Fragenliste von Laplace-Transformationen

Ermitteln Sie die Laplacetransformierte zu folgender Funktion: $f(t)=e^{-3t}$ Nr. 3885
	$\frac{1 }{3+s}$
	$3+s$
	$\frac{1 }{3\omega+s}$
	$\frac{4s }{3+s}$
Lösungsweg $f(t) \circ - \bullet \mathcal{F}(s)= \int\limits_{\tiny{0}}^{\tiny{\infty}} e^{-s t} dt$ $f(t)=e^{-3t} \circ - \bullet \int\limits_{\tiny{0}}^{\tiny{\infty}} e^{-3t} \cdot e^{-s t} dt=$ $=\int\limits_{\tiny{0}}^{\tiny{\infty}} e^{-t(3+s)} dt=$ Integrieren: $\frac{e^{-t(3 + s)} }{3+s} \|\limits_{\tiny 0} ^{\tiny\infty}=$ Integrationsgrenzen einsetzen: $\frac{e^{-\infty} }{3+s}- \frac{e^0 }{3+s}=$ $\frac{0 }{3+s}- \frac{1 }{3+s}=$ $\frac{1 }{3+s}$

Lösen Sie die Differentialgleichung mittels Laplacetransformation (Transformationstabelle erforderlich): f'+5f=0 Anfangsbedingung: f(0)=10 Nr. 3887
	$f(t) = 5t \cdot e^{-5t}$
	$f(t) = 10 \cdot e^{-5t}$
	$f(t) = sin(5t)$
	$f(t) = t \cdot sin(2t)$
Lösungsweg $f'+5f=0$ $f'(t)+5f(t)=0$ Laplace transformieren: $s \cdot F(s) - f(0) + 5 F(s) = 0$ $s \cdot F(s) + 5 F(s) = f(0)$ $F(s) \cdot (s + 5) = f(0)$ $F(s) = \frac{f(0)}{(s + 5)}$ Anfangswert einsetzen $F(s) = \frac{10}{(s + 5)}$ Rücktransformieren $f(t) = 10 \cdot e^{-5t}$ Formeln für Transformation: $f(t) \circ - \bullet \mathcal{F}(s)$ $f'(t) \circ - \bullet s \cdot \mathcal{F}(s) - f(0)$ Formel für Rücktransformation: $\frac{1}{s+a} \circ - \bullet e^{-at}$

Lösen Sie die Differentialgleichung mittels Laplacetransformation (Transformationstabelle erforderlich): 7f'+2f=0 Anfangsbedingung: f(0)=7 Nr. 3930
	$f(t) = 7 \cdot e^{-\frac{2}{7}t}$
	$f(t) = 9$
	$f(t) = 49 \cdot e^{-7t}$
	$f(t) = 49 \cdot e^{-\frac{5}{7}t}$
Lösungsweg $7f'+2f=0$ $7f'(t)+2f(t)=0$ Laplace transformieren: $7s \cdot F(s) -7 f(0) + 2 F(s) = 0$ $7s \cdot F(s) + 2 F(s) =7 f(0)$ $F(s) \cdot (7s + 2) = 7f(0)$ $F(s) = \frac{7f(0)}{(7s + 2)}$ Anfangswert einsetzen $F(s) = \frac{7 \cdot 7}{(7s + 2)}$ 7 herausheben: $F(s) = \frac{7 \cdot 7}{7(s +\frac{ 2}{7})}$ Rücktransformieren $f(t) = 7 \cdot e^{-\frac{2}{7}t}$ Formeln für Transformation: $f(t) \circ - \bullet \mathcal{F}(s)$ $f'(t) \circ - \bullet s \cdot \mathcal{F}(s) - f(0)$ Formel für Rücktransformation: $\frac{1}{s+a} \circ - \bullet e^{-at}$

Lösen Sie die Differentialgleichung mittels Laplacetransformation (Transformationstabelle erforderlich): f'+3f=0 Anfangsbedingung: f(0)=10 Nr. 3931
	$f(t) = 2 \cdot e^{-6t}$
	$f(t) = 3 \cdot e^{-4t}$
	$f(t) = 10 \cdot e^{-3t}$
	$f(t) = e^{-3t}$
Lösungsweg $f'+3f=0$ $f'(t)+3f(t)=0$ Laplace transformieren: $s \cdot F(s) - f(0) + 3 F(s) = 0$ $s \cdot F(s) + 3 F(s) =f(0)$ $F(s) \cdot (s + 3) = f(0)$ $F(s) = \frac{f(0)}{(s + 3)}$ Anfangswert einsetzen $F(s) = \frac{10}{(s + 3)}$ Rücktransformieren $f(t) = 10 \cdot e^{-3t}$ Formeln für Transformation: $f(t) \circ - \bullet \mathcal{F}(s)$ $f'(t) \circ - \bullet s \cdot \mathcal{F}(s) - f(0)$ Formel für Rücktransformation: $\frac{1}{s+a} \circ - \bullet e^{-at}$

Lösen Sie die Differentialgleichung mittels Laplacetransformation (Transformationstabelle erforderlich): $f'+\frac{1}{2}f=0$ Anfangsbedingung: f(0)=5 Nr. 3932
	$f(t) = 10 \cdot e^{-\frac{1}{4}t}$
	$f(t) = 5 \cdot e^{-\frac{1}{25}t}$
	$f(t) = 7 \cdot e^{-\frac{5}{2}t}$
	$f(t) = 5 \cdot e^{-\frac{1}{2}t}$
Lösungsweg $f'+\frac{1}{2}f=0$ $f'(t)+\frac{1}{2}f(t)=0$ Laplace transformieren: $s \cdot F(s) - f(0) + \frac{1}{2} F(s) = 0$ $s \cdot F(s) + \frac{1}{2} F(s) =f(0)$ $F(s) \cdot (s + \frac{1}{2}) = f(0)$ $F(s) = \frac{f(0)}{(s + \frac{1}{2})}$ Anfangswert einsetzen $F(s) = \frac{5}{(s + \frac{1}{2})}$ Rücktransformieren $f(t) = 5 \cdot e^{-\frac{1}{2}t}$ Formeln für Transformation: $f(t) \circ - \bullet \mathcal{F}(s)$ $f'(t) \circ - \bullet s \cdot \mathcal{F}(s) - f(0)$ Formel für Rücktransformation: $\frac{1}{s+a} \circ - \bullet e^{-at}$

Bestimmen Sie die Laplacetransformierte $\mathscr{L} \{f(t)\}$ zu folgender Funktion: $f(t)=\cos^2(4t-8)$ Hinweis: $\cos^2 (at) \circ - \bullet \frac{s^2+2a^2}{s(s^2+4a^2)}$ Nr. 3958
	$\frac{s^2 + 32}{s(s^2+64 )}$
	$e^{-2s} \cdot \frac{s^2 + 32}{s(s^2+64 )}$
	$e^{-14s} \cdot \frac{s^2 + 32}{s^2+8}$
	$e^{-14s} \cdot \frac{4s^2}{s^2+8}$
Lösungsweg $f(t)=\cos^2(4t-8)$ $\cos^2 (4t) \circ - \bullet \frac{s^2+2 \cdot 4^2}{s(s^2+4 \cdot 4^2)}$ $\cos^2 (4t-8) \circ - \bullet e^{-2s} \cdot \frac{s^2 + 32}{s(s^2+64 )}$ Verschiebung im Zeitbereich: a=2 Streckung: $f(c \cdot t) \circ - \bullet \frac{1}{c} \cdot F \cdot \frac{s}{c}}$ Linearität: $\alpha \cdot f( t) \circ - \bullet \alpha \cdot F(s)$ Verschiebung im Zeitbereich: $f( t - a) \circ - \bullet e^{- s \cdot a} \cdot F(s)$ Verschiebung im Bildbereich: $e^{-a \cdot t} \cdot f(t) \circ - \bullet \cdot F(s + a)$

Bestimmen Sie die Laplacetransformierte $\mathscr{L} \{f(t)\}$ zu folgender Funktion: $f(t)=7 \cdot \cos^2(2t)$ Hinweis: $\cos^2 (at) \circ - \bullet \frac{s^2+2a^2}{s(s^2+4a^2)}$ Nr. 3960
	$7 \cdot \frac{s^2 + 8}{s(s^2+16)}$
	$4 \cdot \frac{s^2 + 8}{s^2+6}$
	$7s \cdot \frac{8}{s(s+16)}$
	$\frac{s^2 }{s(s^2+20)}$
Lösungsweg $f(t)=7 \cdot cos^2(2t)$ $\cos^2 (2t) \circ - \bullet \frac{s^2+2 \cdot 2^2}{s(s^2+4 \cdot 2^2)}$ $7 \cdot \cos^2 (2t) \circ - \bullet 7 \cdot \frac{s^2 + 8}{s(s^2+16)}$ Linearität: $\alpha = 7$ Streckung: $f(c \cdot t) \circ - \bullet \frac{1}{c} \cdot F \cdot \frac{s}{c}}$ Linearität: $\alpha \cdot f( t) \circ - \bullet \alpha \cdot F(s)$ Verschiebung im Zeitbereich: $f( t - a) \circ - \bullet e^{s \cdot a} \cdot F(s)$ Verschiebung im Bildbereich: $e^{-a \cdot t} \cdot f(t) \circ - \bullet \cdot F(s + a)$

