Fragenliste von Fourierreihen

Ist die gegebene periodische Funktion gerade oder ungerade? Nr. 3814
	gerade
	ungerade
Lösungsweg Die Funktionsgraphen von ungerade Funktionen sind symmetrisch zum Ursprung.

Ist die gegebene periodische Funktion gerade oder ungerade? Nr. 3815
	gerade
	ungerade
Lösungsweg Die Funktionsgraphen von ungerade Funktionen sind symmetrisch zum Ursprung.

Ist die gegebene periodische Funktion gerade oder ungerade? Nr. 3816
	gerade
	ungerade
Lösungsweg Die Funktionsgraphen von ungeraden Funktionen sind symmetrisch zum Ursprung.

Ist die gegebene periodische Funktion gerade oder ungerade? Nr. 3818
	gerade
	ungerade
Lösungsweg Gerade Funktionen sind symmetrisch zur $y$ -Achse.

Ist die gegebene periodische Funktion gerade oder ungerade? Nr. 3819
	gerade
	ungerade
Lösungsweg Gerade Funktionen sind symmetrisch zur $y"> y$ -Achse.

Ist die gegebene periodische Funktion gerade oder ungerade? Nr. 3820
	gerade
	ungerade
Lösungsweg Gerade Funktionen sind symmetrisch zur $y">y$ -Achse.

Ermitteln Sie die Kreisfrequenz für eine periodische Funktion mit der Periode $T=2\pi$ . Nr. 3821
	6,28
	3,14
	1
	2
Lösungsweg Formel für die Kreisfrequenz: $\omega=\frac{2\pi}{T}=\frac{2\pi}{2\pi}=1$

Ermitteln Sie die Kreisfrequenz für eine periodische Funktion mit der Periode $T=\pi$ . Nr. 3822
	3,14
	1
	2
	1,5
Lösungsweg Formel für die Kreisfrequenz: $\omega=\frac{2\pi}{T}=\frac{2\pi}{\pi}=2$

Ermitteln Sie die Kreisfrequenz für eine periodische Funktion mit der Periode $T=\frac{\pi}{2}$ . Nr. 3823
	1
	2
	1,5
	4
Lösungsweg Formel für die Kreisfrequenz: $\omega=\frac{2\pi}{T}=\frac{2\pi}{\frac{\pi}{2}}=4$

Bestimmen Sie den Fourierkoeffizienten $c_0$ der gegebenen periodischen Funktion. Nr. 3826
	0
	$2\pi$
	$\frac{\pi}{12}$
	$\frac{\pi^2}{12}$
Lösungsweg Die vorliegende Funktion ist ungerade, d.h. sie kann am Ursprung gespiegelt werden. Für ungerade Funktionen gilt $c_0=0$ .

Bestimmen Sie den Fourierkoeffizienten $c_0$ der gegebenen periodischen Funktion. Nr. 3827
	$\pi^2$
	$\frac{3\pi}{2}$
	0
	$3\pi^2$
Lösungsweg Die vorliegende Funktion ist ungerade, d.h. sie kann am Ursprung gespiegelt werden. Für ungerade Funktionen gilt $c_0=0$ .

Bestimmen Sie den Fourierkoeffizienten $a_k$ der gegebenen periodischen Funktion. Nr. 3828
	$\frac{2cos(k\omega\pi)}{k\omega\pi}$
	$3\pi^2$
	$\frac{2}{3\pi}$
	0
Lösungsweg Die vorliegende Funktion ist ungerade, d.h. sie kann am Ursprung gespiegelt werden. Für ungerade Funktionen gilt $a_k=0$ .

Bestimmen Sie den Fourierkoeffizienten $a_k$ der gegebenen periodischen Funktion. Nr. 3829
	$\frac{sin(k\omega\pi^2)}{k\omega\pi}+\frac{2cos(k\omega\pi)}{k\omega\pi}$
	0
	$\frac{1}{\pi}$
	$3\pi$
Lösungsweg Die vorliegende Funktion ist ungerade, d.h. sie kann am Ursprung gespiegelt werden. Für ungerade Funktionen gilt $a_k=0$ .

Bestimmen Sie den Fourierkoeffizienten $b_k$ der gegebenen periodischen Funktion. Nr. 3830
	1
	$2\pi \frac{sin(k\omega\pi)}{k\omega\pi}$
	$\frac{sin(k\omega\pi^2)}{k\omega\pi}+\frac{2cos(k\omega\pi)}{k\omega\pi}$
	0
Lösungsweg Die vorliegende Funktion ist gerade, d.h. sie kann an der Y-Achse gespiegelt werden. Für gerade Funktionen gilt $b_k=0$ .

Bestimmen Sie den Fourierkoeffizienten $b_k$ der gegebenen periodischen Funktion. Nr. 3831
	$\frac{3sin(k\omega\pi^2)}{k\omega\pi}-\frac{cos(2k\omega\pi)}{k\omega\pi}$
	$\frac{sin(k\omega\pi^2)}{k\omega\pi}+\frac{2cos(k\omega\pi)}{k\omega\pi}$
	0
	$\frac{\pi}{4}$
Lösungsweg Die vorliegende Funktion ist gerade, d.h. sie kann an der Y-Achse gespiegelt werden. Für gerade Funktionen gilt $b_k=0$ .

Bestimmen Sie den Fourierkoeffizienten $c_0$ der gegebenen periodischen Funktion. Nr. 3832
	$\frac{1}{2}$
	$2\pi$
	$\frac{\pi}{2}$
	12
Lösungsweg $T=2\pi$ Formel für $C_0$ : $C_0=\frac{1}{T} \int\limits_{0}^{T} f(t) dt$ Abschnittweise in die Formel einsetzen: $= \frac{1}{T} \int\limits_{0}^{\tiny{\frac{\pi}{2}}} 0 dt + \int\limits_{\tiny{\frac{\pi}{2}}}^{\tiny{\frac{3\pi}{2}}} 1 dt + \int\limits_{\tiny{\frac{3\pi}{2}}}^{\tiny{2\pi}} 0 dt =$ Integrieren: $=\frac{1}{2\pi}(0+ \frac{1}{2\pi} (t\|\limits_{\tiny\frac{\pi}{2}}^{\tiny\frac{3\pi}{2}}) +0)=$ Integrationsgrenzen einsetzen: $=\frac{1}{2\pi}(\frac{3\pi}{2}-\frac{\pi}{2})= \frac{\pi}{2\pi}= \frac{1}{2}$

