Fragenliste von Fourier-Transformationen

Ermitteln Sie die Fouriertransformierte zur gegebenen Funktion: $f(t)=e^{-3\|t\|}$ Nr. 3884
	0
	$\frac{1 }{3-i \omega}- \frac{1 }{-3-i \omega}$
	$\frac{1 }{3-i \omega}- \frac{7e^{4i} }{-3-i \omega}$
	$\frac{3 }{5-i \omega}- \frac{e^{2i} }{-8-i \omega}$
Lösungsweg $f(t) \circ - \bullet \mathcal{F}(\omega)= \int\limits_{\tiny{-\infty}}^{\tiny{\infty}} e^{-i \omega t} dt$ $f(t)=e^{-3\|t\|} \circ - \bullet \int\limits_{\tiny{-\infty}}^{\tiny{\infty}} e^{-3\|t\|} \cdot e^{-i \omega t} dt=$ $=\int\limits_{\tiny{-\infty}}^{\tiny{\infty}} e^{-3\|t\| -i \omega t} dt=$ Betrag aufteilen: $=\int\limits_{\tiny{-\infty}}^{\tiny{0}} e^{3t -i \omega t} dt+ \int\limits_{\tiny{0}}^{\tiny{\infty}} e^{-3t -i \omega t} dt=$ Integrieren: $\frac{e^{3t -i \omega t} }{3-i \omega} \|\limits_{\tiny -\infty}^{\tiny{0}} + \frac{e^{-3t -i \omega t} }{-3-i \omega} \|\limits_{\tiny 0} ^{\tiny\infty}=$ Integrationsgrenzen einsetzen: $\frac{e^0 }{3-i \omega}- \frac{e^{-\infty} }{3-i \omega}+ \frac{e^{-\infty} }{-3-i \omega}- \frac{e^0 }{-3-i \omega}=$ $\frac{1 }{3-i \omega}- \frac{0 }{3-i \omega}+ \frac{0 }{-3-i \omega}- \frac{1 }{-3-i \omega}=$ $\frac{1 }{3-i \omega}- \frac{1 }{-3-i \omega}$

Bestimmen Sie die Fouriertransformierte $F= \mathcal{F}(f)$ der folgenden Funktion $f(t)=7 \cdot e^{-\|8t\|}$ . Hinweis: $e^{-\frac{\|t\|}{T}} \circ - \bullet \frac{2T}{1+(\omega T)^2}$ Nr. 3944
	$\frac{7}{4(1+(\frac{\omega}{8})^2)}$
	$\frac{4}{7(1+(\frac{\omega}{4})^2)}$
	$\frac{3}{5(2+(\frac{\omega}{4})^2)}$
	$\frac{3}{2+(\frac{x}{4})^2}$
Lösungsweg $f(t)=7 \cdot e^{-\|8t\|}$ $e^{-\|t\|} \circ - \bullet \frac{2}{1+(\omega)^2}$ $e^{-\|8t\|} \circ - \bullet \frac{1}{8} \cdot \frac{2}{1+(\frac{\omega}{8})^2}$ Streckung: c=8 $7 \cdot e^{-\|8t\|} \circ - \bullet 7 \cdot \frac{1}{8} \cdot \frac{2}{1+(\frac{\omega}{8})^2}= \frac{7}{4(1+(\frac{\omega}{8})^2)}$ Linearität: $\alpha = 7$ Streckung: $f(c \cdot t) \circ - \bullet \frac{1}{c} \cdot F \cdot \frac{\omega}{c}}$ Linearität: $\alpha \cdot f( t) \circ - \bullet \alpha \cdot F(\omega)$

Bestimmen Sie die Fouriertransformierte $F= \mathcal{F}(f)$ der folgenden Funktion $f(t)=8 \cdot e^{5it} \cdot e^{-\|4t-8\|}$ . Hinweis: $e^{-\frac{\|t\|}{T}} \circ - \bullet \frac{2T}{1+(\omega T)^2}$ Nr. 3948
	$e^{- 7 i\omega} \cdot \frac{1}{1+(\frac{\omega-5}{4})^2}$
	$8 \cdot e^{- 2 i (\omega-5)} \cdot \frac{1}{4} \cdot \frac{2}{1+(\frac{\omega-5}{4})^2}$
	$\frac{1}{4} \cdot \frac{2}{1+(\frac{\omega-5}{4})^2}$
	$e^{- 7 i (\omega-5)} \cdot \frac{2}{1+(\frac{\omega}{7})^2}$
Lösungsweg $f(t)=8 \cdot e^{5it} \cdot e^{-\|4t-8\|}$ $e^{-\|t\|} \circ - \bullet \frac{2}{1+\omega^2}$ $e^{-\|4t\|} \circ - \bullet \frac{1}{4} \cdot \frac{2}{1+(\frac{\omega}{4})^2}$ Streckung: c=4 $e^{-\|4t-8\|} \circ - \bullet e^{- 2 i \omega} \cdot \frac{1}{4} \cdot \frac{2}{1+(\frac{\omega}{4})^2}$ Verschiebung im Zeitbereich: a=2 $e^{5it} \cdot e^{-\|4t-8\|} \circ - \bullet e^{- 2 i (\omega-5)} \cdot \frac{1}{4} \cdot \frac{2}{1+(\frac{\omega-5}{4})^2}$ Verschiebung im Frequenzbereich: $\Omega=5$ $8 \cdot e^{5it} \cdot e^{-\|4t-8\|} \circ - \bullet 8 \cdot e^{- 2 i (\omega-5)} \cdot \frac{1}{4} \cdot \frac{2}{1+(\frac{\omega-5}{4})^2}$ Linearität: $\alpha = 8$ Streckung: $f(c \cdot t) \circ - \bullet \frac{1}{c} \cdot F \cdot \frac{\omega}{c}}$ Linearität: $\alpha \cdot f( t) \circ - \bullet \alpha \cdot F(\omega)$ Verschiebung im Zeitbereich: $f( t - a) \circ - \bullet e^{-i \omega a} \cdot F(\omega)$ Verschiebung im Frequenzbereich: $e^{-i t \Omega} \cdot f(t) \circ - \bullet \cdot F(\omega - \Omega)$

Bestimmen Sie die Fouriertransformierte $F= \mathcal{F}(f)$ der folgenden Funktion $f(t)=e^{-7it} \cdot 8 \cdot e^{-\|4t\|}$ . Hinweis: $e^{-\frac{\|t\|}{T}} \circ - \bullet \frac{2T}{1+(\omega T)^2}$ Nr. 3949
	$\frac{8}{1+(\frac{\omega - 7}{4})^2}$
	$\frac{1}{1+(\frac{\omega - 7}{4})^2}$
	$\frac{8}{1+(\frac{\omega - 12}{5})^2}$
	$\frac{8}{1+(\frac{\omega}{4})^2}$
Lösungsweg $f(t)=e^{7it} \cdot 8 \cdot e^{-\|4t\|}$ $e^{-\|t\|} \circ - \bullet \frac{2}{1+(\omega)^2}$ $e^{-\|4t\|} \circ - \bullet \frac{1}{4} \cdot \frac{2}{1+(\frac{\omega}{4})^2}$ Streckung: c=4 $8 \cdot e^{-\|4t\|} \circ - \bullet 8 \cdot \frac{1}{4} \cdot \frac{2}{1+(\frac{\omega}{4})^2}$ Linearität: $\alpha = 8$ $e^{-7it} \cdot 8 \cdot e^{-\|4t\|} \circ - \bullet 4 \cdot \frac{2}{1+(\frac{\omega - 7}{4})^2}$ Verschiebung im Frequenzbereich: $\Omega=7$ Streckung: $f(c \cdot t) \circ - \bullet \frac{1}{c} \cdot F \cdot \frac{\omega}{c}}$ Linearität: $\alpha \cdot f( t) \circ - \bullet \alpha \cdot F(\omega)$ Verschiebung im Zeitbereich: $f( t - a) \circ - \bullet e^{-i \omega a} \cdot F(\omega)$ Verschiebung im Frequenzbereich: $e^{-i t \Omega} \cdot f(t) \circ - \bullet \cdot F(\omega - \Omega)$