Bestimmen Sie die Laplacetransformierte $\mathscr{L} \{f(t)\}$ zu folgender Funktion: $f(t)=4 \cdot cos(3(t-3))$ Hinweis: $cos(at) \circ - \bullet \frac{s}{s^2+a^2}$ Nr. 3961
	$e^{-7s} \cdot \frac{s}{4s^2+ 9}$
	$14 \cdot e^{-3s} \cdot \frac{s^2}{s^2+ 9}$
	$4 \cdot \frac{7s}{s^2+ 3^2}$
	$4 e^{-3s} \cdot \frac{s}{s^2+ 9}$
Lösungsweg $f(t)=4 \cdot cos(3(t-3))$ $cos(3t) \circ - \bullet \frac{s}{s^2+ 3^2}$ $cos(3t - 9) \circ - \bullet e^{-3s} \cdot \frac{s}{s^2+ 3^2}$ Verschiebung im Zeitbereich: a=3 $4 \cdot cos(3t - 9) \circ - \bullet 4 \cdot e^{-3s} \cdot \frac{s}{s^2+ 9}$ Linearität: $\alpha = 4$ Streckung: $f(c \cdot t) \circ - \bullet \frac{1}{c} \cdot F \cdot \frac{s}{c}}$ Linearität: $\alpha \cdot f( t) \circ - \bullet \alpha \cdot F(s)$ Verschiebung im Zeitbereich: $f( t - a) \circ - \bullet e^{- s \cdot a} \cdot F(s)$ Verschiebung im Bildbereich: $e^{-a \cdot t} \cdot f(t) \circ - \bullet \cdot F(s + a)$

Bestimmen Sie die Laplacetransformierte $\mathscr{L} \{f(t)\}$ zu folgender Funktion: $f(t)=\frac{cos(3t)}{2}$ Hinweis: $cos(at) \circ - \bullet \frac{s}{s^2+a^2}$ Nr. 3962
	$\frac{s}{s^2+ 9}$
	$\frac{s}{2s^2+ 18}$
	$\frac{2}{s^2+ 18}$
	$\frac{2s}{4s^2+ 9}$
Lösungsweg $f(t)=\frac{cos(3t)}{2}$ $cos(3t) \circ - \bullet \frac{s}{s^2+ 3^2}$ $\frac{cos(3t)}{2} \circ - \bullet \frac{1}{2} \cdot \frac{s}{s^2+ 9}$ Linearität: $\alpha = \frac{1}{2}$ Streckung: $f(c \cdot t) \circ - \bullet \frac{1}{c} \cdot F \cdot \frac{s}{c}}$ Linearität: $\alpha \cdot f( t) \circ - \bullet \alpha \cdot F(s)$ Verschiebung im Zeitbereich: $f( t - a) \circ - \bullet e^{s \cdot a} \cdot F(s)$ Verschiebung im Bildbereich: $e^{-a \cdot t} \cdot f(t) \circ - \bullet \cdot F(s + a)$

Bestimmen Sie die Laplacetransformierte $\mathscr{L} \{f(t)\}$ zu folgender Funktion: $f(t)=sin(\frac{4t}{3})$ Hinweis: $sin(at) \circ - \bullet \frac{a}{s^2+a^2}$ Nr. 3963
	$\frac{s}{s^2+ \frac{2}{9}}$
	$\frac{3}{4s(5s^2+ \frac{2}{9})}$
	$\frac{4s}{3(s^2+ \frac{2}{9})}$
	$\frac{ 4}{3(s^2+ \frac{16}{9})}$
Lösungsweg $f(t)=sin(\frac{4t}{3})$ $sin(\frac{4t}{3}) \circ - \bullet \frac{ \frac{4}{3}}{s^2+ (\frac{4}{3})^2} = \frac{ 4}{3(s^2+ \frac{16}{9})}$ Streckung: $f(c \cdot t) \circ - \bullet \frac{1}{c} \cdot F \cdot \frac{s}{c}}$ Linearität: $\alpha \cdot f( t) \circ - \bullet \alpha \cdot F(s)$ Verschiebung im Zeitbereich: $f( t - a) \circ - \bullet e^{s \cdot a} \cdot F(s)$ Verschiebung im Bildbereich: $e^{-a \cdot t} \cdot f(t) \circ - \bullet \cdot F(s + a)$

Bestimmen Sie die Laplacetransformierte $\mathscr{L} \{f(t)\}$ zu folgender Funktion: $f(t)=cos(7t)$ Hinweis: $cos(at) \circ - \bullet \frac{s}{s^2+a^2}$ Nr. 3964
	$\frac{s}{s^2+ 49}$
	$\frac{s}{s^2+ 7}$
	$\frac{7}{s^2+ 7}$
	$7 \cdot \frac{s}{s^2+ 49}$
Lösungsweg $f(t)=cos(7t)$ $cos(7t) \circ - \bullet \frac{s}{s^2+ 7^2}$ Streckung: $f(c \cdot t) \circ - \bullet \frac{1}{c} \cdot F \cdot \frac{s}{c}}$ Linearität: $\alpha \cdot f( t) \circ - \bullet \alpha \cdot F(s)$ Verschiebung im Zeitbereich: $f( t - a) \circ - \bullet e^{s \cdot a} \cdot F(s)$ Verschiebung im Bildbereich: $e^{-a \cdot t} \cdot f(t) \circ - \bullet \cdot F(s + a)$

Bestimmen Sie die Laplacetransformierte $\mathscr{L} \{f(t)\}$ zu folgender Funktion: $f(t)= e^{-3t} \cdot cos(8t)$ Hinweis: $cos(at) \circ - \bullet \frac{s}{s^2+a^2}$ Nr. 3965
	$\frac{s+3}{(s+3)^2+ 64}$
	$\frac{s^2}{(s+3)^2}$
	$\frac{4s}{(s+4)^2+8}$
	$\frac{4s^2}{s+8}$
Lösungsweg $f(t)= e^{-3t} \cdot cos(8t)$ $cos(8t) \circ - \bullet \frac{s}{s^2+ 8^2}$ $e^{-3t} \cdot cos(8t) \circ - \bullet \frac{s+3}{(s+3)^2+ 64}$ Verschiebung im Bildbereich: a=3 Streckung: $f(c \cdot t) \circ - \bullet \frac{1}{c} \cdot F \cdot \frac{s}{c}}$ Linearität: $\alpha \cdot f( t) \circ - \bullet \alpha \cdot F(s)$ Verschiebung im Zeitbereich: $f( t - a) \circ - \bullet e^{s \cdot a} \cdot F(s)$ Verschiebung im Bildbereich: $e^{-a \cdot t} \cdot f(t) \circ - \bullet \cdot F(s + a)$

Bestimmen Sie die Laplacetransformierte $\mathscr{L} \{f(t)\}$ zu folgender Funktion: $f(t)= 9e^{7t} \cdot cos(4t)$ Hinweis: $cos(at) \circ - \bullet \frac{s}{s^2+a^2}$ Nr. 3966
	$\frac{9s^2}{s^2+ 49}$
	$\frac{s-9}{(s-9)^2+ 49}$
	$\frac{s-7}{s^2+ 46}$
	$9 \cdot \frac{s-7}{(s-7)^2+ 16}$
Lösungsweg $f(t)= 9e^{7t} \cdot cos(4t)$ $cos(4t) \circ - \bullet \frac{s}{s^2+ 4^2}$ $e^{7t} \cdot cos(4t) \circ - \bullet \frac{s-7}{(s-7)^2+ 16}$ Verschiebung im Bildbereich: a=-7 $9e^{7t} \cdot cos(4t) \circ - \bullet 9 \cdot \frac{s-7}{(s-7)^2+ 16}$ Linerität: $\alpha = 9$ Streckung: $f(c \cdot t) \circ - \bullet \frac{1}{c} \cdot F \cdot \frac{s}{c}}$ Linearität: $\alpha \cdot f( t) \circ - \bullet \alpha \cdot F(s)$ Verschiebung im Zeitbereich: $f( t - a) \circ - \bullet e^{s \cdot a} \cdot F(s)$ Verschiebung im Bildbereich: $e^{-a \cdot t} \cdot f(t) \circ - \bullet \cdot F(s + a)$

Bestimmen Sie die Laplacetransformierte $\mathscr{L} \{f(t)\}$ zu folgender Funktion: $f(t)= e^{7t-14}$ Hinweis: $e^{at} \circ - \bullet \frac{1}{s-a}$ Nr. 3967
	$e^{-7s} \cdot \frac{1}{s^2-7}$
	$e^{-2s} \cdot \frac{1}{s-7}$
	$e^{-7s} \cdot \frac{s}{s-4}$
	$e^{-7s^2} \cdot \frac{s^2}{s-8}$
Lösungsweg $f(t)= e^{7t-14}$ $e^{7t} \circ - \bullet \frac{1}{s-7}$ $e^{7t-14} \circ - \bullet e^{-2s} \cdot \frac{1}{s-7}$ Verschiebung im Zeitbereich: a=2 Streckung: $f(c \cdot t) \circ - \bullet \frac{1}{c} \cdot F \cdot \frac{s}{c}}$ Linearität: $\alpha \cdot f( t) \circ - \bullet \alpha \cdot F(s)$ Verschiebung im Zeitbereich: $f( t - a) \circ - \bullet e^{- s \cdot a} \cdot F(s)$ Verschiebung im Bildbereich: $e^{-a \cdot t} \cdot f(t) \circ - \bullet \cdot F(s + a)$