Bestimmen Sie den Fourierkoeffizienten $c_0$ der gegebenen periodischen Funktion. Nr. 3833
	1
	$\frac{1}{4}$
	$\pi$
	$2\pi$
Lösungsweg $T=2\pi$ Formel für $C_0$ : $C_0=\frac{1}{T} \int\limits_{\tiny{-\frac{T}{2}}}^{\tiny{\frac{T}{2}}} f(t) dt =\frac{2}{T} \int\limits_{0}^{\tiny{\frac{T}{2}}} f(t) dt$ Abschnittweise in die Formel einsetzen: $= \frac{2}{2\pi} \int\limits_{0}^{\tiny{\frac{\pi}{4}}} -3 dt + \int\limits_{\tiny{\frac{\pi}{4}}}^{\tiny{\frac{\pi}{2}}} 0 dt + \int\limits_{\tiny{\frac{\pi}{2}}}^{\pi} 2 dt =$ Integrieren: $=\frac{1}{\pi}(-3t\|\limits_{0}^{\tiny\frac{\pi}{4}}+0+2t\|\limits_{\tiny\frac{\pi}{2}}^{\pi})=$ Integrationsgrenzen einsetzen: $=\frac{1}{\pi}(0-\frac{3\pi}{4}+2\pi-\frac{2\pi}{2})= \frac{1}{\pi}(-\frac{3\pi}{4}+\pi)= \frac{1}{\pi} \cdot \frac{\pi}{4}= \frac{1}{4}$

Bestimmen Sie den Fourierkoeffizienten $a_k$ der gegebenen periodischen Funktion. Nr. 3834
	$-\frac{cos(\frac{k \omega 3 \pi}{2})}{k}-\frac{cos(\frac{k \omega \pi}{2})}{k \omega \pi}$
	$-\frac{cos(\frac{k \omega 3 \pi}{2})}{k\omega\pi}+\frac{sin(\frac{k \omega \pi}{2})}{k \omega }$
	0
	$\frac{sin(\frac{k \omega 3 \pi}{2})}{k\omega\pi}-\frac{sin(\frac{k \omega \pi}{2})}{k \omega \pi}$
Lösungsweg $T=2\pi$ Formel für $a_k$ : $a_k=\frac{2}{T} \int\limits_{0}^{T}} f(t) \cdot cos(k \omega t) dt$ Abschnittweise in die Formel einsetzen: $= \frac{2}{2\pi} \int\limits_{0}^{\tiny{\frac{\pi}{4}}} 0 \cdot cos(k \omega t)dt + \int\limits_{\tiny{\frac{\pi}{4}}}^{\tiny{\frac{3\pi}{2}}} 1 \cdot cos(k \omega t) dt$ $+ \int\limits_{\tiny{\frac{3\pi}{2}}}^{2\pi} 0 dt \cdot cos(k \omega t) =$ Integrieren: $=\frac{1}{\pi}(0+(sin(k \omega t)\cdot \frac{1}{k \omega}) \|\limits_{\tiny\frac{\pi}{2}}^{\tiny\frac{3\pi}{2}}+0)=$ Integrationsgrenzen einsetzen: $=\frac{1}{\pi}[sin(\frac{k \omega 3 \pi}{2}) \cdot \frac{1}{k\omega}-(sin(k \omega \pi) \cdot \frac{1}{k \omega} )]=$ $\frac{sin(\frac{k \omega 3 \pi}{2})}{k\omega\pi}-\frac{sin(\frac{k \omega \pi}{2})}{k \omega \pi}$

Bestimmen Sie den Fourierkoeffizienten $a_k$ der gegebenen periodischen Funktion. Nr. 3835
	$\frac{6sin(\frac{k \omega \pi}{4})}{k\omega\pi}$
	0
	$\frac{-6 \sin(\frac{k \omega \pi}{4})+4(\sin(k \omega \pi)-\sin(\frac{k \omega \pi}{2}))}{k \omega \pi}$
	$\frac{\pi}{4}$
Lösungsweg $T=2\pi$ Formel für $a_k$ : $a_k=\frac{2}{T} \int\limits_{\tiny{-\frac{T}{2}}}^{\tiny{\frac{T}{2}}} f(t) \cdot cos(k \omega t) dt =\frac{4}{T} \int\limits_{0}^{\tiny{\frac{T}{2}}} f(t)\cdot cos(k \omega t) dt$ Abschnittweise in die Formel einsetzen: $= \frac{4}{2\pi} \int\limits_{0}^{\tiny{\frac{\pi}{4}}} -3 \cdot cos(k \omega t)dt + \int\limits_{\tiny{\frac{\pi}{4}}}^{\tiny{\frac{3\pi}{2}}} 0\cdot cos(k \omega t) dt$ $+ \int\limits_{\tiny{\frac{\pi}{2}}}^{\pi} 2 \cdot cos(k \omega t)dt =$ Integrieren: $=\frac{2}{\pi}(-3 sin(k \omega t \cdot \frac{1}{k \omega})\|\limits_{0}^{\tiny\frac{\pi}{4}}+0+2(sin(k \omega t) \cdot \frac{1}{k \omega})\|\limits_{\tiny\frac{\pi}{2}}^{\pi})=$ Integrationsgrenzen einsetzen: $=\frac{-6 \sin(\frac{k \omega \pi}{4})+4(\sin(k \omega \pi)-\sin(\frac{k \omega \pi}{2}))}{k \omega \pi}$

Bestimmen Sie den Fourierkoeffizienten $b_k$ der gegebenen periodischen Funktion. Nr. 3836
	$\frac{4-2 \cos(-\frac{\pi k \omega}{2})- 2 \cos(\frac{\pi k \omega}{2}) } {\pi k\omega}$
	0
	$\frac{2}{k \omega \pi} - \frac {4 cos (\frac{k \omega \pi}{2})}{k \omega \pi}+ \frac {2 cos (k \omega \pi)}{k \omega \pi}$
	$- \frac{4}{k \omega \pi} + \frac {4 cos (-\frac{k \omega \pi}{4})}{k \omega \pi}+ 2 cos (\frac{k \omega \pi}{2})$
Lösungsweg $T=\pi$ Formel für $b_k$ : $b_k=\frac{2}{T} \int\limits_{\tiny{-\frac{T}{2}}}^{\tiny{\frac{T}{2}}} f(t) \cdot sin(k \omega t) dt$ Abschnittweise in die Formel einsetzen: $= \frac{2}{\pi} ( \int\limits_{\tiny{-\frac{\pi}{2}}}^{\tiny 0} -1 \cdot sin(k \omega t)dt + \int\limits_{0}^{\tiny{\frac{\pi}{2}}} 1 \cdot sin(k \omega t) dt ) =$ Integrieren: $=\frac{2}{\pi} (cos (k \omega t) \cdot \frac{1}{k \omega})\|\limits_{\tiny-\frac{\pi}{2}}^{\tiny 0}) + (- cos(k \omega t) \cdot \frac{1}{k \omega})\|\limits_{\tiny 0}^{\tiny\frac{\pi}{2}} =$ Integrationsgrenzen einsetzen: $\frac{2}{\pi} (\frac{1}{k \omega}-\frac{\cos(\frac{-\pi k \omega}{2})}{k \omega} + \frac{1}{k \omega}-\frac{\cos(\frac{\pi k \omega}{2})}{k \omega} )=$ $\frac{4-2 \cos(-\frac{\pi k \omega}{2})- 2 \cos(\frac{\pi k \omega}{2}) } {\pi k\omega}$