Bestimmen Sie die Fouriertransformierte $F= \mathcal{F}(f)$ der folgenden Funktion $f(t)=e^{-\|3t\|}$ . Hinweis: $e^{-\frac{\|t\|}{T}} \circ - \bullet \frac{2T}{1+(\omega T)^2}$ Nr. 3950
	$\frac{3}{1+(\frac{\omega}{3})^2}$
	$\frac{2}{1+(\frac{\omega}{3})^2}$
	$\frac{1}{3} \cdot \frac{2}{1+(\frac{\omega}{3})^2}$
	$\frac{6}{3+(\frac{\omega}{3})^2}$
Lösungsweg $f(t)=e^{-\|3t\|}$ $e^{-\|t\|} \circ - \bullet \frac{2}{1+(\omega)^2}$ $e^{-\|3t\|} \circ - \bullet \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{1+(\frac{\omega}{3})^2}$ Streckung: c=3 Streckung: $f(c \cdot t) \circ - \bullet \frac{1}{c} \cdot F \cdot \frac{\omega}{c}}$ Linearität: $\alpha \cdot f( t) \circ - \bullet \alpha \cdot F(\omega)$ Verschiebung im Zeitbereich: $f( t - a) \circ - \bullet e^{-i \omega a} \cdot F(\omega)$ Verschiebung im Frequenzbereich: $e^{-i t \Omega} \cdot f(t) \circ - \bullet \cdot F(\omega - \Omega)$

Bestimmen Sie die Fouriertransformierte $F= \mathcal{F}(f)$ der folgenden Funktion $f(t)=e^{-\|\frac{5t}{7}\|}$ . Hinweis: $e^{-\frac{\|t\|}{T}} \circ - \bullet \frac{2T}{1+(\omega T)^2}$ Nr. 3952
	$\frac{7}{5} \cdot \frac{2}{1+(\frac{7\omega}{5})^2}$
	$\frac{1}{5} \cdot \frac{2}{1+(\frac{\omega}{5})^2}$
	$e^{\frac{7}{5}} \cdot \frac{2}{1+(\frac{7\omega}{5})^2}$
	$\frac{10}{1+(\frac{14\omega}{5})^2}$
Lösungsweg $f(t)=e^{-\|\frac{5t}{7}\|}$ $e^{-\|t\|} \circ - \bullet \frac{2}{1+(\omega)^2}$ $e^{-\|\frac{5t}{7}\|} \circ - \bullet \frac{1}{\frac{5}{7}} \cdot \frac{2}{1+(\frac{\omega}{\frac{5}{7}})^2}$ Streckung: $c=\frac{5}{7}$ Streckung: $f(c \cdot t) \circ - \bullet \frac{1}{c} \cdot F \cdot \frac{\omega}{c}}$ Linearität: $\alpha \cdot f( t) \circ - \bullet \alpha \cdot F(\omega)$ Verschiebung im Zeitbereich: $f( t - a) \circ - \bullet e^{-i \omega a} \cdot F(\omega)$ Verschiebung im Frequenzbereich: $e^{-i t \Omega} \cdot f(t) \circ - \bullet \cdot F(\omega - \Omega)$

Bestimmen Sie die Fouriertransformierte $F= \mathcal{F}(f)$ der folgenden Funktion $f(t)=\frac{5}{1+(t+3)^2}$ . Hinweis: $\frac{1}{1+t^2} \circ - \bullet \pi e^{-\| \omega \|}$ Nr. 3953
	$5 \cdot \pi e^{-\| \omega \|}$
	$3 \cdot e^{i\| \omega 5\|}$
	$3 \cdot \pi e^{-\| \omega \|} \cdot e^{i \omega 5}$
	$5 \cdot \pi e^{-\| \omega \|} \cdot e^{3i\omega}$
Lösungsweg $f(t)=\frac{5}{1+(t+3)^2}$ $\frac{1}{1+t^2} \circ - \bullet \pi e^{-\| \omega \|}$ $\frac{1}{1+(t+3)^2} \circ - \bullet \pi e^{-\| \omega \|} \cdot e^{i \omega 3}$ Verschiebung im Zeitbereich: a= -3 $\frac{5}{1+(t+3)^2} \circ - \bullet 5 \cdot \pi e^{-\| \omega \|} \cdot e^{i \omega 3}$ Linearität: $\alpha = 5$ Streckung: $f(c \cdot t) \circ - \bullet \frac{1}{c} \cdot F \cdot \frac{\omega}{c}}$ Linearität: $\alpha \cdot f( t) \circ - \bullet \alpha \cdot F(\omega)$ Verschiebung im Zeitbereich: $f( t - a) \circ - \bullet e^{-i \omega a} \cdot F(\omega)$ Verschiebung im Frequenzbereich: $e^{-i t \Omega} \cdot f(t) \circ - \bullet \cdot F(\omega - \Omega)$

Bestimmen Sie die Fouriertransformierte $F= \mathcal{F}(f)$ der folgenden Funktion $f(t)=\frac{1}{1+(2t)^2}$ . Hinweis: $\frac{1}{1+t^2} \circ - \bullet \pi e^{-\| \omega \|}$ Nr. 3954
	$\pi e^{-\| \frac{\omega}{2} \|}$
	$\frac{1}{2} \pi e^{-\| \frac{\omega}{2} \|}$
	$2 \pi e^{-\| \frac{\omega}{2} \|}$
	$2 \pi e^{-\| 2\omega^2 \|}$
Lösungsweg $f(t)=\frac{1}{1+(2t)^2}$ $\frac{1}{1+t^2} \circ - \bullet \pi e^{-\| \omega \|}$ $\frac{1}{1+(2t)^2} \circ - \bullet \frac{1}{2} \pi e^{-\| \frac{\omega}{2} \|}$ Streckung: c=2 Streckung: $f(c \cdot t) \circ - \bullet \frac{1}{c} \cdot F \cdot \frac{\omega}{c}}$ Linearität: $\alpha \cdot f( t) \circ - \bullet \alpha \cdot F(\omega)$ Verschiebung im Zeitbereich: $f( t - a) \circ - \bullet e^{-i \omega a} \cdot F(\omega)$ Verschiebung im Frequenzbereich: $e^{-i t \Omega} \cdot f(t) \circ - \bullet \cdot F(\omega - \Omega)$

Bestimmen Sie die Fouriertransformierte $F= \mathcal{F}(f)$ der folgenden Funktion $f(t)=\frac{10}{1+t^2}$ . Hinweis: $\frac{1}{1+t^2} \circ - \bullet \pi e^{-\| \omega \|}$ Nr. 3955
	$2 \cdot \pi e^{-\|5 \omega \|}$
	$10 \cdot \pi e^{-\|10 \omega \|}$
	$\pi e^{-\|10 \omega \|}$
	$10 \cdot \pi e^{-\| \omega \|}$
Lösungsweg $f(t)=\frac{10}{1+t^2}$ $\frac{1}{1+t^2} \circ - \bullet \pi e^{-\| \omega \|}$ $\frac{10}{1+t^2} \circ - \bullet 10 \cdot \pi e^{-\| \omega \|}$ Linearität: $\alpha =10$ Streckung: $f(c \cdot t) \circ - \bullet \frac{1}{c} \cdot F \cdot \frac{\omega}{c}}$ Linearität: $\alpha \cdot f( t) \circ - \bullet \alpha \cdot F(\omega)$ Verschiebung im Zeitbereich: $f( t - a) \circ - \bullet e^{-i \omega a} \cdot F(\omega)$ Verschiebung im Frequenzbereich: $e^{-i t \Omega} \cdot f(t) \circ - \bullet \cdot F(\omega - \Omega)$