Bestimmen Sie die Laplacetransformierte $\mathscr{L} \{f(t)\}$ zu folgender Funktion: $f(t)= 3 \cdot e^{8(t-2)}$ Hinweis: $e^{at} \circ - \bullet \frac{1}{s-a}$ Nr. 3968
	$e^{8s} \cdot \frac{4s^2}{s-8}$
	$e^{-s} \cdot \frac{4s}{s^2-8}$
	$e^{-8s} \cdot \frac{4}{s-8}$
	$3 \cdot e^{-16} \cdot \frac{1}{s-8}$
Lösungsweg $f(t)= 3 \cdot e^{8(t-2)}$ $e^{8t} \circ - \bullet \frac{1}{s-8}$ $3 \cdot e^{-16} \cdot e^{8t} \circ - \bullet 3 \cdot e^{-16} \cdot \frac{1}{s-8}$ Linearität: $\alpha = 3 \cdot e^{-16}$ Streckung: $f(c \cdot t) \circ - \bullet \frac{1}{c} \cdot F \cdot \frac{s}{c}}$ Linearität: $\alpha \cdot f( t) \circ - \bullet \alpha \cdot F(s)$ Verschiebung im Zeitbereich: $f( t - a) \circ - \bullet e^{- s \cdot a} \cdot F(s)$ Verschiebung im Bildbereich: $e^{-a \cdot t} \cdot f(t) \circ - \bullet \cdot F(s + a)$

Bestimmen Sie die Laplacetransformierte $\mathscr{L} \{f(t)\}$ zu folgender Funktion: $f(t)= 2 \cdot e^{\frac{8t}{3}}$ Hinweis: $e^{at} \circ - \bullet \frac{1}{s-a}$ Nr. 3969
	$\frac{s-3}{s^2-8}$
	$\frac{s}{s^2-\frac{8}{3}}$
	$\frac{2}{s-\frac{8}{3}}$
	$2 \cdot \frac{s}{3s^2-8}$
Lösungsweg $f(t)= 2 \cdot e^{\frac{8t}{3}}$ $e^{\frac{8t}{3}} \circ - \bullet \frac{1}{s-\frac{8}{3}}$ $2 \cdot e^{\frac{8t}{3}} \circ - \bullet 2 \cdot \frac{1}{s-\frac{8}{3}}$ Linearität: $\alpha = 2$ Streckung: $f(c \cdot t) \circ - \bullet \frac{1}{c} \cdot F \cdot \frac{s}{c}}$ Linearität: $\alpha \cdot f( t) \circ - \bullet \alpha \cdot F(s)$ Verschiebung im Zeitbereich: $f( t - a) \circ - \bullet e^{s \cdot a} \cdot F(s)$ Verschiebung im Bildbereich: $e^{-a \cdot t} \cdot f(t) \circ - \bullet \cdot F(s + a)$

Berechnen Sie die Laplacetransformierte von: $f(x)=x^me^{-ax}$ , wobei $a \in \mathbb{R}, \; m \in \mathbb{N}$ Nr. 4232
	$\mathcal{L}(f) = \frac{1}{(a+s)^{(m+1)} } \Gamma (m+1)$
	$\mathcal{L}(f) = \frac{1}{(a+s)^{(m)} } \Gamma (m-1)$
	$\mathcal{L}(f) = \frac{1}{(a+s)^{(m+1)} } e^{m+1}$
Lösungsweg $\mathcal{L}(f) = \bigint_0^{\infty} f(x)e^{-sx}dx = \\ = \bigint_0^{\infty} x^me^{-ax} e^{-sx}dx = \\ = \bigint_0^{\infty} x^me^{-x(a-s)}dx$ Um dieses Integral zu lösen, wird substituiert: $u = x(a+s) \rightarrow \frac{du}{dx}=s+a \rightarrow dx = \frac{du}{s+a}$ Aus dieser Subsitution folgt auch: $x = \frac{u}{a+s}$ $\bigint_0^{\infty} x^me^{-x(a-s)}dx = \\ = \bigint_0^{\infty} \big( \frac{u}{a+s} \big) ^me^{-u} \frac{du}{s+a} = \\$ $= \bigint_0^{\infty} \frac{u^m}{(a+s)^{m+1}} e^{-u} du = \\ = \frac{1}{(a+s)^{m+1}} \bigint_0^{\infty} u^me^{-u}du$ An dieser Stelle muss man schließlich doch eine Integraltafel zu Hilfe ziehen: $\bigint_0^{\infty} u^me^{-u}du = \Gamma (m+1)$ , wobei $\Gamma$ für die Gamma-Funktion steht. Man erhält also: $\mathcal{L}(f) = \frac{1}{(a+s)^{(m+1)} } \Gamma (m+1)$

Berechnen Sie die Laplacetransformierte von: $f(x)=xe^x$ Nr. 4233
	$\mathcal{L}(xe^x)= \frac{1}{(s-1)^2}$
	$\mathcal{L}(xe^x)= \frac{1}{(s-1)}e^s$
	$\mathcal{L}(xe^x)= \frac{e^{s(s-1)}}{(s-1)^2}$
Lösungsweg $\mathcal{L}(xe^x)= \bigint_0^{\infty} xe^xe^{-sx}dx = \\ = \bigint_0^{\infty} xe^{-x(s-1)}dx$ Um das Integral zu lösen, wird partiell integriert und um die Schreibweise zu vereinfachen, verwendet man: u=s-1 $\bigint_0^{\infty} xe^{-xu}dx = xe^{-xu} \cdot \frac{1}{-u} \; \mid _0^{\infty} - \bigint_0^{\infty}\frac{1}{-u} e^{-xu}dx = \\$ $= ( 0 - 0 ) - e^{-xu} \cdot \frac{1}{-u} \frac{1}{-u} \; \mid _0^{\infty} = \\ = 0 - e^{-xu} \cdot \frac{1}{u^2} \; \mid _0^{\infty} = \\$ $= - ( e^{-\infty}\frac{1}{u^2} - e^0 \frac{1}{u^2} ) = \\ = - ( 0 - \frac{1}{u^2} ) = \frac{1}{u^2} = \frac{1}{(s-1)^2}$ Also: $\mathcal{L}(xe^x)= \frac{1}{(s-1)^2}$

Lösen Sie folgende Differentialgleichung mittels Laplacetransformation: $y^{\prime \prime} - 2y^{\prime} + y = xe^x \\$ Nr. 4234
	$y(x) = \frac{x^3e^{x}}{6}$
	$y(x) = {x^3e^{x}$
	$y(x) = \frac{x^4e^{2x}}{6}$
	$y(x) = \frac{xe^{3x}}{2}$
Lösungsweg Die Differntialgleichung wird zuerst laplacetransformiert: $\mathcal{L} (y^{\prime \prime}) - 2\mathcal{L}(y^{\prime}) + \mathcal{L}(y) = \mathcal{L}(xe^x) \\ \text{Somit erkennt man, dass folgendes berechnet werden muss: } \\ \mathcal{L}(xe^x)=?$ $\mathcal{L}(xe^x)= \bigint_0^{\infty} xe^xe^{-sx}dx = \\ = \bigint_0^{\infty} xe^{-x(s-1)}dx$ Um das Integral zu lösen, wird partiell integriert und um die Schreibweise zu vereinfachen, verwendet man: u=s-1 $\bigint_0^{\infty} xe^{-xu}dx = xe^{-xu} \cdot \frac{1}{-u} \; \mid _0^{\infty} - \bigint_0^{\infty}\frac{1}{-u} e^{-xu}dx = \\$ $= ( 0 - 0 ) - e^{-xu} \cdot \frac{1}{-u} \frac{1}{-u} \; \mid _0^{\infty} = \\ = 0 - e^{-xu} \cdot \frac{1}{u^2} \; \mid _0^{\infty} = \\$ $= - ( e^{-\infty}\frac{1}{u^2} - e^0 \frac{1}{u^2} ) = \\ = - ( 0 - \frac{1}{u^2} ) = \frac{1}{u^2} = \frac{1}{(s-1)^2}$ Also: $\mathcal{L}(xe^x)= \frac{1}{(s-1)^2}$ Somit kann man nun zur eigentlichen Gleichung zurückkehren: $\mathcal{L} (y^{\prime \prime}) - 2\mathcal{L}(y^{\prime}) + \mathcal{L}(y) = \mathcal{L}(xe^x) \\ s^2\mathcal{L} (y) - 2s\mathcal{L}(y) + \mathcal{L}(y) = \frac{1}{(s-1)^2}$ $\mathcal{L} (y) ( s^2- 2s + 1) = \frac{1}{(s-1)^2} \\ \mathcal{L} (y) = \frac{1}{( s^2- 2s + 1)} \cdot \frac{1}{(s-1)^2} \\ \mathcal{L} (y) = \frac{1}{(s-1)^2} \cdot \frac{1}{(s-1)^2} \\$ $\mathcal{L} (y) = \frac{1}{(s-1)^4}$ Nun kann mit Hilfe einer Tablle folgendes gefunden werden: $\mathcal{L}(x^me^{-ax})= \frac{m!}{(s+a)^{m+1}$ Man erkennt: $a=-1$ und vergleichen der Hochzahlen im Nenner liefert: $m=3$ Setzt man das alles in die rechte Seite ein, erhält man: $\mathcal{L}(x^me^{-ax})= \frac{3!}{(s-1)^{3+1}} \\ \mathcal{L}(x^3e^{x}) = \frac{6}{(s-1)^{4}$ Die rechte Seite stimmt also mit unserem Ergebnis bis auf den Faktor (-6) überein. Somit wissen wir: $\frac{1}{(s-1)^4} =\frac{1}{6} \mathcal{L}(x^3e^{x}) = \mathcal{L}(\frac{x^3e^{x}}{6})$ Man erhält also: $y(x) = \frac{x^3e^{x}}{6}$