Bestimmen Sie den Fourierkoeffizienten $b_k$ der gegebenen periodischen Funktion. Nr. 3837
	$\frac{6sin(\frac{k \omega \pi}{4})}{k\omega\pi}- \frac{4sin(k \omega \pi)}{k \omega \pi}+ \frac{4sin(\frac{k \omega \pi}{2})}{k\omega\pi}$
	$\frac{8 \sin(\frac{k\omega}{4})-2k\omega \pi \cos(\frac{k \omega \pi}{2})}{(k \omega \pi)^2}$
	0
	$\frac{- sin(\frac{k \omega \pi}{4})}{k \omega^2} + \frac{ 4 \cdot sin(\frac{k \omega \pi}{4})}{(k \omega)^2 \cdot \pi}$
Lösungsweg $T=\pi$ Formel für $b_k$ : $b_k=\frac{2}{T} \int\limits_{\tiny{-\frac{T}{2}}}^{\tiny{\frac{T}{2}}} f(t) \cdot sin(k \omega t) dt$ Abschnittweise in die Formel einsetzen: $= \frac{2}{\pi}( \int\limits_{\tiny{\frac{-\pi}{2}}}^{\tiny{-\frac{\pi}{4}}} -1\cdot sin(k \omega t) dt$ $+ \int\limits_{-\tiny{\frac{\pi}{4}}}^{\tiny{\frac{\pi}{4}}}\frac{4}{\pi} t \cdot sin(k \omega t)dt + \int\limits_{\tiny{\frac{\pi}{4}}}^{\tiny{\frac{\pi}{2}}} 1\cdot sin(k \omega t) dt ) =$ Integrieren (siehe unten): $=\frac{2}{\pi} (cos(k \omega t) \cdot \frac{1}{k \omega} \|\limits_{-\tiny \frac{\pi}{2}}^{-\tiny\frac{\pi}{4}}$ $+\frac{4(\sin(k\omega t)-k\omega t \cos(k\omega t))}{\pi k^2\omega^2}\| \limits_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}}-$ $cos(k \omega t) \cdot \frac{1}{k \omega} \|\limits_{\tiny \frac{\pi}{4}}^{\tiny\frac{\pi}{2}})$ Integrationsgrenzen einsetzen: $=\frac{2}{\pi} [\frac{cos(-\frac{k \omega \pi}{4})}{k \omega} -\frac{cos(-\frac{k \omega \pi}{2})}{k \omega} +$ $\frac{8 \sin(\frac{\pi k \omega}{4})-2 \pi k \omega \cos(\frac{\pi k \omega}{4})}{\pi k^2\omega^2}$ $-\frac{cos(\frac{k \omega \pi}{2})}{k \omega} +\frac{cos(\frac{k \omega \pi}{4})}{k \omega}]=$ $\frac{2}{\pi} [\frac{8 \sin(\frac{k\omega}{4})-2k\omega \pi \cos(\frac{k \omega \pi}{4})}{k^2 \omega^2 \pi}]$ $=\frac{16 \sin(\frac{k\omega}{4})-4k\omega \pi \cos(\frac{k \omega \pi}{4})}{(k \omega \pi)^2}$ Für das Integrieren von $\int\limits_{-\tiny{\frac{\pi}{4}}}^{\tiny{\frac{\pi}{4}}} t \cdot sin(k \omega t)dt$ Formel für partielle Integration anwenden: $\int u' \cdot v dt = u \cdot v - \int u \cdot v'$ $-->$ $u = -cos (k \omega t) \frac{1}{k \omega} \\ u'= sin (k \omega t)$ $v =t \\[15in] v'=1$ Einsetzen: $- cos(k \omega t) \cdot \frac{1}{k \omega} \cdot t\|\limits_{-\frac{\tiny \pi}{4}}^{\frac{\tiny \pi}{4}}-$ $\int\limits_{-\frac{\tiny \pi}{4}}^{\tiny{\frac{\pi}{4}}} - cos(k \omega t) \cdot \frac{1}{k \omega} \cdot 1 dt$ nun das verbliebene Integral lösen: $\frac{- cos(k \omega t) \cdot t}{k \omega}\|\limits_{-\frac{\tiny \pi}{4}}^{\tiny \frac{\pi}{4}}+ \frac{sin(k \omega t)}{(k \omega)^2}\|\limits_{-\frac{\tiny \pi}{4}}^{\tiny\frac{\pi}{4}}$ zuerst zusammenfassen zu: $\frac{(\sin(k\omega t)-k\omega t \cos(k\omega t))}{ k^2\omega^2}\| \limits_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}}$

Bestimmen Sie das trigonometrische Polynom (Fourier-Polynom) $S_\infty f(t)$ der gegebenen periodischen Funktion. Nr. 3838
	$\frac{1}{2} -\frac{sin(\frac{k \omega 3 \pi}{2})}{k\omega\pi}+ \frac{sin(\frac{k \omega \pi}{2})}{k \omega \pi}$
	$\frac{1}{2} + \sum\limits_{k=1}^{\infty} \frac{sin(\frac{k \omega 3 \pi}{2})- sin(\frac{k \omega \pi}{2})}{k \omega \pi} \cdot cos (k \omega t)$
	$\frac{1}{2 \pi} + \sum\limits_{k=1}^{\infty} [-\frac{cos(\frac{k \omega \pi}{2})}{k\omega\pi}+ \frac{2sin(\frac{k \omega \pi}{2})}{k \omega \pi}] \cdot sin (k \omega t)$
	$\frac{1}{4 \pi} -\frac{2sin(\frac{k \omega 5 \pi}{2})}{k\omega\pi}+ \frac{cos(\frac{k \omega 3\pi}{2})}{k \omega \pi}$
Lösungsweg $S _\infty f(t)= c_0 + \sum\limits_{k=1}^{\infty} a_k \cdot cos (k \omega t) + \sum\limits_{k=1}^{\infty} b_k \cdot sin (k \omega t)$ Die Funktion ist gerade, daraus folgt $b_k = 0$ . $T=2 \pi$ Zuerst Berechnung der Koeffizienten (siehe unten), dann in die Formel für $S_\infty f(t)$ einsetzen: $c_0 = \frac{1}{2}$ $a_k=\frac{sin(\frac{k \omega 3 \pi}{2})- sin(\frac{k \omega \pi}{2})}{k \omega \pi}$ $S _\infty f(t)= c_0 + \sum\limits_{k=1}^{\infty} a_k \cdot cos (k \omega t) + \sum\limits_{k=1}^{\infty} b_k \cdot sin (k \omega t)$ $S _\infty f(t)= \frac{1}{2} + \sum\limits_{k=1}^{\infty} \frac{sin(\frac{k \omega 3 \pi}{2})- sin(\frac{k \omega \pi}{2})}{k \omega \pi} \cdot cos (k \omega t)$ $+ \sum\limits_{k=1}^{\infty} 0 \cdot sin (k \omega t)$ $S _\infty f(t)= \frac{1}{2} + \sum\limits_{k=1}^{\infty} \frac{sin(\frac{k \omega 3 \pi}{2})- sin(\frac{k \omega \pi}{2})}{k \omega \pi} \cdot cos (k \omega t)$ Berechnung von $c_0$ : $c_0=\frac{1}{T} \int\limits_{0}^{T} f(t) dt$ Abschnittweise in die Formel einsetzen: $= \frac{1}{T} \int\limits_{0}^{\tiny{\frac{\pi}{2}}} 0 dt + \int\limits_{\tiny{\frac{\pi}{2}}}^{\tiny{\frac{3\pi}{2}}} 1 dt + \int\limits_{\tiny{\frac{3\pi}{2}}}^{\tiny{2\pi}} 0 dt =$ Integrieren: $=\frac{1}{2\pi}(0+ \frac{1}{2\pi} (t\|\limits_{\tiny\frac{\pi}{2}}^{\tiny\frac{3\pi}{2}}) +0)=$ Integrationsgrenzen einsetzen: $=\frac{1}{2\pi}(\frac{3\pi}{2}-\frac{\pi}{2})= \frac{\pi}{2\pi}= \frac{1}{2}$ Berechnung von $a_k$ : $a_k=\frac{2}{T} \int\limits_{0}^{T}} f(t) \cdot cos(k \omega t) dt$ Abschnittweise in die Formel einsetzen: $= \frac{2}{2\pi} \int\limits_{0}^{\tiny{\frac{\pi}{4}}} 0 \cdot cos(k \omega t)dt + \int\limits_{\tiny{\frac{\pi}{4}}}^{\tiny{\frac{3\pi}{2}}} 1 \cdot cos(k \omega t) dt$ $+ \int\limits_{\tiny{\frac{\pi}{2}}}^{\pi} 0 dt \cdot cos(k \omega t) =$ Integrieren: $=\frac{1}{\pi}(0+(sin(k \omega t)\cdot \frac{1}{k \omega}) \|\limits_{\tiny\frac{\pi}{2}}^{\tiny\frac{3\pi}{2}}+0)=$ Integrationsgrenzen einsetzen: $=\frac{1}{\pi}[sin(\frac{k \omega 3 \pi}{2}) \cdot \frac{1}{k\omega}-(sin(k \omega \pi) \cdot \frac{1}{k \omega} )]=$ $\frac{sin(\frac{k \omega 3 \pi}{2})}{k\omega\pi}-\frac{sin(\frac{k \omega \pi}{2})}{k \omega \pi}$