Bestimmen Sie die Fouriertransformierte $F= \mathcal{F}(f)$ der folgenden Funktion $f(t)=\frac{1}{1+(2(t-2))^2}$ . Hinweis: $\frac{1}{1+t^2} \circ - \bullet \pi e^{-\| \omega \|}$ Nr. 3956
	$\frac{1}{2} \pi e^{-\| \frac{ \omega}{2} \|} \cdot e^{-2i \omega}$
	$\frac{1}{4} \pi e^{-\| \frac{ \omega}{4} \|} \cdot e^{-2i \omega}$
	$\frac{1}{4} \cdot e^{-2i \omega}$
	$\frac{1}{2} \pi e^{-\| \frac{ \omega}{4} \|}$
Lösungsweg $f(t)=\frac{1}{1+(2(t-2))^2}$ $\frac{1}{1+t^2} \circ - \bullet \pi e^{-\| \omega \|}$ $\frac{1}{1+(2t)^2} \circ - \bullet \frac{1}{2} \pi e^{-\| \frac{ \omega}{2} \|}$ Streckung: c=2 $\frac{1}{1+(2(t-2))^2} \circ - \bullet \frac{1}{2} \pi e^{-\| \frac{ \omega}{2} \|} \cdot e^{-2i \omega}$ Verschiebung im Zeitbereich: a=2 Streckung: $f(c \cdot t) \circ - \bullet \frac{1}{c} \cdot F \cdot \frac{\omega}{c}}$ Linearität: $\alpha \cdot f( t) \circ - \bullet \alpha \cdot F(\omega)$ Verschiebung im Zeitbereich: $f( t - a) \circ - \bullet e^{-i \omega a} \cdot F(\omega)$ Verschiebung im Frequenzbereich: $e^{-i t \Omega} \cdot f(t) \circ - \bullet \cdot F(\omega - \Omega)$

Bestimmen Sie die Fouriertransformierte $F= \mathcal{F}(f)$ der folgenden Funktion $f(t)=\frac{1}{1+(\frac{t}{2})^2}$ . Hinweis: $\frac{1}{1+t^2} \circ - \bullet \pi e^{-\| \omega \|}$ Nr. 3957
	$2 \pi e^{-\| 2 \omega \|}$
	$\frac{1}{2} \pi e^{-\| 2 \omega \|}$
	$\frac{1}{4} \pi e^{-\| 4 \omega \|}$
	$\frac{1}{2} \pi e^{-\| \frac{\omega}{2} \|}$
Lösungsweg $f(t)=\frac{1}{1+(\frac{t}{2})^2}$ $\frac{1}{1+t^2} \circ - \bullet \pi e^{-\| \omega \|}$ $\frac{1}{1+(\frac{t}{2})^2} \circ - \bullet \frac{1}{2} \pi e^{-\| \frac{\omega}{\frac{1}{2}} \|}$ Streckung: $c=\frac{1}{2}$ Streckung: $f(c \cdot t) \circ - \bullet \frac{1}{c} \cdot F \cdot \frac{\omega}{c}}$ Linearität: $\alpha \cdot f( t) \circ - \bullet \alpha \cdot F(\omega)$ Verschiebung im Zeitbereich: $f( t - a) \circ - \bullet e^{-i \omega a} \cdot F(\omega)$ Verschiebung im Frequenzbereich: $e^{-i t \Omega} \cdot f(t) \circ - \bullet \cdot F(\omega - \Omega)$

Berechnen Sie die Fouriertransformierte der folgenden Funktion: $x \mapsto\left\{\begin{array}{ll} {1:} & {\mid x \mid \leq a} \\ {0:} & {\mid x \mid > a} \end{array}\right.$ Nr. 4231
	$=\sqrt{\frac{2}{\pi}} \cdot \frac{\sin (ak)}{k}$
	$=\sqrt{2\pi} \cos (ak)}$
	$= \sqrt{\frac{1}{4\pi}} ki \Big( e^{ika} - e^{-ika} \Big)$
Lösungsweg $\mathcal{F} (f) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \bigint_{-\infty}^{\infty} f(x)e^{-ikx}dx = \\$ $= \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \Big( \bigint_{-\infty}^{-a} 0 \cdot e^{-ikx} dx + \bigint_{-a}^{a} 1 \cdot e^{-ikx} dx + \bigint_{a}^{\infty} 0 \cdot e^{-ikx} \Big) = \\$ $= \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\bigint_{-a}^{a} 1 \cdot e^{-ikx} dx = \\ = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \frac{1}{-ik} e^{-ikx} \; \mid _{-a}^{a} = \\$ $= \sqrt{\frac{1}{2\pi}} \cdot \frac{1}{ik} \Big( e^{ika} - e^{-ika} \Big)$ Nun muss etwas getrickst werden (der obige Ausdruck wird mit 2 unter der Wurzel erweitert): $= \sqrt{\frac{2}{2\cdot 2\pi}} \cdot \frac{1}{ik} \Big( e^{ika} - e^{-ika} \Big) = \\ = \sqrt{\frac{2}{4\pi}} \cdot \frac{1}{ik} \Big( e^{ika} - e^{-ika} \Big)$ Nun kann die Wurzel aus 4 gezogen werden und man erhält: $= \sqrt{\frac{2}{\pi}} \cdot \frac{1}{2ik} \Big( e^{ika} - e^{-ika} \Big) = \\ = \sqrt{\frac{2}{\pi}} \cdot \frac{1}{k} \cdot \frac{1}{2i} \Big( e^{ika} - e^{-ika} \Big) = \\$ $=\sqrt{\frac{2}{\pi}} \cdot \frac{1}{k} \sin (ak) = \\ =\sqrt{\frac{2}{\pi}} \cdot \frac{\sin (ak)}{k}$

Bestimmen Sie die Fouriertransformierte $F=\mathcal{F}(f)$ der Funktion $f$ mit $f(t)=e^{3jt}e^{-t^2}$ . Hinweis: Nr. 4862
	$\sqrt{\pi}e^{-(\omega-3)^2/4}$
	$\sqrt{\pi}e^{-(\omega+3)^2/4}$
	$e^{-3j\omega}\sqrt{\pi}e^{-\omega^2/4}$
	$3\sqrt{\pi}e^{-\omega^2/4}$
Lösungsweg Die Fouriertransformierte einer Funktion der Form $e^{jat}f(t)$ ist durch $F(\omega-a)$ gegeben. Daher ist $\sqrt{\pi}e^{-(\omega-3)^2/4}$ die richtige Antwort.

Bestimmen Sie die Fouriertransformierte $F=\mathcal{F}(f)$ der Funktion $f$ mit $f(t)=t \cdot e^{-t^2}$ . Hinweis: Nr. 4863
	$-j\omega\sqrt{\pi}e^{-\omega^2/4}$
	$\omega\sqrt{\pi}e^{-\omega^2/4}$
	$j\omega\sqrt{\pi}e^{-\omega^2/4}$
	$j\sqrt{\pi}e^{-\omega^2/4}$
	$-\frac{1}{2}j\omega\sqrt{\pi}e^{-\omega^2/4}$
Lösungsweg Die Fouriertransformierte einer Funktion der Form $t\cdot f(t)$ ist durch $j\cdot F'(\omega)$ gegeben. Es gilt $F'(\omega)=\sqrt{\pi}\frac{-2}{4}\omega e^{-\omega^2/4}$ nach der Kettenregel, was (Bruch durch 2 gekürzt und Reihenfolge der Faktoren geändert) Folgendes ergibt: $-\frac{1}{2}\omega\sqrt{\pi}e^{-\omega^2/4}$ . Daher ist $j \cdot (-\frac{1}{2}\omega\sqrt{\pi}e^{-\omega^2/4}) = -\frac{1}{2}j\omega\sqrt{\pi}e^{-\omega^2/4}$ die richtige Antwort.

Bestimmen Sie die Fouriertransformierte der Funktion $f'$ (1. Ableitung von $f$ ), wobei $f$ gegeben ist durch $f(t)=e^{-t^2}$ . Hinweis: Nr. 4864
	$-\frac{1}{2}j\omega\sqrt{\pi}e^{-\omega^2/4}$
	$j\omega\sqrt{\pi}e^{-\omega^2/4}$
	$\frac{1}{2}\omega\sqrt{\pi}e^{-\omega^2/4}$
	$\sqrt{\pi}e^{-\omega^2/4$
Lösungsweg Die Fouriertransformierte der 1. Ableitung einer Funktion $f$ ist durch $j\omega F(\omega)$ gegeben . Daher ist die richtige Antwort $j\omega\sqrt{\pi}e^{-\omega^2/4}$ .