Bestimmen Sie unter Zuhilfenahme der Korrespondenztabelle die Laplacetransformierte der Funktion $f$ mit $f(t)=(1+t) \cdot e^{-3t}$ . Nr. 4877
	$\frac{s+4}{(s+3)^2}$
	$\frac{s+4}{s+3}$
	$\frac{1}{s+3}$
	$\frac{(s+3)^2}{s+4}$
Lösungsweg Die Funktion $f$ kann geschrieben werden als $f(t)=e^{-3t} + t \cdot e^{-3t}$ . Die Laplacetransformation ist additiv, es können also die beiden Summanden $e^{-3t}$ und $t \cdot e^{-3t}$ einzeln transformiert und anschließend addiert werden ([A.1]). Die Laplacetransformierte einer Funktion der Form $e^{-at}$ ist durch $\frac{1}{s+a}$ gegeben ([A.21]). Daher ist die Laplacetransformierte von $e^{-3t}$ durch $\frac{1}{s+3}$ gegeben. Die Laplacetransformierte einer Funktion der Form $t \cdot e^{-at}$ ist durch $\frac{1}{(s+a)^2}$ gegeben ([A.22]). Daher ist die Laplacetransformierte von $t \cdot e^{-3t}$ durch $\frac{1}{(s+3)^2}$ gegeben. Addieren der beiden berechneten Laplacetransformierten liefert $\frac{1}{s+3}+\frac{1}{(s+3)^2}=\frac{s+3}{(s+3)^2}+\frac{1}{(s+3)^2}=\frac{s+4}{(s+3)^2}$ .

Bestimmen Sie unter Zuhilfenahme der Korrespondenztabelle die Laplacetransformierte der Funktion $f$ mit $f(t)= e^{-3t} \cdot cos(4t)$ . Nr. 4878
	$\frac{s}{(s+3)^2+16}$
	$\frac{s+3}{(s+3)^2+16}$
	$\frac{4}{(s+3)^2+16}$
	$\frac{s}{(s-3)^2+4}$
Lösungsweg Die Laplacetransformierte einer Funktion der Form $cos(at)$ ist durch $\frac{s}{s^2+a^2}$ gegeben ([A.33]). Daher ist die Laplacetransformierte von $cos(4t)$ durch $\frac{s}{s^2+16}$ gegeben. Die Laplacetransformierte einer Funktion der Form $e^{-at}f(t)$ ist durch $F(s+a)$ gegeben ([A.4]). Daher ist die Laplacetransformierte von $e^{-3t} \cdot cos(4t)$ durch $\frac{s+3}{(s+3)^2+16}$ gegeben.

Bestimmen Sie unter Zuhilfenahme der Korrespondenztabelle die Laplacetransformierte der Funktion $f$ mit $f(t)= \theta(t-3)e^{7t}$ , wobei mit $\theta$ die Heaviside'sche Stufenfunktion bezeichnet ist. Nr. 4879
	$\frac{e^{-3(s-7)}}{s-7}$
	$\frac{e^{3(s+7)}}{s+7}$
	$\frac{e^{-7(s-3)}}{s-3}$
	$\frac{1}{s-3}\cdot\frac{1}{s+3}=\frac{1}{s^2-9}$
Lösungsweg Die Laplacetransformierte einer Funktion der Form $\theta(t-a) e^{-bt}$ ist durch $\frac{e^{-a(s+b)}}{s+b}$ gegeben ([A.43]). Daher ist die Laplacetransformierte von $\theta(t-3)e^{7t}$ durch $\frac{e^{-3(s-7)}}{s-7}$ ( $a=3$ und $b=-7$ ) gegeben.

Bestimmen Sie unter Zuhilfenahme der Korrespondenztabelle die Laplacetransformierte der Funktion $f'$ (1. Ableitung von $f$ ), wobei $f$ gegeben ist durch $f(t)=sin(3t)$ . Nr. 4880
	$\frac{3}{s^2+9}$
	$\frac{3s}{s^2+9}$
	$\frac{s}{s^2+9}$
	$\frac{3}{s^2+3}$
	$\frac{s}{s^2+3}$
Lösungsweg Variante 1: Berechnen der 1. Ableitung von $f$ ergibt $f'(t)=3\cos(3t)$ . Die Laplacetransformierte einer Funktion der Form $\cos(at)$ ist durch $\frac{s}{s^2+a^2}$ gegeben ([A.33]). Daher ist die Laplacetransformierte von $\cos(3t)$ durch $\frac{s}{s^2+9}$ gegeben. Auch gilt: Die Laplacetransformierte einer Funktion der Form $c\cdot f(t)$ ist durch $c \cdot F(s)$ gegeben ([A.2]). Daher ist die Laplacetransformierte von $3\cos(3t)$ durch $3\cdot\frac{s}{s^2+9}=\frac{3s}{s^2+9}$ gegeben. Variante 2: Die Laplacetransformierte einer Funktion der Form $f'(t)$ ist durch $s F(s)-f(0)$ gegeben ([A.8]), benötigt werden also $F(s)$ und $f(0)$ . Für $F(s)$ : Die Laplacetransformierte einer Funktion der Form $\sin(at)$ ist durch $\frac{a}{s^2+a^2}$ gegeben ([A.32]). Daher ist die Laplacetransformierte von $\sin(3t)$ durch $\frac{3}{s^2+9}$ gegeben. Für $f(0)$ : $f(0)=\sin(3\cdot 0)=\sin(0)=0$ . Daher gesamt: $s F(s)-f(0)= s \cdot \frac{3}{s^2+9} - 0 = \frac{3s}{s^2+9}$ .

Bestimmen Sie unter Zuhilfenahme der Korrespondenztabelle die Laplacetransformierte der Funktion $f$ mit , $f(t)= \theta(t)t^3e^{-(t)}$ wobei mit $\theta$ die Heaviside'sche Stufenfunktion bezeichnet ist. Nr. 4881
	$\frac{6e^{-3s}}{(s+1)^{4}}$
	$\frac{6e^{-3(s-3)}}{((s-3)+1)^{4}}$
	$\frac{e^{-3s}}{(s+1)^{3}}$
	$\frac{6e^{-3(s+3)}}{((s+3)+1)^{4}}$
	$\frac{6}{(1+s)^4}$
Lösungsweg Die Laplacetransformierte einer Funktion der Form $t^n e^{-at}$ ist durch $\frac{n!}{(s+a)^{n+1]}$ gegeben ([A.24]). Daher ist die Laplacetransformierte von $t^3 e^{-t}$ durch $\frac{3!}{(s+1)^{3+1}}=\frac{6}{(s+1)^{4}}$ ( $a=1$ und $n=3$ ) gegeben. Auch gilt: Die Laplacetransformierte einer Funktion der Form $\theta(t-a)f(t-a)$ ist durch $e^{-as}F(s)$ gegeben ([A.5]). Daher ist die Laplacetransformierte von $f(t)= \theta(t)t^3e^{-t}$ durch $\frac{6}{(1+s)^4}$ gegeben.

Bestimmen Sie unter Zuhilfenahme der Korrespondenztabelle die Laplacetransformierte der Funktion $f$ mit $f(t)= t^2-3t+4$ . Nr. 4882
	$\frac{2}{s^3}-\frac{3}{s^2}+\frac{4}{s}$
	$\frac{2}{s}-\frac{3}{s^2}+\frac{4}{s^3}$
	$\frac{2}{s^2}-\frac{3}{s}+4$
	$\frac{2}{s-3}-\frac{3}{s-2}+\frac{4}{s-1}$
Lösungsweg Die Laplacetransformation einer Funktion ist linear ([A.1] & [A.2]), d.h. es gilt $\mathcal{L}[t^2-3t+4]=\mathcal{L}[t^2]-3\mathcal{L}[t]+4\mathcal{L}[1]$ . Für $t^2$ : $\mathcal{L}[t^2]=\frac{2}{s^3}$ ([A.16]). Für $t$ : $\mathcal{L}[t]=\frac{1}{s^2}$ ([A.15]). Für $1$ : $\mathcal{L}[1]=\frac{1}{s}$ ([A.14]). Daher: $\mathcal{L}[t^2-3t+4]=\mathcal{L}[t^2]-3\mathcal{L}[t]+4\mathcal{L}[1]=\frac{2}{s^3}-3\cdot\frac{1}{s^2}+4\cdot\frac{1}{s}=\frac{2}{s^3}-\frac{3}{s^2}+\frac{4}{s}$