Bestimmen Sie das trigonometrische Polynom (Fourier-Polynom) $S_\infty f(t)$ der gegebenen periodischen Funktion. Nr. 3839
	$\frac{1}{4} + \sum\limits_{k=1}^{\infty}$ $\frac{2}{\pi k \omega}[-3 \sin(\frac{k \omega \pi}{4})+ 2(\sin(k \omega \pi) - \sin(\frac{k \omega \pi}{2}))] \cdot cos(k \omega t)$
	$\frac{1}{4} + \sum\limits_{k=1}^{\infty}$ $[\frac{6sin(\frac{k \omega \pi}{2})}{k\omega\pi}- \frac{cos(\frac{k \omega \pi}{2})}{k\omega\pi}] \cdot sin(k \omega t)$
	$\frac{1}{4 \pi} +$ $[\frac{sin(\frac{k \omega \pi}{2})}{k\omega\pi}- \frac{4cos(\frac{3 k \omega \pi}{2})}{k\omega\pi}] \cdot sin(k \omega t)$
	$\frac{1}{4} +$ $[\frac{cos(\frac{k \omega \pi}{4})}{k\omega\pi}- \frac{2sin(3 k \omega \pi)}{k \omega \pi}+ \frac{sin(\frac{5 k \omega \pi}{2})}{k\omega\pi}] \cdot cos(k \omega t)$
Lösungsweg $S _\infty f(t)= c_0 + \sum\limits_{k=1}^{\infty} a_k \cdot cos (k \omega t) + \sum\limits_{k=1}^{\infty} b_k \cdot sin (k \omega t)$ Die Funktion ist gerade, daraus folgt $b_k = 0$ . $T=2 \pi$ Zuerst Berechnung der Koeffizienten (siehe unten), dann in die Formel für $S_\infty f(t)$ einsetzen: $c_0 = \frac{1}{4}$ $a_k=\frac{2}{\pi k \omega}[-3 \sin(\frac{k \omega \pi}{4})+ 2(\sin(k \omega \pi) - \sin(\frac{k \omega \pi}{2}))]$ $S _\infty f(t)= c_0 + \sum\limits_{k=1}^{\infty} a_k \cdot cos (k \omega t) + \sum\limits_{k=1}^{\infty} b_k \cdot sin (k \omega t)$ $S _\infty f(t)= \frac{1}{4} + \sum\limits_{k=1}^{\infty}$ $\frac{2}{\pi k \omega}[-3 \sin(\frac{k \omega \pi}{4})+ 2(\sin(k \omega \pi) - \sin(\frac{k \omega \pi}{2}))] \cdot cos(k \omega t)$ $+ \sum\limits_{k=1}^{\infty} 0 \cdot sin (k \omega t)$ $S _\infty f(t)= \frac{1}{4} + \sum\limits_{k=1}^{\infty}$ $\frac{2}{\pi k \omega}[-3 \sin(\frac{k \omega \pi}{4})+ 2(\sin(k \omega \pi) - \sin(\frac{k \omega \pi}{2}))] \cdot cos(k \omega t)$ Berechnung von $c_0$ : $c_0=\frac{1}{T} \int\limits_{\tiny{-\frac{T}{2}}}^{\tiny{\frac{T}{2}}} f(t) dt =\frac{2}{T} \int\limits_{0}^{\tiny{\frac{T}{2}}} f(t) dt$ Abschnittweise in die Formel einsetzen: $= \frac{2}{2\pi} \int\limits_{0}^{\tiny{\frac{\pi}{4}}} -3 dt + \int\limits_{\tiny{\frac{\pi}{2}}}^{\pi} 2 dt =$ Integrieren: $=\frac{1}{\pi}(-3t\|\limits_{0}^{\tiny\frac{\pi}{4}}+0+2t\|\limits_{\tiny\frac{\pi}{2}}^{\pi})=$ Integrationsgrenzen einsetzen: $=\frac{1}{\pi}(0-\frac{3\pi}{4}+2\pi-\frac{2\pi}{2})= \frac{1}{\pi}(-\frac{3\pi}{4}+\pi)= \frac{1}{\pi} \cdot \frac{\pi}{4}= \frac{1}{4}$ Berechnung von $a_k$ : $a_k=\frac{2}{T} \int\limits_{\tiny{-\frac{T}{2}}}^{\tiny{\frac{T}{2}}} f(t) \cdot cos(k \omega t) dt =\frac{4}{T} \int\limits_{0}^{\tiny{\frac{T}{2}}} f(t)\cdot cos(k \omega t) dt$ Abschnittweise in die Formel einsetzen: $= \frac{4}{2\pi} \int\limits_{0}^{\tiny{\frac{\pi}{4}}} -3 \cdot cos(k \omega t)dt + \int\limits_{\tiny{\frac{\pi}{4}}}^{\tiny{\frac{3\pi}{2}}} 0\cdot cos(k \omega t) dt$ $+ \int\limits_{\tiny{\frac{\pi}{2}}}^{\pi} 2 \cdot cos(k \omega t)dt =$ Integrieren: $=\frac{2}{\pi}(-3(- sin(k \omega t) \cdot \frac{1}{k \omega})\|\limits_{0}^{\tiny\frac{\pi}{4}}+0+2(- sin(k \omega t) \cdot \frac{1}{k \omega})\|\limits_{\tiny\frac{\pi}{2}}^{\pi})=$ Integrationsgrenzen einsetzen: $=\frac{2}{\pi}[0-3(sin(\frac{k \omega \pi}{4}) \cdot \frac{1}{k \omega})+ 2(sin(k \omega \pi) \cdot \frac{1}{k \omega})- 2(sin(\frac{k \omega \pi}{2}) \cdot \frac{1}{k \omega})]=$ $=\frac{2}{\pi k \omega}[-3 \sin(\frac{k \omega \pi}{4})+ 2(\sin(k \omega \pi) - \sin(\frac{k \omega \pi}{2}))]$