Bestimmen Sie die Fouriertransformierte $F=\mathcal{F}(f)$ der Funktion $f$ mit $f(t)=2e^{-(2t)^2}$ . Hinweis: Nr. 4865
	$2\sqrt{\pi}e^{-\omega^2}$
	$\sqrt{\pi}e^{-\omega^2/4}$
	$\sqrt{\pi}e^{-\omega^2/16}$
	$4\sqrt{\pi}e^{-\omega^2/4}$
Lösungsweg Die Fouriertransformierte einer Funktion der Form $af(t)$ ist durch $aF(\omega)$ gegeben, die Fouriertransformierte einer Funktion der Form $f(bt)$ ist durch $\frac{1}{\|b\|}F(\frac{\omega}{b})$ gegeben. Für eine Funktion der Form $af(bt)$ ist die Fouriertransformierte daher durch $a\frac{1}{\|b\|}F(\frac{\omega}{b})$ gegeben. Daher ist $2\frac{1}{2}\sqrt{\pi}e^{\frac{(\frac{\omega}{2})^2}{4}}=\sqrt{\pi}e^{\omega^2/16}$ die richtige Antwort.

Bestimmen Sie die Fouriertransformierte $F=\mathcal{F}(f)$ der Funktion $f$ mit $f(t)=\left\{ \begin{array}{ll} 1-\|t\| & \quad -1 \leq t \leq 1 \\ 0 & \quad \text{sonst} \\ \end{array} \right.$ (Dreiecksimpuls). Eine Abbildung der Funktion $f$ finden Sie unterhalb. Hinweis: Verwenden Sie die Sinus-Cosinus-Form der Fouriertransformation sowie die Tatsache, dass $f$ gerade ist. Abbildung der Funktion $f$ : Nr. 4866
	$2\frac{1-\cos(\omega)}{\omega^2}$
	$\frac{2}{\omega^2}$
	$2\frac{\sin(\omega)}{\omega}$
	$2\cos(\omega)$
	$2\frac{\sin(\omega)}{\omega^2}$
Lösungsweg Da $f$ gerade ist gilt $F(\omega)=a(\omega)=2\int_{0}^{\infty}\cos(\omega t)f(t)dt$ . Es gilt $\int_{0}^{\infty}\cos(\omega t)f(t)dt=\int_{0}^{1}\cos(\omega t)(1-t)dt=\int_{0}^{1}\cos(\omega t)dt-\int_{0}^{1}\cos(\omega t)tdt$ , wobei als obere Grenze im Integral $1$ gewählt wird, da die Funktion $f$ für $t \geq 1$ ident $0$ ist. Da $f$ im Invervall $[0,1]$ als $1-t$ geschrieben werden kann, kann der Ausdruck $1-t$ anstatt $1-\|t\|$ verwendet werden. Integrieren des linken bestimmten Integrals und partielles Integrieren des rechten bestimmten Integrals führt zu $\Big(\frac{1}{\omega}\sin(\omega t)\Big)\|_{t=0}^{1} - \Big(\frac{1}{\omega}\sin(\omega t)t\Big)\|_{t=0}^{1}+\int_{0}^{1}\frac{1}{\omega}\sin(\omega t) dt$ . Einsetzen der Integrationsgrenzen für $t$ und integrieren des übriggebliebenen Integrals führt zu $\frac{1}{\omega}\sin(\omega) -\frac{1}{\omega}\sin(\omega)-\Big(\frac{1}{\omega^2}\cos(\omega t)\Big)\|_{t=0}^{1}$ . Die ersten beiden Terme heben sich auf und erneutes Einsetzen der Grenzen für $t$ im rechten Term ergibt $-\frac{1}{\omega^2} \cos(\omega)+\frac{1}{\omega^2}=\frac{1-\cos(\omega)}{\omega^2}$ . Daher gilt $F(\omega)=2\int_{0}^{\infty}\cos(\omega t)f(t)dt=2\frac{1-\cos(\omega)}{\omega^2}$ . Unterhalb finden Sie eine graphische Darstellung der Funktion $f$ und ihrer Fouriertransformierten $F$ .

Die Fouriertransformierte $F=\mathcal{F}(f)$ der Funktion $f$ mit $f(t)=\left\{ \begin{array}{ll} e^{-bt} & \quad t \geq 0 \\ 0 & \quad \text{sonst} \\ \end{array} \right.$ für $b > 0$ (einseitig abfallender Impuls) ist durch $F(\omega)=\frac{1}{b+jw}$ gegeben. (Dies muss nicht gezeigt werden!) Bestimmen Sie die Fouriertransformierte des um 3 Zeiteinheiten später stattfindenden Impulses $f(t-3)$ . Abbildung von $f(t)$ (blau) und $f(t-3)$ (rot) für $b=1$ : Nr. 4867
	$\frac{e^{3j\omega}}{b+j\omega}$
	$\frac{e^{-3j\omega}}{b+j\omega}$
	$\frac{1}{b+j(\omega+3)}$
	$\frac{1}{b+j(\omega-3)}$
	$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{b+j\frac{\omega}{3}}=\frac{1}{3b+j\omega}$
Lösungsweg Die Fouriertransformierte einer Funktion der Form $f(t-a)$ ist durch $e^{-ja\omega}F(\omega)$ gegeben. Daher ist die richtige Antwort $e^{-3j\omega}\frac{1}{b+jw}=\frac{e^{-3j\omega}}{b+jw}$ .

Die Fouriertransformierte der Funktion $f$ mit $f(t)=\left\{ \begin{array}{ll} e^{-bt} & t \geq 0 \\ 0 & \text{sonst} \\ \end{array} \right.$ für $b > 0$ (einseitig abfallender Impuls) ist durch $F(\omega)=\frac{1}{b+j\omega}$ gegeben. (Dies muss nicht gezeigt werden!) Bestimmen Sie die Fouriertransformierte des von doppelter Höhe abfallenden Impulses $2\cdot f(x)$ . Abbildung von $f$ (blau) und $2 \cdot f$ (rot) für $b=1$ : Nr. 4868
	$\frac{1}{2b+j\omega}$
	$\frac{2}{b+j\omega}$
	$\frac{1}{b+2j\omega}$
	$\frac{1}{b+j\frac{\omega}{2]}$
	$\frac{e^{-2j\omega}}{b+j\omega}$
Lösungsweg Die Fouriertransformierte einer Funktion der Form $a \cdot f(t)$ ist durch $a \cdot F(\omega)$ gegeben. Daher ist die richtige Antwort $2 \cdot \frac{1}{b+j\omega}=\frac{2}{b+j\omega}$ .

Die Fouriertransformierte $F=\mathcal{F}(f)$ der Funktion $f$ mit $f(t)=\left\{ \begin{array}{ll} e^{-bt} & \quad t \geq 0 \\ 0 & \quad \text{sonst} \\ \end{array} \right.$ für $b > 0$ (einseitig abfallender Impuls) ist durch $F(\omega)=\frac{1}{b+jw}$ gegeben. (Dies muss nicht gezeigt werden!) Bestimmen Sie die Fouriertransformierte des mit $\frac{1}{2}$ skalierten ("mit halber Geschwindigkeit stattfindenden") Impulses $f(\frac{t}{2})$ . Abbildung von $f(t)$ (blau) und $f(\frac{t}{2})$ (rot) für $b=1$ : Nr. 4869
	$\frac{1}{2b+j\omega}$
	$\frac{2}{b+j\omega}$
	$\frac{2}{b+2j\omega}$
	$\frac{e^{2j\omega}}{b+j\omega}$
	$\frac{e^{-2j\omega}}{b+j\omega}$
Lösungsweg Die Fouriertransformierte einer Funktion der Form $f(at)$ ist durch $\frac{1}{\|a\|}F(\frac{\omega}{a})$ gegeben. Daher ist die richtige Antwort ( $a=\frac{1}{2}$ ) $\frac{1}{1/2} \cdot \frac{1}{b+j\frac{\omega}{1/2}}= 2 \cdot \frac{1}{b+2j\omega}=\frac{2}{b+2j\omega}$ . Dabei wurde (zweimal) der Bruch $\frac{1}{1/2}$ mit $2$ erweitert: $\frac{1}{1/2}=\frac{1\cdot 2}{(1/2)\cdot 2 } = \frac{2}{1}=2$ . Anmerkung: Den Impuls $f(\frac{t}{2})$ erhalten Sie auch, indem Sie $b$ in der Funktionsvorschrift von $f$ durch $\frac{b}{2}$ ersetzen. Daher kann die Fouriertransformierte direkt aus der Angabe gewonnen werden: $\frac{1}{b/2+jw}$ . Erweitert man diesen Bruch mit $2$ erhält man die (klarerweise) idente Fouriertransformierte $\frac{2}{b+2j\omega}$ .

