechnen Sie den Abstand zwischen der Gerade und der Ebene!

\epsilon: \; \;

7(x-2) -4y -4z =0

g: \; 

X = \left(\begin{array}{c}
{-5} \\
{5} \\
{3}
\end{array}\right)

 + t \cdot \left(\begin{array}{c} {0} \\ {2} \\ {-2} \end{array}\right), mit t \in \mathbb{R}.

Nr. 4295
Lösungsweg

Die Gerade g verläuft parallel zur Ebene \epsilon. Berechnen Sie den Abstand zwischen der Gerade und der Ebene!

\epsilon: \; \;

6(x-1)-2(y-2)-3(z-5)= 0

g: \; 

X = \left(\begin{array}{c}
{-1} \\
{3} \\
{5}
\end{array}\right)

 + t \cdot \left(\begin{array}{c} {4} \\ {-6} \\ {12} \end{array}\right), mit t \in \mathbb{R}.

Nr. 4296
Lösungsweg

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