Bestimmen Sie das trigonometrische Polynom (Fourier-Polynom) $S_\infty f(t)$ der gegebenen periodischen Funktion. Nr. 3840
	$- \frac{4}{k \omega \pi} + \frac {3 sin (-\frac{3 k \omega \pi}{2})}{k \omega \pi}+ \frac {2 cos (\frac{k \omega \pi}{2})}{2k \omega \pi}$
	$\sum\limits_{k=1}^{\infty} [ \frac {3 sin (-\frac{3 k \omega \pi}{2})}{k \omega \pi}+ \frac {2 cos (\frac{k \omega \pi}{2})}{2k \omega \pi}] \cdot cos (k \omega t)$
	$\sum\limits_{k=1}^{\infty} [ - \frac{4}{k \omega \pi} + \frac {3 sin (-\frac{3 k \omega \pi}{2})}{k \omega \pi}+ \frac {2 cos (\frac{k \omega \pi}{2})}{2k \omega \pi}] \cdot cos (k \omega t)$
	$\sum\limits_{k=1}^{\infty} [ \frac{2 - 4 cos (\frac{k \omega \pi}{2}) + 2 cos (k \omega \pi)}{k \omega \pi}] \cdot sin (k \omega t)$
Lösungsweg $S _\infty f(t)= c_0 + \sum\limits_{k=1}^{\infty} a_k \cdot cos (k \omega t) + \sum\limits_{k=1}^{\infty} b_k \cdot sin (k \omega t)$ Die Funktion ist gerade, daraus folgt $c_0=0$ und $a_k = 0$ . $T= \pi$ Zuerst Berechnung der Koeffizienten (siehe unten), dann in die Formel für $S_\infty f(t)$ einsetzen: $b_k= \frac {2 - 4 cos (\frac{k \omega \pi}{2})+ 2 cos (k \omega \pi)}{k \omega \pi}$ $S _\infty f(t)= c_0 + \sum\limits_{k=1}^{\infty} a_k \cdot cos (k \omega t) + \sum\limits_{k=1}^{\infty} b_k \cdot sin (k \omega t)$ $S _\infty f(t)= 0+ \sum\limits_{k=1}^{\infty} 0 \cdot cos(k \omega t)$ $+ \sum\limits_{k=1}^{\infty} [ \frac{2}{k \omega \pi} - \frac {4 cos (\frac{k \omega \pi}{2})}{k \omega \pi}+ \frac {2 cos (k \omega \pi)}{k \omega \pi}] \cdot sin (k \omega t)$ $S _\infty f(t)=$ $\sum\limits_{k=1}^{\infty} [ \frac{2}{k \omega \pi} - \frac {4 cos (\frac{k \omega \pi}{2})}{k \omega \pi}+ \frac {2 cos (k \omega \pi)}{k \omega \pi}] \cdot sin (k \omega t)$ Formel für $b_k$ : $b_k=\frac{2}{T} \int\limits_{\tiny{-\frac{T}{2}}}^{\tiny{\frac{T}{2}}} f(t) \cdot sin(k \omega t) dt$ Abschnittweise in die Formel einsetzen: $= \frac{2}{\pi} \int\limits_{0}^{\tiny{\frac{\pi}{2}}} 1 \cdot sin(k \omega t) dt + \int\limits_{\tiny{- \frac{\pi}{2}}}^{\tiny \pi} -1 \cdot sin(k \omega t)dt =$ Integrieren: $=\frac{2}{\pi} (cos (k \omega t) \cdot \frac{1}{k \omega})\|\limits_{0}^{\tiny\frac{\pi}{2}}) + (-1(- cos(k \omega t) \cdot \frac{1}{k \omega})\|\limits_{\tiny\frac{\pi}{2}}^{\pi} =$ Integrationsgrenzen einsetzen: $\frac{2}{\pi}$ $[-cos (\frac{k \omega \pi}{2}) \cdot \frac{1}{k \omega})+ \frac{1}{k \omega} + cos ({k \omega \pi) \cdot \frac{1}{k \omega} -cos (\frac{k \omega \pi}{2}) \cdot \frac{1}{k \omega}) ]=$ $\frac{2}{\pi}[ \frac{1}{k \omega} - 2cos (\frac{k \omega \pi}{2}) \cdot \frac{1}{k \omega}+ cos (k \omega \pi) \cdot \frac{1}{k \omega})]=$ $\frac{2}{k \omega \pi} - \frac {4 cos (\frac{k \omega \pi}{2})}{k \omega \pi}+ \frac {2 cos (k \omega \pi)}{k \omega \pi}$