Bestimmen Sie die Fouriertransformierte von $f \star f$ (der Faltung von $f$ mit sich selbst) für $f$ mit $f(t)=e^{-t^2}$ . Hinweis: Nr. 4870
	$2 \pi e^{-\omega^2/2}$
	$\pi e^{-\omega^2/2}$
	$\pi e^{-\omega^2/4}$
	$\frac{1}{2}e^{-\omega^2/2}$
Lösungsweg Die Fouriertransformierte einer Funktion der Form $(f \star g)(t)$ ist durch $F(\omega) \cdot G(\omega)$ gegeben. Daher ist die richtige Antwort (mit $f=g$ ) via $F(\omega) \cdot F(\omega)= \sqrt{\pi} e^{-\omega^2/4} \cdot \sqrt{\pi} e^{-\omega^2/4} = \Big( \sqrt{\pi} e^{-\omega^2/4} \Big)^2$ . Weiter mit den Rechenregeln für Potenzen $\sqrt{\pi}^2(e^{-\omega^2/4})^2=\pi e^{(-\omega^2/4) \cdot 2} = \pi e^{-\omega^2/2}$ .

Gegeben ist die Funktion $f$ und die beiden im Argument um $\pm 3$ verschobenen Funktionen $g$ und $h$ mit $g(t)=f(t+3)$ und $h(t)=f(t-3)$ . Kreuzen Sie die korrekten Antworten an. Nr. 4871
	$\mathcal{F}\Big[(f \star f) (t)\Big](\omega)=\mathcal{F}\Big[(g \star h) (t)\Big](\omega)$
	$\mathcal{F}\Big[(f \star g) (t)\Big](\omega)=\mathcal{F}\Big[(g \star f) (t)\Big](\omega)$
	$\mathcal{F}\Big[(g \star g) (t)\Big](\omega)=e^{6j\omega}\cdot \mathcal{F}\Big[(f \star f) (t)\Big](\omega)$
	$\mathcal{F}\Big[(h \star h)(t)\Big](\omega)=e^{6j\omega}\cdot \mathcal{F}\Big[(f \star f) (t)\Big](\omega)$
Lösungsweg Die Fouriertransformierte einer Funktion der Form $f(t-a)$ ist durch $e^{-ja\omega}F(\omega)$ gegeben. Daher gilt $G(\omega)=e^{3j\omega}F(\omega)$ sowie $H(\omega)=e^{-3j\omega}F(\omega)$ , wobei $F, G$ bzw. $H$ die Fouriertransformierte von $f, g$ bzw. $h$ bezeichnen. Auch gilt: Die Fouriertransformierte einer Funktion der Form $(f \star g)(t)$ ist durch $F(\omega) \cdot G(\omega)$ gegeben. Daher: $\mathcal{F}\Big[(f \star f) (t)\Big](\omega)=F(\omega) \cdot F(\omega)$ , $\mathcal{F}\Big[(g \star h) (t)\Big](\omega)=G(\omega) \cdot H(\omega)=e^{3j\omega}F(\omega) \cdot e^{-3j\omega}F(\omega)=F(\omega) \cdot F(\omega)$ , $\mathcal{F}\Big[(g \star g) (t)\Big](\omega)=G(\omega) \cdot G(\omega)=e^{3j\omega}F(\omega) \cdot e^{3j\omega}F(\omega)=e^{6j\omega}F(\omega)$ und $\mathcal{F}\Big[(h \star h) (t)\Big](\omega)=H(\omega) \cdot H(\omega)=e^{-3j\omega}F(\omega) \cdot e^{-3j\omega}F(\omega)=e^{-6j\omega}F(\omega)$ . Wir sehen damit, dass folgende Antworten richtig sind: $\mathcal{F}\Big[(f \star f) (t)\Big](\omega)=\mathcal{F}\Big[(g \star h) (t)\Big](\omega)$ und $\mathcal{F}\Big[(g \star g) (t)\Big](\omega)=e^{6j\omega}\cdot \mathcal{F}\Big[(f \star f) (t)\Big](\omega)$ . Auch gilt allgemein $f \star g = g \star f$ (die Faltung ist symmetrisch). Daher sind auch die Fouriertransformatierte von $f \star g$ und $g \star f$ ident. Folgende Antwortmöglichkeit ist also ebenfalls korrekt: $\mathcal{F}\Big[(f \star g) (t)\Big](\omega)=\mathcal{F}\Big[(g \star f) (t)\Big](\omega)$

Gegeben sind die Funktionen $f$ und $g$ mit $f(t)=2e^{-t^2}$ und $g(t)=e^{-(t+3)^2}$ . Bestimmen Sie die Fouriertransformierte von $f \star g$ (der Faltung von $f$ mit $g$ ). Hinweis: Nr. 4872
	$2\sqrt{\pi}e^{-\omega^2/4}+\sqrt{\pi}e^{-(\omega+3)^2/4}$
	$2\sqrt{\pi}e^{-\omega^2/4}+e^{3j\omega}\sqrt{\pi}e^{-\omega^2/4}$
	$e^{2j\omega}\sqrt{\pi}e^{-\omega^2/4} \cdot \sqrt{\pi}e^{(-\omega+3)^2/4}$
	$(2+e^{3j\omega}) \sqrt{\pi}e^{-\omega^2/4}$
	$2e^{3j\omega}\Big(\sqrt{\pi}e^{-\omega^2/4}\Big)^2 = 2e^{3j\omega}\pi e^{-\omega^2/2}$
Lösungsweg Die Fouriertransformierte einer Funktion der Form $a \cdot f(t)$ ist durch $a \cdot F(\omega)$ gegeben. Daher gilt für diese Aufgabe (mit $a=2$ ): $F(\omega)=2\sqrt{\pi}e^{-\omega^2/4}$ . Die Fouriertransformierte einer Funktion der Form $f(t-a)$ ist durch $e^{-ja\omega}\cdot F(\omega)$ gegeben. Daher gilt für diese Aufgabe (mit $a=-3$ ): $G(\omega)=e^{3j\omega}\sqrt{\pi}e^{-\omega^2/4}$ . Weiters gilt: Die Fouriertransformierte einer Funktion der Form $(f \star g)(t)$ ist durch $F(\omega) \cdot G(\omega)$ gegeben. Daher gilt für diese Aufgabe: $\mathcal{F}[(f \star g)(t)](\omega)=F(\omega)\cdot G(\omega)=2\sqrt{\pi}e^{-\omega^2/4} \cdot e^{3j\omega}\sqrt{\pi}e^{-\omega^2/4}= 2e^{3j\omega}\Big(\sqrt{\pi}e^{-\omega^2/4}\Big)^2$ und $2e^{3j\omega}\Big(\sqrt{\pi}e^{-\omega^2/4}\Big)^2$ die richtige Antwort. Anmerkung: Die Lösung kann noch weiter umgeformt ("vereinfacht") werden: $2e^{3j\omega}\Big(\sqrt{\pi}e^{-\omega^2/4}\Big)^2=2e^{3j\omega}\sqrt{\pi}^2(e^{-\omega^2/4})^2=2e^{3j\omega}\pi e^{-2 \cdot \omega^2/4}=2e^{3j\omega}\pi e^{-\omega^2/2}$ . Demnach kann die Lösung auch in der folgenden Form angegeben werden: $2e^{3j\omega}\pi e^{-\omega^2/2}$ .

Gegeben ist eine Funktion $f$ und ihre Fouriertransformierte $F=\mathcal{F}(f)$ . Kreuzen Sie die korrekten Aussagen an. Achten Sie dabei auf den korrekten Vorfaktor ( $\frac{1}{2\pi}$ oder nicht vorhanden/ $1$ ), das Vorzeichen des Exponenten der Euler'schen Zahl $e$ sowie die korrekte Integrationsvariable ( $t$ bzw. $\omega$ ). Nr. 4873
	$F(\omega)=\int_{-\infty}^{\infty}f(t)e^{-j\omega t} dt$
	$F(\omega)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}f(t)e^{-j\omega t} dt$
	$f(t)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}F(\omega)e^{j\omega t} d\omega$
	$f(t)=\int_{-\infty}^{\infty}F(\omega)e^{j\omega t} d\omega$
	$f(t)=\int_{-\infty}^{\infty}F(\omega)e^{j\omega t} dt$
Lösungsweg Die Fourierdarstellung einer Funktion $f$ ist $f(t)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}F(\omega)e^{j\omega t} d\omega$ (Vorfaktor $\frac{1}{2\pi}$ , positiver Exponent, Integrationsvariable $\omega$ ) Das (Frequenz-)Spektrum bzw. die Fouriertransformierte $F$ von $f$ ist $F(\omega)=\int_{-\infty}^{\infty}f(t)e^{-j\omega t} dt$ (kein Vorfaktor/Vorfaktor $1$ , negativer Exponent, Integrationsvariable $t$ ) Dies sind die beiden korrekten Antwortmöglichkeiten.