Gegeben sind die Funktionen $f$ und $g$ mit $f(t)=sin(t)$ und $g(t)=cos(t)$ . Bestimmen Sie unter Zuhilfenahme der Korrespondenztabelle die Laplacetransformierte von $f \star g$ (der Faltung von $f$ mit $g$ ). Nr. 4883
	$\frac{s}{s^2+1}$
	$\frac{s+1}{s^2+1}$
	$\frac{1+s}{(s^2+1)^2}$
	$\frac{s}{(s^2+1)^2}$
Lösungsweg Die Laplacetransformierte einer Funktion der Form $(f \star g)(t)$ ist durch $F(s)G(s)$ gegeben. Für $f(t)=\sin(t)$ : Es gilt $\mathcal{L}[\sin(at)]=\frac{a}{s^2+a^2}$ ([A.32]), daher (mit $a=1$ ) $F(s)=\mathcal{L}[\sin(t)]=\frac{1}{s^2+1}$ . Für $g(t)=\cos(t)$ : Es gilt $\mathcal{L}[\cos(at)]=\frac{s}{s^2+a^2}$ ([A.33]), daher (mit $a=1$ ) $G(s)=\mathcal{L}[\cos(t)]=\frac{s}{s^2+1}$ . Daher gesamt: $F(s)G(s)=\frac{1}{s^2+1^2} \cdot \frac{s}{s^2+1^2} = \frac{s}{(s^2+1)^2}$

Bestimmen Sie unter Zuhilfenahme der Korrespondenztabelle die Laplacetransformierte der Funktion $f$ mit $f(t)= \theta(t-3)\sqrt{t-3}$ , wobei mit $\theta$ die Heaviside'sche Stufenfunktion bezeichnet ist. Nr. 4884
	$\frac{\sqrt{\pi}e^{-3(s-3)}}{2(s-3)^{3/2}}$
	$\frac{\sqrt{\pi}}{2s^{3/2}}$
	$\frac{\sqrt{\pi}e^{-3s}}{2s^{3/2}}$
	$\frac{\sqrt{\pi}e^{3s}}{s^{3/2}}$
Lösungsweg Die Laplacetransformierte der Funktion $\sqrt{t}$ ist durch $\frac{\sqrt{\pi}}{2s^{3/2}}$ gegeben ([A.19]). Auch gilt: Die Laplacetransformierte einer Funktion der Form $\theta(t-a)f(t-a)$ ist durch $e^{-as}F(s)$ gegeben ([A.5]). Daher ist die Laplacetransformierte von $f(t)= \theta(t-3)\sqrt{t-3}$ durch $e^{-3s}\cdot\frac{\sqrt{\pi}}{2s^{3/2}}=\frac{\sqrt{\pi}e^{-3s}}{2s^{3/2}}$ gegeben.

Bestimmen Sie unter Zuhilfenahme der Korrespondenztabelle die Laplacetransformierte der Funktion $f''$ (2. Ableitung von $f$ ), wobei $f$ gegeben ist durch $f(t)=e^{-4t}$ . Nr. 4885
	$\frac{16}{s+4}$
	$\frac{1}{s+4}$
	$\frac{-16}{s-4}$
	$\frac{16}{s-4}$
Lösungsweg Variante 1: Berechnen der 2. Ableitung von $f$ ergibt $f''(t)=16e^{-4t}$ . Es gilt: $\mathcal{L}[e^{-at}]=\frac{1}{s+a}$ ([A.21]), daher (mit $a=4$ ) $\mathcal{L}[e^{-4t}]=\frac{1}{s+4}$ Auch gilt: $\mathcal{L}[c \cdot f(t)]=c\cdot\mathcal{L}[f(t)]$ ([A.2]). Daher ist die Laplacetransformierte von $16e^{-4t}$ durch $16 \cdot \frac{1}{s+4} = \frac{16}{s+4}$ gegeben. Variante 2: Die Laplacetransformierte einer Funktion der Form $f''(t)$ ist durch $s^2F(s)-sf(0)-f'(0)$ gegeben ([A.9]), benötigt werden also $F(s)$ , $f(0)$ und $f'(0)$ . Für $F(s)$ : $F(s)=\mathcal{L}[e^{-at}](s)=\frac{1}{s+a}$ ([A.21]), daher (mit $a=4$ ) $F(s)=\frac{1}{s+4}$ Für $f(0)$ : $f(0)=e^{3\cdot 0}=e^0=1$ . Für $f'(0)$ : $f'(t)=-4e^{-4t}$ , daher $f'(0)=-4e^{-4 \cot 0}=-4e^{0}=-4\cdot1=-4$ . Daher gesamt: $s^2F(s)-sf(0)-f'(0)=s^2\cdot\frac{1}{s+4}-s \cdot1-(-4)=$ ... div. Umformungen ... $= \frac{16}{s+4}$ .

Bestimmen Sie unter Zuhilfenahme der Korrespondenztabelle die Laplacetransformierte der Funktion $f$ mit $f(t)= 4\theta(3-t)$ , wobei mit $\theta$ die Heaviside'sche Stufenfunktion bezeichnet ist. Nr. 4886
	$4 \cdot (1-e^{-3s})$
	$4 \cdot \frac{1-e^{-3s}}{s}$
	$\frac{1-e^{-3s}}{3s}$
	$4 \cdot \frac{1-e^{-(s-3)}}{s}$
Lösungsweg Es gilt: $\mathcal{L}[\theta(a-t)](s)=\frac{1-e^{-as}}{s}$ ([A.46]), daher (mit $a=3$ ) $\mathcal{L}[\theta(3-t)](s)=\frac{1-e^{-3s}}{s}$ . Auch gilt: $\mathcal{L}[c \cdot f(t)]=c\cdot\mathcal{L}[f(t)]$ ([A.2]), daher (mit $c=4$ ) $\mathcal{L}[4\theta(3-t)](s)=4\mathcal{L}[\theta(3-t)](s)=4 \cdot \frac{1-e^{-3s}}{s}$ .

Bestimmen Sie unter Zuhilfenahme der Korrespondenztabelle die Laplacetransformierte der Funktion $f$ mit $f(t)= \int_0^t \tau^n d\tau$ , für $n \in \mathbb{N}$ . Nr. 4887
	$\frac{(n+1)!}{s^{n+1}}$
	$\frac{1}{s^{n+2}}$
	$\frac{n!}{s^{n+2}}$
	$\frac{(n+2)!}{s^{n+1}}$
Lösungsweg Variante 1: Berechnen des Integrals in der Definition von $f$ : $f(t)= \int_0^t \tau^n d\tau=\Big[\frac{\tau^{n+1}}{n+1}\Big]_{\tau=0}^t=\frac{t^{n+1}}{n+1}-\frac{0^{n+1}}{n+1}=\frac{t^{n+1}}{n+1}$ . Es gilt: $\mathcal{L}[t^{n}](s)=\frac{n!}{s^{n+1}$ ([A.17]), daher (mit $n+1$ an Stelle von $n$ ) $\mathcal{L}[t^{n+1}](s)=\frac{(n+1)!}{s^{(n+1)+1}}=\frac{(n+1)!}{s^{n+2}}$ . Auch gilt: $\mathcal{L}[c \cdot f(t)]=c\cdot\mathcal{L}[f(t)]$ ([A.2]), daher (mit $c=\frac{1}{n+1}$ ) $\mathcal{L}[\frac{t^{n+1}}{n+1}](s)=\frac{1}{n+1}\cdot\mathcal{L}[t^{n+1}](s)=\frac{1}{n+1}\cdot\frac{(n+1)!}{s^{n+2}}=\frac{n!}{s^{n+2}}$ Variante 2: Es gilt: $\mathcal{L}[t^n](s)=\frac{n!}{s^{n+1}}$ ([A.17]). Auch gilt $\mathcal{L}[\int_0^t g(\tau) d\tau](s)=\frac{1}{s}G(s)$ ([A.11]), daher (mit $g(\tau)=\tau^n$ ) $\mathcal{L}[\int_0^t \tau^n d\tau](s)=\frac{1}{s}\cdot \frac{n!}{s^{n+1}} = \frac{n!}{s^{n+2}}$ .

Die Funktion $f$ sei gegeben, die Werte $f(0)=5$ und $f'(0)=-1$ sowie die Laplacetransformierte $F=\mathcal{L}(f)$ seien bekannt. Bestimmen Sie unter Zuhilfenahme der Korrespondenztabelle die Laplacetransformierte von $f''(t)-3f(t)$ . Nr. 4890
	$-F(s)-5$
	$s^2F(s)-s+5-3F(s)$
	$s^2F(s)-5s+1-3F(s)$
	$s^2F(s)-5s+1$
Lösungsweg Die Laplacetransformation einer Funktion ist linear ([A.1] & [A.2]), d.h. es gilt $\mathcal{L}[f''(t)-3f(t)]=\mathcal{L}[f''(t)]-3\mathcal{L}[f(t)]$ . Für $f''(t)$ : Es gilt: $\mathcal{L}[f''(t)](s)=s^2F(s)-sf(0)-f'(0)$ ([A.9]). Daher für diese Aufgabe (mit $f(0)=5$ und $f'(0)=-1$ ): $\mathcal{L}[f''(t)](s)=s^2F(s)-5s+1$ . Die korrekte Antwort lautet daher (Einsetzen des bisher berechneten): $\mathcal{L}[f''(t)-3f(t)](s)=\mathcal{L}[f''(t)](s)-3\mathcal{L}[f(t)](s)=s^2F(s)-5s+1-3F(s)$ .