Bestimmen Sie das trigonometrische Polynom (Fourier-Polynom) $S_\infty f(t)$ der gegebenen periodischen Funktion. Nr. 3841
	$\frac{- 3cos(\frac{k \omega 3\pi}{4})}{k \omega} + \frac{ sin(\frac{k \omega \pi}{2})}{(k \omega)^2 \cdot 2\pi}$
	$\sum\limits_{k=1}^{\infty} [ \frac{- cos(\frac{k \omega \pi}{4})}{k \omega} + \frac{ 4 \cdot sin(\frac{k \omega \pi}{4})}{(k \omega)^2 \cdot \pi}]$
	$\sum\limits_{k=1}^{\infty} \frac{16 \sin(\frac{k\omega}{4})-4k\omega \pi \cos(\frac{k \omega \pi}{4})}{(k \omega \pi)^2} \cdot \sin(k\omega t)$
	$[\frac{- 3cos(\frac{k \omega 3\pi}{4})}{k \omega} + \frac{ sin(\frac{k \omega \pi}{2})}{(k \omega)^2 \cdot 2\pi}] \cdot 2 \pi$
Lösungsweg $S _\infty f(t)= c_0 + \sum\limits_{k=1}^{\infty} a_k \cdot cos (k \omega t) + \sum\limits_{k=1}^{\infty} b_k \cdot sin (k \omega t)$ Die Funktion ist gerade, daraus folgt $c_0=0$ und $a_k = 0$ . $T= \pi$ Zuerst Berechnung der Koeffizienten (siehe unten), dann in die Formel für $S_\infty f(t)$ einsetzen: $b_k=\frac{8 \sin(\frac{k\omega}{4})-2k\omega \pi \cos(\frac{k \omega \pi}{2})}{(k \omega \pi)^2}$ $S _\infty f(t)= c_0 + \sum\limits_{k=1}^{\infty} a_k \cdot cos (k \omega t) + \sum\limits_{k=1}^{\infty} b_k \cdot sin (k \omega t)$ $S _\infty f(t)= 0+ \sum\limits_{k=1}^{\infty} 0 \cdot cos(k \omega t)$ $+\sum\limits_{k=1}^{\infty} \frac{16 \sin(\frac{k\omega}{4})-4k\omega \pi \cos(\frac{k \omega \pi}{4})}{(k \omega \pi)^2} \cdot \sin(k\omega t)$ $S _\infty f(t)=$ $\sum\limits_{k=1}^{\infty} \frac{16 \sin(\frac{k\omega}{4})-4k\omega \pi \cos(\frac{k \omega \pi}{4})}{(k \omega \pi)^2} \cdot \sin(k\omega t)$ Berechnung von $b_k$ : $b_k=\frac{2}{T} \int\limits_{\tiny{-\frac{T}{2}}}^{\tiny{\frac{T}{2}}} f(t) \cdot sin(k \omega t) dt$ Abschnittweise in die Formel einsetzen: $= \frac{2}{\pi}( \int\limits_{\tiny{\frac{-\pi}{2}}}^{\tiny{-\frac{\pi}{4}}} -1\cdot sin(k \omega t) dt$ $+ \int\limits_{-\tiny{\frac{\pi}{4}}}^{\tiny{\frac{\pi}{4}}}\frac{4}{\pi} t \cdot sin(k \omega t)dt + \int\limits_{\tiny{\frac{\pi}{4}}}^{\tiny{\frac{\pi}{2}}} 1\cdot sin(k \omega t) dt ) =$ Integrieren (siehe unten): $=\frac{2}{\pi} (cos(k \omega t) \cdot \frac{1}{k \omega} \|\limits_{-\tiny \frac{\pi}{2}}^{-\tiny\frac{\pi}{4}}$ $+\frac{4(\sin(k\omega t)-k\omega t \cos(k\omega t))}{\pi k^2\omega^2}\| \limits_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}}-$ $cos(k \omega t) \cdot \frac{1}{k \omega} \|\limits_{\tiny \frac{\pi}{4}}^{\tiny\frac{\pi}{2}})$ $=\frac{2}{\pi} [\frac{cos(-\frac{k \omega \pi}{4})}{k \omega} -\frac{cos(-\frac{k \omega \pi}{2})}{k \omega} +$ $\frac{8 \sin(\frac{\pi k \omega}{4})-2 \pi k \omega \cos(\frac{\pi k \omega}{4})}{\pi k^2\omega^2}$ $-\frac{cos(\frac{k \omega \pi}{2})}{k \omega} +\frac{cos(\frac{k \omega \pi}{4})}{k \omega}]=$ $\frac{2}{\pi} [\frac{8 \sin(\frac{k\omega}{4})-2k\omega \pi \cos(\frac{k \omega \pi}{4})}{k^2 \omega^2 \pi}]$ $=\frac{16 \sin(\frac{k\omega}{4})-4k\omega \pi \cos(\frac{k \omega \pi}{4})}{(k \omega \pi)^2}$ Für das Integrieren von $\int\limits_{0}^{\tiny{\frac{\pi}{4}}} t \cdot sin(k \omega t)dt$ Formel für partielle Integration anwenden: $\int u' \cdot v dt = u \cdot v - \int u \cdot v'$ $-->$ $u = -cos (k \omega t) \frac{1}{k \omega} \\ u'= sin (k \omega t)$ $v =t \\[15in] v'=1$ Einsetzen: $- cos(k \omega t) \cdot \frac{1}{k \omega} \cdot t\|\limits_{\tiny 0}^{\frac{\tiny \pi}{4}}- \int\limits_{0}^{\tiny{\frac{\pi}{4}}} - cos(k \omega t) \cdot \frac{1}{k \omega} \cdot 1 dt$ nun das verbliebene Integral lösen: $\frac{- cos(k \omega t) \cdot t}{k \omega}\|\limits_{\tiny 0}^{\tiny \frac{\pi}{4}}+ \frac{sin(k \omega t)}{(k \omega)^2}\|\limits_{\tiny 0}^{\tiny\frac{\pi}{4}}$ $\frac{- cos(k \omega t) \cdot t}{k \omega}\|\limits_{\tiny 0}^{\frac{\tiny \pi}{4}}+ \frac{sin(k \omega t)}{(k \omega)^2}\|\limits_{\tiny 0}^{\tiny\frac{\pi}{4}}$