Bestimmen Sie die Fouriertransformierte von $f \star f$ (der Faltung von $f$ mit sich selbst) für $f$ mit $f(t)=\chi_{[-1,1]}(t)=\left\{ \begin{array}{ll} 1 & \text{ wenn } -1 \leq t \leq 1 \\ 0 & \quad \text{ sonst} \\ \end{array} \right.$ Hinweis: Nr. 4874
	$4 \frac{\sin(\omega^2)}{\omega^2}$
	$4 j \omega \frac{\sin^2(\omega)}{\omega^2}=4 j \omega \text{si}^2(\omega)$
	$2 \frac{\sin^2(\omega)}{\omega^2}=2\text{si}^2(\omega)$
	$4 \frac{\sin^2(\omega)}{\omega^2}=4\text{si}^2(\omega)$
Lösungsweg Die Fouriertransformierte einer Funktion der Form $(f \star g)(t)$ ist durch $F(\omega) \cdot G(\omega)$ gegeben. Daher ist die richtige Antwort (mit $f=g$ ): $F(\omega) \cdot F(\omega)= 2\frac{\sin(\omega)}{\omega} \cdot 2\frac{\sin(\omega)}{\omega} = 4 \frac{\sin^2(\omega)}{\omega^2}=4\text{si}^2(\omega)$ .

Bestimmen Sie die Fouriertransformierte $F=\mathcal{F}(f)$ der Funktion $f$ mit $f(t)=e^{-\|\pi t\|} + e^{-\|t+\pi\|}$ . Hinweis: Nr. 4875
	$\frac{1}{\pi}\cdot\frac{2}{1+\frac{\omega^2}{\pi^2}}+e^{j\pi\omega}\frac{2}{1+\omega^2}$
	$\frac{2}{1+\frac{\omega^2}{\pi^2}}+e^{j\pi\omega}\frac{2}{1+\omega^2}$
	$\frac{1}{\pi}\cdot \frac{2}{1+\omega^2}+e^{-j\pi\omega}\frac{2}{1+\omega^2}$
	$\frac{2}{1+\frac{\omega^2}{\pi^2}} \cdot e^{j\pi\omega}\frac{2}{1+\omega^2}$
Lösungsweg Die Fouriertransformierte einer Funktion der Form $f(t)+g(t)$ ist durch $F(\omega) + G(\omega)$ gegeben, wobei mit $F$ bzw. $G$ die Fouriertransformierte von $f$ bzw. $g$ bezeichnet wird. Daher kann von beiden Summanden der Funktion (unabhängig von dem anderen Summanden) die Fouriertransformierte bestimmt werden und anschließend können die beiden Fouriertransformierten addiert werden. Für den Summanden $e^{-\|\pi t\|}$ : Die Fouriertransformierte einer Funktion der Form $f(at)$ ist durch $\frac{1}{\|a\|}F(\frac{\omega}{a})$ gegeben. Daher ist die Fouriertransformierte von $e^{-\|\pi t\|}$ (mit $a=\pi$ ) durch $\frac{1}{\pi}\cdot\frac{2}{1+\frac{\omega^2}{\pi^2}}$ gegeben. Für den Summanden $e^{-\|t+\pi\|}$ : Die Fouriertransformierte einer Funktion der Form $f(t-a)$ ist durch $e^{-ja\omega}F(\omega)$ gegeben. Daher ist die Fouriertransformierte von $e^{-\|\pi t\|}$ (mit $a=-\pi$ ) durch $e^{j\pi\omega}\frac{2}{1+\omega^2}$ gegeben. Gesamtlsösung: Diese erhält man durch addieren der beiden bereits berechneten Fouriertransformierten: $\frac{1}{\pi}\cdot\frac{2}{1+\frac{\omega^2}{\pi^2}}+e^{j\pi\omega}\frac{2}{1+\omega^2}$

Bestimmen Sie die Fouriertransformierte der Funktion $f'$ (1. Ableitung von $f$ ), wobei $f$ gegeben ist durch $f(t)=e^{-\|t\|}$ . Hinweis: Nr. 4876
	$\frac{2}{1+j\omega^2}$
	$\frac{2j}{1+\omega^2}$
	$\frac{2\omega}{1+\omega^2}$
	$\frac{2j\omega}{1+\omega^2}$
	$jF'(\omega)=\frac{-4 j\omega}{(1 + \omega^2)^2}$
Lösungsweg Die Fouriertransformierte der 1. Ableitung einer Funktion $f$ ist durch $j\omega F(\omega)$ gegeben. Daher ist die richtige Antwort $j\omega\frac{2}{1+\omega^2}=\frac{2j\omega}{1+\omega^2}$ .

Bestimmen Sie unter Zuhilfenahme der Korrespondenztabelle die inverse Fouriertransformierte $f=\mathcal{F}^{-1}(F)$ der Funktion $F$ mit $F(\omega)=\frac{2}{1+(\omega+3)^2}$ . Hinweis: Nr. 5008
	$f(t)=e^{3jt}e^{\|t\|}$
	$f(t)=e^{-3jt}e^{-\|t\|}$
	$f(t)=e^{-jt}e^{-3\|t\|}$
	$f(t)=\frac{1}{3}\cdot e^{-\|t\|}$
Lösungsweg Die inverse Fouriertransformierte einer Funktion der Form $F(\omega-a)$ ist durch $e^{jat}f(t)$ gegeben. Daher ist die inverse Fouriertransfomierte von $\frac{2}{1+(\omega+3)^2}$ (mit $a=-3$ ) durch $e^{-3jt}e^{-\|t\|}$ gegeben.

Bestimmen Sie unter Zuhilfenahme der Korrespondenztabelle die inverse Fouriertransformierte $f=\mathcal{F}^{-1}(F)$ der Funktion $F$ mit $F(\omega)=\frac{10}{1+(\omega-4)^2}$ . Hinweis: Nr. 5009
	$f(t)=5 \cdot e^{4jt}e^{-\|t\|}$
	$f(t)=e^{4jt}e^{-\|t\|}$
	$f(t)=e^{-4j\|t\|}$
	$f(t)=5 \cdot e^{-\|t\|}$
	$f(t)=4 \cdot e^{-5jt}e^{-\|t\|}$
Lösungsweg Die inverse Fouriertransformierte einer Funktion der Form $F(\omega-a)$ ist durch $e^{jat}f(t)$ gegeben. Daher ist die inverse Fouriertransfomierte von $\frac{2}{1+(\omega-4)^2}$ (mit $a=4$ ) durch $e^{4jt}e^{-\|t\|}$ gegeben. Auch gilt: Die inverse Fouriertransformierte einer Funktion der Form $b\cdot F(\omega)$ ist durch $b \cdot f(t)$ gegeben. Daher ist die inverse Fouriertransfomierte von $\frac{10}{1+(\omega-4)^2}=5 \cdot \frac{2}{1+(\omega-4)^2}$ durch $5 \cdot e^{4jt}e^{-\|t\|}$ gegeben.