Die Funktion $f$ sei gegeben, der Werte $f(0)=7$ sowie die Laplacetransformierte $F=\mathcal{L}(f)$ seien bekannt. Bestimmen Sie unter Zuhilfenahme der Korrespondenztabelle die Laplacetransformierte von $-f'(t)+3t\cdot f(t)$ . Nr. 4891
	$-s^2F(s)+7-3F'(s)$
	$-s^2F(s)+s-3F(s)$
	$-sF(s)-7+3F'(s)$
	$-sF(s)+7-3F'(s)$
Lösungsweg Die Laplacetransformation einer Funktion ist linear ([A.1] & [A.2]), d.h. es gilt $\mathcal{L}[-f'(t)+3t\cdot f(t)]=-\mathcal{L}[f'(t)]+3\mathcal{L}[t\cdot f(t)]$ . Für $f'(t)$ : Es gilt: $\mathcal{L}[f'(t)](s)=sF(s)-f(0)$ ([A.8]). Daher für diese Aufgabe (mit $f(0)=7$ ): $\mathcal{L}[f'(t)](s)=sF(s)-7$ . Für $t \cdot f(t)$ : Es gilt: $\mathcal{L}[t \cdot f(t)](s)=-F'(s)$ ([A.3]). Die korrekte Antwort lautet daher (Einsetzen des bisher berechneten): $\mathcal{L}[-f'(t)+3t\cdot f(t)]=-\mathcal{L}[f'(t)]+3\mathcal{L}[t\cdot f(t)]=-(sF(s)-7)+3(-F'(s))=-sF(s)+7-3F'(s)$ .

Die Funktion $f$ sei gegeben, die Werte $f(0)=-2$ und $f'(0)=0$ sowie die Laplacetransformierte $F=\mathcal{L}(f)$ seien bekannt. Bestimmen Sie unter Zuhilfenahme der Korrespondenztabelle die Laplacetransformierte von $f''(t)-t\cdot f(t)$ . Nr. 4892
	$sF(s)+2+F'(s)$
	$s^2F(s)+2-F'(s)$
	$s^2F(s)+2s+F'(s)$
	$sF(s)-2F'(s)$
Lösungsweg Die Laplacetransformation einer Funktion ist linear ([A.1] & [A.2]), d.h. es gilt $\mathcal{L}[f''(t)-t \cdot f(t)]=\mathcal{L}[f''(t)]-\mathcal{L}[t \cdot f(t)]$ . Für $f''(t)$ : Es gilt: $\mathcal{L}[f''(t)](s)=s^2F(s)-sf(0)-f'(0)$ ([A.9]). Daher für diese Aufgabe (mit $f(0)=-2$ und $f'(0)=0$ ): $\mathcal{L}[f''(t)](s)=s^2F(s)+2s$ . Für $t \cdot f(t)$ : Es gilt: $\mathcal{L}[t \cdot f(t)](s)=-F'(s)$ ([A.3]). Die korrekte Antwort lautet daher (Einsetzen des bisher berechneten): $\mathcal{L}[f''(t)-t \cdot f(t)]=\mathcal{L}[f''(t)]-\mathcal{L}[t \cdot f(t)]=s^2F(s)+2s-(-F'(s))=s^2F(s)+2s+F'(s)$

Lösen Sie mittels Laplacetransformation und unter Zuhilfenahme der Korrespondenztabelle die Differentialgleichung $f'(t)+3f(t)=e^{-t}$ mit Anfangsbedindung $f(0)=0$ . Nr. 4893
	$\frac{e^{-t}-e^{-3t}}{2}$
	$e^{-t}-e^{-3t}}$
	$\frac{e^{-3t}-e^{-t}}{4}$
	$e^{-t}$
	$e^{-3t}$
Lösungsweg Transformieren der linken Seite der Differentialgleichung: Die Laplacetransformation einer Funktion ist linear ([A.1] & [A.2]), d.h. es gilt $\mathcal{L}[f'(t)+3 f(t)]=\mathcal{L}[f'(t)]+3\mathcal{L}[f(t)]$ . Für $f'(t)$ : Es gilt: $\mathcal{L}[f'(t)](s)=sF(s)-f(0)$ ([A.8]). Daher für diese Aufgabe (mit $f(0)=0$ ): $\mathcal{L}[f'(t)](s)=sF(s)-0=sF(s)$ . Daher gilt: $\mathcal{L}[f'(t)+3 f(t)]=\mathcal{L}[f'(t)]+3\mathcal{L}[f(t)]=sF(s)+3F(s)$ . Transformieren der rechten Seite der Differentialgleichung: $\mathcal{L}[e^{-t}](s)=\frac{1}{s+1}$ ([A.21]). Gleichsetzen: $sF(s)+3F(s)=\frac{1}{s+1}$ Herausheben auf der linken Seite liefert $(s+3)F(s)=\frac{1}{s+1}$ , dividieren durch $s+3$ führt zu $F(s)=\frac{1}{(s+1)(s+3)}$ . Es gilt $\mathcal{L}^{-1}(\frac{1}{(s+a)(s+b)})=\frac{e^{-at}-e^{-bt}}{b-a}$ ([B.22]), daher für diese Aufgabe (mit $a=1$ und $b=3$ ) $f(t)=\mathcal{L}^{-1}(\frac{1}{(s+1)(s+3)})=\frac{e^{-t}-e^{-3t}}{3-1}=\frac{e^{-t}-e^{-3t}}{2}$

Lösen Sie mittels Laplacetransformation und unter Zuhilfenahme der Korrespondenztabelle die Differentialgleichung $f''(t)+f(t)=0$ mit den Anfangsbedindungen $f(0)=0$ und $f'(0)=2$ . Nr. 4894
	$e^t$
	$\cos(t)$
	$\sin(t)$
	$2\sin(t)$
	$2 \cos(t)$
Lösungsweg Transformieren der linken Seite der Differentialgleichung: Die Laplacetransformation einer Funktion ist linear ([A.1] & [A.2]), d.h. es gilt $\mathcal{L}[f''(t)-f(t)]=\mathcal{L}[f''(t)]-\mathcal{L}[f(t)]$ . Für $f''(t)$ : Es gilt: $\mathcal{L}[f''(t)](s)=s^2F(s)-sf(0)-f'(0)$ ([A.9]). Daher für diese Aufgabe (mit $f(0)=0$ und $f'(0)=2$ ): $\mathcal{L}[f''(t)](s)=s^2F(s)-2$ . Somit gilt: $\mathcal{L}[f''(t)-f(t)]=\mathcal{L}[f''(t)]-\mathcal{L}[f(t)]=s^2F(s)-2-F(s)$ . Transformieren der rechten Seite der Differentialgleichung: $\mathcal{L}[0](s)=0$ . Gleichsetzen: $s^2F(s)-2-F(s)=0$ Beide Seiten $+2$ rechnen und herausheben führt zu $(s^2-1)F(s)=2$ , dividieren durch $s^2+1$ zu $F(s)=2\cdot \frac{1}{s^2+1}$ . Es gilt $\mathcal{L}^{-1}(\frac{1}{s^2+a^2})=\frac{\sin(at)}{t}$ ([B.24]), daher für diese Aufgabe (mit $a=1$ ) $\mathcal{L}^{-1}(\frac{1}{s^2+1})=\frac{\sin(1 \cdot t)}{1}=\sin(t)$ . Auch ist die inverse Laplacetransformation linear, es gilt also unter anderem $\mathcal{L}^{-1}(c\cdot f(t))=c\cdot\mathcal{L}^{-1}( f(t))$ ([B.2]), daher (mit $c=2$ ): $f(t)=\mathcal{L}^{-1}(\frac{2}{s^2+a^2})=2\mathcal{L}^{-1}(\frac{1}{s^2+a^2})=2\sin(t)$ .