Bestimmen Sie das trigonometrische Polynom (Fourier-Polynom) $S_\infty f(t)$ der gegebenen periodischen Funktion. Nr. 3843
	$[\frac{ sin(\frac{k \omega \pi}{2})}{k \omega} +\frac{2}{\pi} \cdot \frac{cos(\frac{k \omega \pi}{2})}{(k \omega)^2 } ] \cdot cos(k \omega t)$
	$\frac{\pi}{8}+ \sum\limits_{k=1}^{\infty} [\frac{ sin(\frac{k \omega \pi}{2})}{k \omega} + \frac{2 cos(\frac{k \omega \pi}{2})-2}{\pi (k \omega)^2 } ] \cdot cos(k \omega t)$ $+ \sum\limits_{k=1}^{\infty} [ -\frac{ cos(\frac{k \omega \pi}{2})}{k \omega} +\frac{2}{\pi} \cdot \frac{sin(\frac{k \omega \pi}{2})}{(k \omega)^2 } ] \cdot sin (k \omega t)$
	$\frac {\pi}{8} + \sum\limits_{k=1}^{\infty} [ -\frac{ cos(\frac{k \omega \pi}{2})}{k \omega} +\frac{2}{\pi} \cdot \frac{sin(\frac{k \omega \pi}{2})}{(k \omega)^2 } ] \cdot sin (k \omega t)$
	0
Lösungsweg $S _\infty f(t)= c_0 + \sum\limits_{k=1}^{\infty} a_k \cdot cos (k \omega t) + \sum\limits_{k=1}^{\infty} b_k \cdot sin (k \omega t)$ $T= \pi$ Zuerst Berechnung der Koeffizienten (siehe unten), dann in die Formel für $S_\infty f(t)$ einsetzen: $c_0= \frac{\pi}{8}$ $a_k=\frac{ sin(\frac{k \omega \pi}{2})}{k \omega} + \frac{2 cos(\frac{k \omega \pi}{2})-2}{\pi (k \omega)^2 }$ $b_k = -\frac{ cos(\frac{k \omega \pi}{2})}{k \omega} +\frac{2}{\pi} \cdot \frac{sin(\frac{k \omega \pi}{2})}{(k \omega)^2 }$ $S _\infty f(t)= c_0 + \sum\limits_{k=1}^{\infty} a_k \cdot cos (k \omega t) + \sum\limits_{k=1}^{\infty} b_k \cdot sin (k \omega t)$ $S _\infty f(t)=$ $\frac{\pi}{8}+ \sum\limits_{k=1}^{\infty} [\frac{ sin(\frac{k \omega \pi}{2})}{k \omega} + \frac{2 cos(\frac{k \omega \pi}{2})-2}{\pi (k \omega)^2 } ] \cdot cos(k \omega t)$ $+ \sum\limits_{k=1}^{\infty} [ -\frac{ cos(\frac{k \omega \pi}{2})}{k \omega} +\frac{2}{\pi} \cdot \frac{sin(\frac{k \omega \pi}{2})}{(k \omega)^2 } ] \cdot sin (k \omega t)$ Berechnung von $c_0$ : $c_0=\frac{1}{T} \int\limits_{\tiny{-\frac{T}{2}}}^{\tiny{\frac{T}{2}}} f(t) dt =$ Abschnittweise in die Formel einsetzen: $= \frac{1}{\pi} \int\limits_{0}^{\tiny{\frac{\pi}{2}}} t \cdot dt + \int\limits_{\tiny{\frac{\pi}{2}}}^{\pi} 0 \cdot dt =$ Integrieren: $=\frac{1}{\pi}(\frac{t^2}{2}\|\limits_{0}^{\tiny\frac{\pi}{2}}+0)=$ Integrationsgrenzen einsetzen: $=\frac{1}{\pi}(\frac{(\frac{\pi}{2})^2}{2}-0)= \frac{1}{\pi}(-\frac{\pi^2}{8})= \frac{\pi}{8}$ Berechnung von $a_k$ : $a_k=\frac{2}{T} \int\limits_{\tiny{-\frac{T}{2}}}^{\tiny{\frac{T}{2}}} f(t) \cdot cos(k \omega t) dt=$ Abschnittweise in die Formel einsetzen: $= \frac{2}{\pi} \int\limits_{0}^{\tiny{\frac{\pi}{2}}} t \cdot cos(k \omega t)dt + \int\limits_{\tiny{\frac{\pi}{2}}}^{\pi} 0 \cdot cos(k \omega t) dt =$ Integrieren (siehe unten): $=\frac{2}{\pi} [sin(k \omega t) \cdot \frac{1}{k \omega} \cdot t\|\limits_{0}^{\tiny \frac{\pi}{2}}- \int\limits_{0}^{\tiny{\frac{\pi}{2}}} sin(k \omega t) \cdot \frac{1}{k \omega}dt]=$ $=\frac{2}{\pi} [\frac{sin (k \omega t) \cdot t}{k \omega}\|\limits_{\tiny 0}^{\tiny \frac{\pi}{2}}+$ $\frac{cos(k \omega t)}{(k \omega)^2}\|\limits_{\tiny 0}^{\tiny\frac{\pi}{2}}]=$ Integrationsgrenzen einsetzen: $=\frac{2}{\pi} [(\frac{\pi}{2}\cdot\frac{ sin(\frac{k \omega \pi}{2})}{k \omega} - 0) +( \frac{ cos(\frac{k \omega \pi}{2})}{(k \omega)^2} -\frac 1 {(k \omega)^2})]=$ $=\frac{ sin(\frac{k \omega \pi}{2})}{k \omega} + \frac{2 cos(\frac{k \omega \pi}{2})-2}{\pi (k \omega)^2 }$ _______________________________ Für das Integrieren von $\int\limits_{0}^{\tiny{\frac{\pi}{2}}} t \cdot cos(k \omega t)dt$ Formel für partielle Integration anwenden: $\int u' \cdot v dt = u \cdot v - \int u \cdot v'$ $-->$ $u = sin (k \omega t) \frac{1}{k \omega} \\ u'= cos (k \omega t)$ $v =t \\[15in] v'=1$ Einsetzen: $sin(k \omega t) \cdot \frac{1}{k \omega} \cdot t\|\limits_{\tiny 0}^{\frac{\tiny \pi}{2}}- \int\limits_{0}^{\tiny{\frac{\pi}{2}}} sin(k \omega t) \cdot \frac{1}{k \omega} \cdot 1 dt$ Berechnung von $b_k$ : $b_k=\frac{2}{T} \int\limits_{\tiny{-\frac{T}{2}}}^{\tiny{\frac{T}{2}}} f(t) \cdot sin(k \omega t) dt=$ Abschnittweise in die Formel einsetzen: $= \frac{2}{\pi} \int\limits_{0}^{\tiny{\frac{\pi}{2}}} t \cdot sin(k \omega t)dt + \int\limits_{\tiny{\frac{\pi}{2}}}^{\pi} 0 \cdot sin(k \omega t) dt =$ Integrieren (siehe unten): $=\frac{2}{\pi} [- cos(k \omega t) \cdot \frac{1}{k \omega} \cdot t\|\limits_{0}^{\tiny \frac{\pi}{2}}-$ $\int\limits_{0}^{\tiny{\frac{\pi}{2}}} - cos(k \omega t) \cdot \frac{1}{k \omega}dt]=$ $=\frac{2}{\pi} [\frac{- cos(k \omega t) \cdot t}{k \omega}\|\limits_{\tiny 0}^{\tiny \frac{\pi}{2}}+$ $\frac{sin(k \omega t)}{(k \omega)^2}\|\limits_{\tiny 0}^{\tiny\frac{\pi}{2}}]=$ Integrationsgrenzen einsetzen: $=\frac{2}{\pi} [(-\frac{\pi}{2}\cdot\frac{ cos(\frac{k \omega \pi}{2})}{k \omega} - 0) +( \frac{ sin(\frac{k \omega \pi}{2})}{(k \omega)^2} -0)]=$ $=-\frac{ cos(\frac{k \omega \pi}{2})}{k \omega} +\frac{2}{\pi} \cdot \frac{sin(\frac{k \omega \pi}{2})}{(k \omega)^2 }$ _______________________________ Für das Integrieren von $\int\limits_{0}^{\tiny{\frac{\pi}{2}}} t \cdot sin(k \omega t)dt$ Formel für partielle Integration anwenden: $\int u' \cdot v dt = u \cdot v - \int u \cdot v'$ $-->$ $u = -cos (k \omega t) \frac{1}{k \omega} \\ u'= sin (k \omega t)$ $v =t \\[15in] v'=1$ Einsetzen: $- cos(k \omega t) \cdot \frac{1}{k \omega} \cdot t\|\limits_{\tiny 0}^{\frac{\tiny \pi}{2}}- \int\limits_{0}^{\tiny{\frac{\pi}{2}}} - cos(k \omega t) \cdot \frac{1}{k \omega} \cdot 1 dt$