Die inverse Fouriertransformierte $f=\mathcal{F}^{-1}(F)$ einer Funktion $F$ sei bekannt. Bestimmen Sie die inverse Fouriertransformierte von $(-\omega^2+3)F(\omega)$ . Nr. 5010
	$f''(t)+3\cdot f(t)$
	$3\cdot f''(t)+ f(t)$
	$3\cdot f''(t)$
	$f'(t)+f(t)$
	$f'(t)+3\cdot f(t)$
Lösungsweg Die inverse Fouriertransformierte von $(-\omega^2+3)F(\omega)$ ist ident mit der inversen Transformation von $-\omega^2\cdot F(\omega)$ addiert mit der inversen Transformation von $3 \cdot F(\omega)$ . Für $-\omega^2\cdot F(\omega)$ : Zweimaliges verwenden der "Ableitungsregel" ((5.49) im Skriptum "Fouriertransformation: Einführung") liefert: Die inverse Fouriertransformierte von $j^2\omega^2F(\omega)=-\omega^2F(\omega)$ (da $j^2=-1$ ) ist durch $f''(t)$ gegeben. Für $3 \cdot F(\omega)$ : Die inverse Fouriertransformierte von $3 \cdot F(\omega)$ ist durch $3 \cdot f(t)$ gegeben. Daher gesamt: $f''(t)+3\cdot f(t)$ .

Die inverse Fouriertransformierte $f=\mathcal{F}^{-1}(F)$ einer Funktion $F$ sei bekannt. Bestimmen Sie die inverse Fouriertransformierte von $-4 \cdot F'(\omega)$ . Nr. 5011
	$f'(-4t)$
	$-4f'(t)$
	$-4 j \cdot f(t)$
	$4 jt \cdot f(t)$
	$-4 t \cdot f(t)$
Lösungsweg Die inverse Fouriertransformierte von $j \cdot F'(\omega)$ ist durch $t \cdot f(t)$ gegeben ("Ableitungsregel", (5.50) im Skriptum "Fouriertransformation: Einführung"). Verwenden der Linearität ((5.2) im Skriptum "Fouriertransformation: Einführung"), in diesem Fall für Multiplikation mit $j$ ergibt: Die inverse Fouriertransformierte von $j^2 \cdot F'(\omega) = - F'(\omega)$ ist durch $jt \cdot f(t)$ gegeben. Erneutes verwenden der Linearität ((5.2)) nun für Multiplikation mit 4 ergibt: Die inverse Fouriertransformierte von $- 4 \cdot F'(\omega)$ ist durch $4 jt \cdot f(t)$ gegeben.

Die Fouriertransformierte $F=\mathcal{F}(f)$ einer Funktion $f$ sei bekannt. Bestimmen Sie die Fouriertransformierte von $f''(t)+3f'(t)-5f(t)$ . Nr. 5012
	$\Big(-\omega^2+j\omega-1\Big)F(\omega)$
	$(3j-6)F(\omega)$
	$(-3) \cdot F(\omega)$
	$\Big(-\omega^2+3j\omega-5\Big)F(\omega)$
	$\Big(-5\omega^2+3j\omega-1\Big)F(\omega)$
Lösungsweg Die Fouriertransformation ist linear, es gilt also $\mathcal{F}\Big(f''(t)+3f'(t)-5f(t)\Big)=\mathcal{F}\Big(f''(t)\Big)+3\cdot \mathcal{F}\Big(f'(t)\Big)-5\cdot \mathcal{F}\Big(f'(t)\Big)$ . Für $f''(t)$ : Zweimaliges anwenden der "Ableitungsregel" ((5.49) im Skriptum "Fouriertransformation: Einführung") liefert: $\mathcal{F}\Big(f''(t)\Big)(\omega)=j^2\omega^2 F(\omega)=-\omega^2 F(\omega)$ . Für $f'(t)$ : Anwenden der "Ableitungsregel" ((5.49) im Skriptum "Fouriertransformation: Einführung") liefert: $\mathcal{F}\Big(f'(t)\Big)(\omega)=j\omega F(\omega)$ . Für $f(t)$ : Laut Angabe gilt $\mathcal{F}\Big(f(t)\Big)(\omega)=F(\omega)$ . Daher gesamt: $\mathcal{F}\Big(f''(t)+3f'(t)-5f(t)\Big)=\mathcal{F}\Big(f''(t)\Big)+3\cdot \mathcal{F}\Big(f'(t)\Big)-5\cdot \mathcal{F}\Big(f'(t)\Big)=-\omega^2 F(\omega)+3j\omega F(\omega)-5F(\omega)$ und herausheben von $F(\omega)$ liefert $\Big(-\omega^2+3j\omega-5\Big)F(\omega)$

Die Fouriertransformierte $F=\mathcal{F}(f)$ einer Funktion $f$ sei bekannt. Bestimmen Sie die Fouriertransformierte von $f'(t)+t \cdot f(t)$ . Nr. 5013
	$j \Big(F(\omega)+F'(\omega) \Big)$
	$F'(\omega)+ \omega F(\omega)$
	$F(\omega)+ \omega F'(\omega)$
	$j\omega F(\omega)+j F'(\omega)$
Lösungsweg Die Fouriertransformation ist linear, es gilt also $\mathcal{F}\Big(f'(t)+t \cdot f(t)\Big)=\mathcal{F}\Big(f'(t)\Big)+\mathcal{F}\Big(t \cdot f(t)\Big)$ . Für $f'(t)$ : Anwenden der "Ableitungsregel" ((5.49) im Skriptum "Fouriertransformation: Einführung") liefert: $\mathcal{F}\Big(f'(t)\Big)(\omega)=j\omega F(\omega)$ . Für $t \dot f(t)$ : Anwenden der "Ableitungsregel nach Rollentausch von $f$ und $F$ " ((5.50) im Skriptum "Fouriertransformation: Einführung") liefert: $\mathcal{F}\Big(t \cdot f(t)\Big)(\omega)=j F'(\omega)$ . Daher gesamt: $\mathcal{F}\Big(f'(t)+t \cdot f(t)\Big)=\mathcal{F}\Big(f'(t)\Big)+\mathcal{F}\Big(t \cdot f(t)\Big)=j\omega F(\omega)+j F'(\omega)$

Die Fouriertransformierte $F=\mathcal{F}(f)$ einer Funktion $f$ sei bekannt. Bestimmen Sie die Fouriertransformierte von $f'(t)+2 \cdot f(2t)$ . Nr. 5014
	$F'(\omega) + 2 \cdot F(\frac{\omega}{2})$
	$j\omega F(\omega) + 2\cdot F(\frac{\omega}{2})$
	$j\omega F(\omega) + \frac{1}{2} F(\frac{\omega}{2})$
	$j\omega F(\omega) + F(\frac{\omega}{2})$
Lösungsweg Die Fouriertransformation ist linear, es gilt also $\mathcal{F}\Big(f'(t)+2 \cdot f(2t)\Big)=\mathcal{F}\Big(f'(t)\Big)$ .. Für $f'(t)$ : Anwenden der "Ableitungsregel" ((5.49) im Skriptum "Fouriertransformation: Einführung") liefert: $\mathcal{F}\Big(f'(t)\Big)(\omega)=j\omega F(\omega)$ . Für $f(2t)$ : Anwenden von $\mathcal{F}\Big(f(at)\Big)(\omega)=\frac{1}{\|a\|} F(\frac{\omega}{a})$ liefert (mit $a=2$ ) $\mathcal{F}\Big(f(2t)\Big)(\omega)=\frac{1}{2} F(\frac{\omega}{2})$ . Daher gesamt: $\mathcal{F}\Big(f'(t)+2 \cdot f(2t)\Big)=\mathcal{F}\Big(f'(t)\Big)+2 \cdot \mathcal{F}\Big(f(2t)\Big)= j\omega F(\omega) + 2\cdot \frac{1}{2} F(\frac{\omega}{2})$ und ausmultiplizieren liefert $j\omega F(\omega) + F(\frac{\omega}{2})$ .

Anmelden

Passwort vergessen
Registrieren

NEWS

Die Mathe Plattform des Technikum Wien gewinnt den eLearning Award 2019 als Projekt des Jahres in der Kategorie Hochschule.

Festigen Sie Ihre Grundkenntnisse und bereiten Sie sich auf Prüfungen vor.
Im Juli starten wieder die Warm-up Kurse - ein kostenloser Service für Aufgenommene und Studierende der FHTW.

Mathematik, Physik, Elektrotechnik, Informatik, Englisch und Deutsch in kompakten Kursen, geblockt bis September.

Anmeldung und Informationen
Warm-up-Kurse

Die Plattform wächst! Wir bauen im Moment den Bereich des Studienwissens aus. Bitte haben Sie Verständnis, dass die Inhalte dort erst nach und nach ergänzt werden. Ebenso kann es bei Design und Grafik noch zu Änderungen, Verbesserungen und kleinen Bugs kommen. Danke für Ihr Verständnis!

weitere News

Wussten Sie schon?