Lösen Sie mittels Laplacetransformation und unter Zuhilfenahme der Korrespondenztabelle die Differentialgleichung $f''(t)+2f(t)=\sin(t)$ mit den Anfangsbedindungen $f(0)=0$ und $f'(0)=1$ . Nr. 4895
	$\sin(t)$
	$2\sin(t)$
	$2\cos(t)$
	$\cos(t)$
	$\frac{\sin(t)}{2}$
Lösungsweg Transformieren der linken Seite der Differentialgleichung: Die Laplacetransformation einer Funktion ist linear ([A.1] & [A.2]), d.h. es gilt $\mathcal{L}[f''(t)+2f(t)]=\mathcal{L}[f''(t)]+2\mathcal{L}[f(t)]$ . Für $f''(t)$ : Es gilt: $\mathcal{L}[f''(t)](s)=s^2F(s)-sf(0)-f'(0)$ ([A.9]). Daher für diese Aufgabe (mit $f(0)=0$ und $f'(0)=1$ ): $\mathcal{L}[f''(t)](s)=s^2F(s)-1$ . Somit gilt: $\mathcal{L}[f''(t)+2f(t)]=\mathcal{L}[f''(t)]+2\mathcal{L}[f(t)]=s^2F(s)-1+2F(s)$ . Transformieren der rechten Seite der Differentialgleichung: $\mathcal{L}[\sin(t)](s)=\frac{1}{s^2+1}$ ([A.32] mit $a=1$ ). Gleichsetzen: $s^2F(s)-1+2F(s)=\frac{1}{s^2+1}$ Beide Seiten $+1$ rechnen und herausheben führt zu $(s^2-2)F(s)=\frac{1}{s^2+1}+1$ , dividieren durch $s^2-2$ zu $F(s)=\frac{1}{(s^2+1)(s^2+2)}+\frac{1}{s^2+2}$ , Partialbruchzerlegung (Hinweis!) führt zu $F(s)=\frac{1}{s^2+1}-\frac{1}{s^2+2}+\frac{1}{s^2+2}=\frac{1}{s^2+1}$ . Es gilt $\mathcal{L}^{-1}(\frac{1}{s^2+a^2})=\frac{\sin(at)}{t}$ ([B.24]), (siehe auch "Transformieren der rechten Seite der Differentialgleichung"). Daher für diese Aufgabe (mit $a=1$ ) $f(t)=\mathcal{L}^{-1}(\frac{1}{s^2+1})=\frac{\sin(1 \cdot t)}{1}=\sin(t)$ .

Lösen Sie mittels Laplacetransformation und unter Zuhilfenahme der Korrespondenztabelle die Differentialgleichung $f''(t)+2f(t)=e^{-3t}$ mit den Anfangsbedindungen $f(0)=0$ und $f'(0)=3$ . Nr. 4896
	$\frac{1}{11}\Big(e^{-3t}+18\sqrt{2}\sin(\sqrt{2}t)-\cos(\sqrt{2}t)\Big)$
	$\frac{1}{11}\Big(e^{-3t}+\frac{3}{\sqrt{2}}\sin(\sqrt{2}t)-\cos(\sqrt{2}t)\Big)$
	$\frac{e^{-3t}}{11}$
	$\frac{1}{11}\Big(e^{-3t}+36\sin(2t)-\cos(2t)\Big)$
	$\frac{1}{11}\Big(36\sin(2t)-\cos(2t)\Big)$
Lösungsweg Transformieren der linken Seite der Differentialgleichung: Die Laplacetransformation einer Funktion ist linear ([A.1] & [A.2]), d.h. es gilt $\mathcal{L}[f''(t)+2f(t)]=\mathcal{L}[f''(t)]+2\mathcal{L}[f(t)]$ . Für $f''(t)$ : Es gilt: $\mathcal{L}[f''(t)](s)=s^2F(s)-sf(0)-f'(0)$ ([A.9]). Daher für diese Aufgabe (mit $f(0)=0$ und $f'(0)=3$ ): $\mathcal{L}[f''(t)](s)=s^2F(s)-3$ . Somit gilt: $\mathcal{L}[f''(t)+2f(t)]=\mathcal{L}[f''(t)]+2\mathcal{L}[f(t)]=s^2F(s)-3+2F(s)$ . Transformieren der rechten Seite der Differentialgleichung: $\mathcal{L}[e^{-3t}](s)=\frac{1}{s+3}$ ([A.21]). Gleichsetzen: $s^2F(s)-3+2F(s)=\frac{1}{s+3}$ Beide Seiten $+3$ rechnen und herausheben führt zu $(s^2+2)F(s)=\frac{1}{s+3}+3$ , dividieren durch $s^2+2$ zu $F(s)=\frac{1}{(s+3)(s^2+2)}+3\cdot\frac{1}{s^2+2}$ . Mit Verwendung der Linearität ([B.1] & [B.2]) sowie [B.53] (mit $a=3$ und $b=\sqrt{2}$ ) für den ersten Summanden und [B.24] (mit $a=\sqrt{2}$ ) für den zweiten Summanden folgt: $f(t)=\mathcal{L}^{-1}(F(s))=\frac{1}{11}\Big(e^{-3t}+\frac{3}{\sqrt{2}}\sin(\sqrt{2}t)-\cos(\sqrt{2}t)\Big)+3\cdot\frac{\sin(\sqrt{2}t)}{\sqrt{2}}$ und zusammenfassen der Terme mit $\sin(\sqrt{2}t)}$ liefert $\frac{1}{11}\Big(e^{-3t}+18\sqrt{2}\sin(\sqrt{2}t)-\cos(\sqrt{2}t)\Big)$ .

Bestimmen Sie unter Zuhilfenahme der Korrespondenztabelle die inverse Laplacetransformierte $f=\mathcal{L}^{-1}(F)$ der Funktion $F$ mit $F(t)=\frac{1}{(s+3)^2}$ . Nr. 4998
	$f(t)=t\cdot e^{3t}$
	$f(t)=t\cdot e^{-3t}$
	$f(t)=e^{3t}$
	$f(t)=e^{-3t}$
	$f(t)=\sin(-3t)$
Lösungsweg Es gilt: $\mathcal{L}^{-1}\Big[\frac{1}{(s+a)^2}\Big](t)=t \cdot e^{-at}$ ([B.19]), daher (mit $a=3$ ) $\mathcal{L}^{-1}\Big[\frac{1}{(s+3)^2}\Big](t)=t \cdot e^{-3t}$ .

Bestimmen Sie unter Zuhilfenahme der Korrespondenztabelle die inverse Laplacetransformierte $f=\mathcal{L}^{-1}(F)$ der Funktion $F$ mit $F(t)=\frac{1}{s^2+4}$ . Nr. 4999
	$f(t)=\frac{e^{2t}}{2}$
	$f(t)=\frac{\cos(2t)}{2}$
	$f(t)=\frac{\sin(2t)}{2}$
	$f(t)=2 \sin(t)$
	$f(t)=2 \cos(t)$
Lösungsweg Es gilt: $\mathcal{L}^{-1}\Big[\frac{1}{s^2+a^2}\Big](t)=\frac{\sin(at)}{a}$ ([B.24]), daher (mit $a=2$ ) $\mathcal{L}^{-1}\Big[\frac{1}{s^2+4}\Big](t)=\frac{\sin(2t)}{2}$ .

Bestimmen Sie unter Zuhilfenahme der Korrespondenztabelle die inverse Laplacetransformierte $f=\mathcal{L}^{-1}(F)$ der Funktion $F$ mit $F(t)=\frac{1}{(s+7)^3}$ . Nr. 5000
	$f(t)=\frac{e^{-7t}}{2}$
	$f(t)=\frac{1}{2}\cdot e^{-7t}$
	$f(t)=\frac{1}{2}\cdot e^{-\sqrt{7}t}$
	$f(t)=\frac{t^2}{2}\cdot e^{-7t}$
	$f(t)=t^2 \cdot e^{-7t}$
Lösungsweg Es gilt: $\mathcal{L}^{-1}\Big[\frac{1}{(s+a)^3}\Big](t)=\frac{t^2}{2}\cdot e^{-at}$ ([B.39]), daher (mit $a=7$ ) $\mathcal{L}^{-1}\Big[\frac{1}{(s+7)^3}\Big](t)=\frac{t^2}{2}\cdot e^{-7t}$ .

Bestimmen Sie unter Zuhilfenahme der Korrespondenztabelle die inverse Laplacetransformierte $f=\mathcal{L}^{-1}(F)$ der Funktion $F$ mit $F(t)=\frac{1}{s^2(s+5)}$ . Nr. 5001
	$f(t)=\frac{1}{25} (e^{-5t}+5t-1)$
	$f(t)=\frac{1}{5} (e^{5t}-5t-1)$
	$f(t)=\frac{1}{25} (1-e^{-5t}(5t+1))$
	$f(t)=\frac{25t^2}{2}$
	$f(t)=e^{-5t}+5t-1$
Lösungsweg Es gilt: $\mathcal{L}^{-1}\Big[\frac{1}{s^2(s+a)}\Big](t)= \frac{1}{a^2} (e^{-at}+at-1)$ ([B.43]), daher (mit $a=5$ ) $\mathcal{L}^{-1}\Big[\frac{1}{s^2(s+5)}\Big](t)= \frac{1}{25} (e^{-5t}+5t-1)$

Bestimmen Sie unter Zuhilfenahme der Korrespondenztabelle die inverse Laplacetransformierte $f=\mathcal{L}^{-1}(F)$ der Funktion $F$ mit $F(t)=\frac{1}{(s-3)^4}$ . Nr. 5002
	$f(t)=\frac{t^3}{6}\cdot e^{3t}$
	$f(t)=\frac{t^3}{6}$
	$f(t)=\frac{e^{3t}}{6}$
	$f(t)=\frac{t^2}{2}\cdot e^{3t}$
	$f(t)=\frac{t^2}{2}\cdot e^{-3t}$
Lösungsweg Es gilt: $\mathcal{L}^{-1}\Big[\frac{1}{(s+a)^4}\Big](t)= \frac{t^3}{6}\cdot e^{-at}$ ([B.66]), daher (mit $a=-3$ ) $\mathcal{L}^{-1}\Big[\frac{1}{(s-3)^4}\Big](t)= \frac{t^3}{6}\cdot e^{3t}$ .