Bei uns können Sie auch Physik üben unter www.physik.technikum-wien.at .

Bestimmen Sie die Fouriertransformierte $F= \mathcal{F}(f)$ der folgenden Funktion $f(t)=\frac{5}{1+(t+3)^2}$ . Hinweis: $\frac{1}{1+t^2} \circ - \bullet \pi e^{-\| \omega \|}$ Nr. 3953
	$5 \cdot \pi e^{-\| \omega \|}$
	$3 \cdot e^{i\| \omega 5\|}$
	$3 \cdot \pi e^{-\| \omega \|} \cdot e^{i \omega 5}$
	$5 \cdot \pi e^{-\| \omega \|} \cdot e^{3i\omega}$
Lösungsweg $f(t)=\frac{5}{1+(t+3)^2}$ $\frac{1}{1+t^2} \circ - \bullet \pi e^{-\| \omega \|}$ $\frac{1}{1+(t+3)^2} \circ - \bullet \pi e^{-\| \omega \|} \cdot e^{i \omega 3}$ Verschiebung im Zeitbereich: a= -3 $\frac{5}{1+(t+3)^2} \circ - \bullet 5 \cdot \pi e^{-\| \omega \|} \cdot e^{i \omega 3}$ Linearität: $\alpha = 5$ Streckung: $f(c \cdot t) \circ - \bullet \frac{1}{c} \cdot F \cdot \frac{\omega}{c}}$ Linearität: $\alpha \cdot f( t) \circ - \bullet \alpha \cdot F(\omega)$ Verschiebung im Zeitbereich: $f( t - a) \circ - \bullet e^{-i \omega a} \cdot F(\omega)$ Verschiebung im Frequenzbereich: $e^{-i t \Omega} \cdot f(t) \circ - \bullet \cdot F(\omega - \Omega)$

Bestimmen Sie die Fouriertransformierte $F= \mathcal{F}(f)$ der folgenden Funktion $f(t)=\frac{1}{1+(2t)^2}$ . Hinweis: $\frac{1}{1+t^2} \circ - \bullet \pi e^{-\| \omega \|}$ Nr. 3954
	$\pi e^{-\| \frac{\omega}{2} \|}$
	$\frac{1}{2} \pi e^{-\| \frac{\omega}{2} \|}$
	$2 \pi e^{-\| \frac{\omega}{2} \|}$
	$2 \pi e^{-\| 2\omega^2 \|}$
Lösungsweg $f(t)=\frac{1}{1+(2t)^2}$ $\frac{1}{1+t^2} \circ - \bullet \pi e^{-\| \omega \|}$ $\frac{1}{1+(2t)^2} \circ - \bullet \frac{1}{2} \pi e^{-\| \frac{\omega}{2} \|}$ Streckung: c=2 Streckung: $f(c \cdot t) \circ - \bullet \frac{1}{c} \cdot F \cdot \frac{\omega}{c}}$ Linearität: $\alpha \cdot f( t) \circ - \bullet \alpha \cdot F(\omega)$ Verschiebung im Zeitbereich: $f( t - a) \circ - \bullet e^{-i \omega a} \cdot F(\omega)$ Verschiebung im Frequenzbereich: $e^{-i t \Omega} \cdot f(t) \circ - \bullet \cdot F(\omega - \Omega)$

Bestimmen Sie die Fouriertransformierte $F= \mathcal{F}(f)$ der folgenden Funktion $f(t)=\frac{10}{1+t^2}$ . Hinweis: $\frac{1}{1+t^2} \circ - \bullet \pi e^{-\| \omega \|}$ Nr. 3955
	$2 \cdot \pi e^{-\|5 \omega \|}$
	$10 \cdot \pi e^{-\|10 \omega \|}$
	$\pi e^{-\|10 \omega \|}$
	$10 \cdot \pi e^{-\| \omega \|}$
Lösungsweg $f(t)=\frac{10}{1+t^2}$ $\frac{1}{1+t^2} \circ - \bullet \pi e^{-\| \omega \|}$ $\frac{10}{1+t^2} \circ - \bullet 10 \cdot \pi e^{-\| \omega \|}$ Linearität: $\alpha =10$ Streckung: $f(c \cdot t) \circ - \bullet \frac{1}{c} \cdot F \cdot \frac{\omega}{c}}$ Linearität: $\alpha \cdot f( t) \circ - \bullet \alpha \cdot F(\omega)$ Verschiebung im Zeitbereich: $f( t - a) \circ - \bullet e^{-i \omega a} \cdot F(\omega)$ Verschiebung im Frequenzbereich: $e^{-i t \Omega} \cdot f(t) \circ - \bullet \cdot F(\omega - \Omega)$

Bestimmen Sie die Fouriertransformierte $F= \mathcal{F}(f)$ der folgenden Funktion $f(t)=\frac{1}{1+(2(t-2))^2}$ . Hinweis: $\frac{1}{1+t^2} \circ - \bullet \pi e^{-\| \omega \|}$ Nr. 3956
	$\frac{1}{2} \pi e^{-\| \frac{ \omega}{2} \|} \cdot e^{-2i \omega}$
	$\frac{1}{4} \pi e^{-\| \frac{ \omega}{4} \|} \cdot e^{-2i \omega}$
	$\frac{1}{4} \cdot e^{-2i \omega}$
	$\frac{1}{2} \pi e^{-\| \frac{ \omega}{4} \|}$
Lösungsweg $f(t)=\frac{1}{1+(2(t-2))^2}$ $\frac{1}{1+t^2} \circ - \bullet \pi e^{-\| \omega \|}$ $\frac{1}{1+(2t)^2} \circ - \bullet \frac{1}{2} \pi e^{-\| \frac{ \omega}{2} \|}$ Streckung: c=2 $\frac{1}{1+(2(t-2))^2} \circ - \bullet \frac{1}{2} \pi e^{-\| \frac{ \omega}{2} \|} \cdot e^{-2i \omega}$ Verschiebung im Zeitbereich: a=2 Streckung: $f(c \cdot t) \circ - \bullet \frac{1}{c} \cdot F \cdot \frac{\omega}{c}}$ Linearität: $\alpha \cdot f( t) \circ - \bullet \alpha \cdot F(\omega)$ Verschiebung im Zeitbereich: $f( t - a) \circ - \bullet e^{-i \omega a} \cdot F(\omega)$ Verschiebung im Frequenzbereich: $e^{-i t \Omega} \cdot f(t) \circ - \bullet \cdot F(\omega - \Omega)$

Bestimmen Sie die Fouriertransformierte $F= \mathcal{F}(f)$ der folgenden Funktion $f(t)=\frac{1}{1+(\frac{t}{2})^2}$ . Hinweis: $\frac{1}{1+t^2} \circ - \bullet \pi e^{-\| \omega \|}$ Nr. 3957
	$2 \pi e^{-\| 2 \omega \|}$
	$\frac{1}{2} \pi e^{-\| 2 \omega \|}$
	$\frac{1}{4} \pi e^{-\| 4 \omega \|}$
	$\frac{1}{2} \pi e^{-\| \frac{\omega}{2} \|}$
Lösungsweg $f(t)=\frac{1}{1+(\frac{t}{2})^2}$ $\frac{1}{1+t^2} \circ - \bullet \pi e^{-\| \omega \|}$ $\frac{1}{1+(\frac{t}{2})^2} \circ - \bullet \frac{1}{2} \pi e^{-\| \frac{\omega}{\frac{1}{2}} \|}$ Streckung: $c=\frac{1}{2}$ Streckung: $f(c \cdot t) \circ - \bullet \frac{1}{c} \cdot F \cdot \frac{\omega}{c}}$ Linearität: $\alpha \cdot f( t) \circ - \bullet \alpha \cdot F(\omega)$ Verschiebung im Zeitbereich: $f( t - a) \circ - \bullet e^{-i \omega a} \cdot F(\omega)$ Verschiebung im Frequenzbereich: $e^{-i t \Omega} \cdot f(t) \circ - \bullet \cdot F(\omega - \Omega)$

Mathematik Übungsplattform

Fragenliste von Fourier-Transformationen

Anmelden

NEWS