Bestimmen Sie unter Zuhilfenahme der Korrespondenztabelle die inverse Laplacetransformierte $f=\mathcal{L}^{-1}(F)$ der Funktion $F$ mit $F(t)=\frac{1}{s^3(s-1)}$ . Nr. 5003
	$f(t)=-\frac{1}{2}(t^2+2t+2-2e^{t})$
	$f(t)=-\frac{1}{2}(t^2-2e^{-t})$
	$f(t)=e^t-t-1$
	$f(t)=1-e^t(1-t)$
Lösungsweg Es gilt: $\mathcal{L}^{-1}\Big[\frac{1}{s^3(s+a)}\Big](t)=\frac{1}{2a^3}(a^2t^2-2at+2-2e^{-at})$ ([B.72]), daher (mit $a=-1$ ) $\mathcal{L}^{-1}\Big[\frac{1}{s^3(s-1)}\Big](t)=-\frac{1}{2}(t^2+2t+2-2e^{t})$ .

Bestimmen Sie unter Zuhilfenahme der Korrespondenztabelle die inverse Laplacetransformierte $f=\mathcal{L}^{-1}(F)$ der Funktion $F$ mit $F(t)=\frac{3s+18}{s^2+81}$ . Nr. 5004
	$f(t)=\cos(9t)+\frac{\sin(9t)}{9}$
	$f(t)=\cos(3t)+\sin(18t)$
	$f(t)=9 \cos(3t)+9 \sin(18t)$
	$f(t)=3 \cos(9t)+18 \sin(9t)$
	$f(t)=3 \cos(9t)+2 \sin(9t)$
Lösungsweg Es gilt: $\mathcal{L}^{-1}\Big[a\cdot f(s)+b \dot g(s)\Big]=a \cdot \mathcal{L}^{-1}[f(s)]+b\cdot \mathcal{L}^{-1}[g(s)]$ ([B.1] & [B.2]), daher $\mathcal{L}^{-1}\Big[\frac{3s+18}{s^2+81}\Big](t)=3 \cdot \mathcal{L}^{-1}\Big[\frac{s}{s^2+81}\Big](t)+18\cdot \mathcal{L}^{-1}\Big[\frac{1}{s^2+81}\Big](t)$ . Berechnen von $\mathcal{L}^{-1}\Big[\frac{s}{s^2+81}\Big](t)$ : Es gilt: $\mathcal{L}^{-1}\Big[\frac{s}{s^2+a^2}\Big](t)=\cos(at)$ ([B.25]), daher (mit $a=9$ ) $\mathcal{L}^{-1}\Big[\frac{s}{s^2+81}\Big](t)=\cos(9t)$ . Berechnen von $\mathcal{L}^{-1}\Big[\frac{1}{s^2+81}\Big](t)$ :. Es gilt: $\mathcal{L}^{-1}\Big[\frac{1}{s^2+a^2}\Big](t)=\frac{\sin(at)}{a}$ ([B.24]), daher (mit $a=9$ ) $\mathcal{L}^{-1}\Big[\frac{1}{s^2+81}\Big](t)=\frac{\sin(9t)}{9}$ . Daher gesamt: $\mathcal{L}^{-1}\Big[\frac{3s+18}{s^2+81}\Big](t)=3 \cos(9t)+18 \cdot \frac{\sin(9t)}{9} = 3 \cos(9t)+2 \sin(9t)$

Bestimmen Sie unter Zuhilfenahme der Korrespondenztabelle die inverse Laplacetransformierte $f=\mathcal{L}^{-1}(F)$ der Funktion $F$ mit $F(t)=\frac{s+3}{(s-1)(s+2)}$ . Hinweis: Die Partialbruchzerlegung von $\frac{s+3}{(s-1)(s+2)}$ ist durch $\frac{4}{3}\cdot \frac{1}{s-1}-\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{s+2}$ gegeben. Nr. 5005
	$f(t)=e^t-e^{-2t}$
	$f(t)=\frac{4}{3}e^t-\frac{1}{3}e^{-2t}$
	$f(t)=\frac{4t}{3}+\frac{2t}{3}$
	$f(t)=4\cdot e^t-e^{-2t}$
	$f(t)=\frac{4}{3}e^{2t}-\frac{1}{3}e^{-t}$
Lösungsweg Laut Hinweis gilt $\mathcal{L}^{-1}\Big[\frac{s+3}{(s-1)(s+2)}\Big]=\mathcal{L}^{-1}\Big[\frac{4}{3}\cdot \frac{1}{s-1}-\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{s+2}\Big]$ . Es gilt: $\mathcal{L}^{-1}\Big[a\cdot f(s)+b \dot g(s)\Big]=a \cdot \mathcal{L}^{-1}[f(s)]+b\cdot \mathcal{L}^{-1}[g(s)]$ ([B.1] & [B.2]), daher $\mathcal{L}^{-1}\Big[\frac{4}{3}\cdot \frac{1}{s-1}-\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{s+2}\Big] =$ $\frac{4}{3}\cdot \mathcal{L}^{-1}\Big[\frac{1}{s-1}\Big]-\frac{1}{3}\cdot\mathcal{L}^{-1}\Big[\frac{1}{s+2}\Big]$ . Berechnen von $\mathcal{L}^{-1}\Big[\frac{1}{s-1}\Big]$ & $\mathcal{L}^{-1}\Big[\frac{1}{s+2}\Big]$ : Es gilt: $\mathcal{L}^{-1}\Big[\frac{1}{s+a}\Big](t)=e^{-at}$ ([B.16]), daher (mit $a=-1$ ) $\mathcal{L}^{-1}\Big[\frac{1}{s-1}\Big](t)=e^{t}$ sowie (mit $a=2$ ) $\mathcal{L}^{-1}\Big[\frac{1}{s+2}\Big](t)=e^{-2t}$ . Daher gesamt: $\mathcal{L}^{-1}\Big[\frac{4}{3}\cdot \frac{1}{s-1}-\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{s+2}\Big] =$ $\frac{4}{3}\cdot \mathcal{L}^{-1}\Big[\frac{1}{s-1}\Big]-\frac{1}{3}\cdot\mathcal{L}^{-1}\Big[\frac{1}{s+2}\Big]=$ $\frac{4}{3}e^t-\frac{1}{3}e^{-2t}$ .

Bestimmen Sie unter Zuhilfenahme der Korrespondenztabelle die inverse Laplacetransformierte $f=\mathcal{L}^{-1}(F)$ der Funktion $F$ mit $F(t)=\frac{1}{(s-1)^2+1}$ . Nr. 5006
	$f(t)=\frac{1}{2} \cdot e^{t}\cos(t)$
	$f(t)=\sin(t)\cos(t)$
	$f(t)=e^{t}\cos(t)$
	$f(t)=e^{t}\sin(t)$
	$f(t)=\frac{1}{2} \cdot e^{t}\sin(t)$
Lösungsweg Es gilt: $\mathcal{L}^{-1}\Big[\frac{1}{(s+b)^2+a^2}\Big](t)=\frac{1}{a}\Big(e^{-bt}\sin(at)\Big)$ ([B.28]), daher (mit $a=1$ und $b=-1$ ) $\mathcal{L}^{-1}\Big[\frac{1}{(s-1)^2+1}\Big](t)=e^{t}\sin(t)$ . Anmerkung: Falls Sie in [B.28] $a=-1$ anstelle von $a=1$ (für beide diese $a$ gilt ja $a^2=1$ ) verwenden, bekommen Sie $\mathcal{L}^{-1}\Big[\frac{1}{(s-1)^2+1}\Big](t)=-e^{t}\sin(-t)$ . Da jedoch allgemein $\sin(-t)=-\sin(t)$ gilt ("die Sinusfunktion ist ungerade"), folgt hier weiter: $-e^{t}\sin(-t)=-(-e^{t}\sin(t))=e^{t}\sin(t)$ , also klarerweise die selbe inverse Transformierte.

Bestimmen Sie unter Zuhilfenahme der Korrespondenztabelle die inverse Laplacetransformierte $f=\mathcal{L}^{-1}(F)$ der Funktion $F$ mit $F(t)=\frac{3}{\sqrt{s}}$ . Nr. 5007
	$f(t)=\frac{1}{3\sqrt{\pi t}}$
	$f(t)=\frac{1}{\sqrt{\pi t}}$
	$f(t)=\frac{3}{\sqrt{\pi t}}$
	$f(t)=3$
	$f(t)=\frac{1}{3}$
Lösungsweg Es gilt: $\mathcal{L}^{-1}\Big[a\cdot f(s)\Big]=a \cdot \mathcal{L}^{-1}[f(s)]$ ([B.2]), daher $\mathcal{L}^{-1}\Big[\frac{3}{\sqrt{s}}\Big] = 3 \cdot \mathcal{L}^{-1}\Big[\frac{1}{\sqrt{s}}\Big]$ . Auch gilt: $\mathcal{L}^{-1}\Big[\frac{1}{\sqrt{s}}\Big] = \frac{1}{\sqrt{\pi t}}$ ([B.103]). Daher gesamt: $\mathcal{L}^{-1}\Big[\frac{3}{\sqrt{s}}\Big] = 3 \cdot \mathcal{L}^{-1}\Big[\frac{1}{\sqrt{s}}\Big] = 3 \cdot \frac{1}{\sqrt{\pi t}} = \frac{3}{\sqrt{\pi t}}$ .

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