Bestimmen Sie das trigonometrische Polynom (Fourier-Polynom) $S _\infty f(t)$ anhand der gegebenen Fourierkoeffizienten: $c_0 = 0$ $a_k=0$ $b_k= - \frac{8cos \frac{k \omega \pi}{2}}{k \omega \pi} + \frac{8cos \frac{k \omega \pi}{4}}{k \omega \pi}$ Nr. 3844
	$- \frac{8cos \frac{k \omega \pi}{2}}{k \omega \pi} + \frac{8cos \frac{k \omega \pi}{4}}{k \omega \pi}$
	0
	$\sum\limits_{k=1}^{\infty} ( - \frac{8cos \frac{k \omega \pi}{2}}{k \omega \pi} + \frac{8cos \frac{k \omega \pi}{4}}{k \omega \pi} ) \cdot sin (k \omega t)$
	$(- \frac{8cos \frac{k \omega \pi}{2}}{k \omega \pi} + \frac{8cos \frac{k \omega \pi}{4}}{k \omega \pi}) \cdot sin(k \omega \pi)$
Lösungsweg $S _\infty f(t)= c_0 + \sum\limits_{k=1}^{\infty} a_k \cdot cos (k \omega t) + \sum\limits_{k=1}^{\infty} b_k \cdot sin (k \omega t)$ $S _\infty f(t)= 0 + \sum\limits_{k=1}^{\infty} 0 \cdot cos (k \omega t)$ $+ \sum\limits_{k=1}^{\infty} ( - \frac{8cos \frac{k \omega \pi}{2}}{k \omega \pi} + \frac{8cos \frac{k \omega \pi}{4}}{k \omega \pi} ) \cdot sin (k \omega t)$ $S _\infty f(t)= \sum\limits_{k=1}^{\infty} ( - \frac{8cos \frac{k \omega \pi}{2}}{k \omega \pi} + \frac{8cos \frac{k \omega \pi}{4}}{k \omega \pi} ) \cdot sin (k \omega t)$

Bestimmen Sie das trigonometrische Polynom (Fourier-Polynom) $S _\infty f(t)$ anhand der gegebenen Fourierkoeffizienten: $c_0 = 0$ $a_k=0$ $b_k= \frac{2 sin \frac{k \omega \pi}{2}}{(k \omega)^2 \pi} - \frac{cos \frac{3k \omega \pi}{4}}{k \omega}$ Nr. 3845
	$\sum\limits_{k=1}^{\infty} ( \frac{2 sin \frac{k \omega \pi}{2}}{(k \omega)^2 \pi} - \frac{cos \frac{3k \omega \pi}{4}}{k \omega} ) \cdot sin (k \omega t)$
	$\frac{2 sin \frac{k \omega \pi}{2}}{(k \omega)^2 \pi} - \frac{cos \frac{3k \omega \pi}{4}}{k \omega}$
	0
	$\sum\limits_{k=1}^{\infty} ( \frac{2 sin \frac{k \omega \pi}{2}}{(k \omega)^2 \pi} - \frac{cos \frac{3k \omega \pi}{4}}{k \omega} ) \cdot cos (k \omega t)$
Lösungsweg $S _\infty f(t)= c_0 + \sum\limits_{k=1}^{\infty} a_k \cdot cos (k \omega t) + \sum\limits_{k=1}^{\infty} b_k \cdot sin (k \omega t)$ $S _\infty f(t)= 0 + \sum\limits_{k=1}^{\infty} 0 \cdot cos (k \omega t)$ $+ \sum\limits_{k=1}^{\infty} ( \frac{2 sin \frac{k \omega \pi}{2}}{(k \omega)^2 \pi} - \frac{cos \frac{3k \omega \pi}{4}}{k \omega} ) \cdot sin (k \omega t)$ $S _\infty f(t)= \sum\limits_{k=1}^{\infty} ( \frac{2 sin \frac{k \omega \pi}{2}}{(k \omega)^2 \pi} - \frac{cos \frac{3k \omega \pi}{4}}{k \omega} ) \cdot sin (k \omega t)$

Bestimmen Sie das trigonometrische Polynom (Fourier-Polynom) $S _\infty f(t)$ anhand der gegebenen Fourierkoeffizienten: $c_0 = 0$ $a_k=0$ $b_k= \frac{6 cos \frac{k \omega \pi}{2}}{k \omega \pi} - \frac{6 cos (k \omega \pi)}{k \omega \pi}$ Nr. 3846
	$\frac{6 cos \frac{k \omega \pi}{2}}{k \omega \pi} - \frac{6 cos (k \omega \pi)}{k \omega \pi}$
	$( \frac{6 cos \frac{k \omega \pi}{2}}{k \omega \pi} - \frac{6 cos (k \omega \pi)}{k \omega \pi} ) \cdot cos (k \omega t)$
	$\sum\limits_{k=1}^{\infty} ( \frac{6 cos \frac{k \omega \pi}{2}}{k \omega \pi} - \frac{6 cos (k \omega \pi)}{k \omega \pi} ) \cdot sin (k \omega t)$
	0
Lösungsweg $S _\infty f(t)= c_0 + \sum\limits_{k=1}^{\infty} a_k \cdot cos (k \omega t) + \sum\limits_{k=1}^{\infty} b_k \cdot sin (k \omega t)$ $S _\infty f(t)= 0 + \sum\limits_{k=1}^{\infty} 0 \cdot cos (k \omega t)$ $+ \sum\limits_{k=1}^{\infty} ( \frac{6 cos \frac{k \omega \pi}{2}}{k \omega \pi} - \frac{6 cos (k \omega \pi)}{k \omega \pi} ) \cdot sin (k \omega t)$ $S _\infty f(t)= \sum\limits_{k=1}^{\infty} ( \frac{6 cos \frac{k \omega \pi}{2}}{k \omega \pi} - \frac{6 cos (k \omega \pi)}{k \omega \pi} ) \cdot sin (k \omega t)$

Bestimmen Sie das trigonometrische Polynom (Fourier-Polynom) $S _\infty f(t)$ anhand der gegebenen Fourierkoeffizienten: $c_0 = \frac{\pi}{4}$ $a_k= \frac{2 cos \frac{k \omega \pi}{2}}{(k \omega)^2 \pi} + \frac{sin (\frac{3 k \omega \pi}{4})}{k \omega }$ $b_k= 0$ Nr. 3847
	$\frac{\pi}{4} + \frac{2 cos \frac{k \omega \pi}{2}}{(k \omega)^2 \pi} + \frac{sin (\frac{3 k \omega \pi}{4})}{k \omega }$
	$(\frac{2 cos \frac{k \omega \pi}{2}}{(k \omega)^2 \pi} + \frac{sin (\frac{3 k \omega \pi}{4})}{k \omega } ) \cdot sin (k \omega t)$
	0
	$\frac{\pi}{4} + \sum\limits_{k=1}^{\infty} (\frac{2 cos \frac{k \omega \pi}{2}}{(k \omega)^2 \pi} + \frac{sin (\frac{3 k \omega \pi}{4})}{k \omega } ) \cdot cos (k \omega t)$
Lösungsweg $S _\infty f(t)= c_0 + \sum\limits_{k=1}^{\infty} a_k \cdot cos (k \omega t) + \sum\limits_{k=1}^{\infty} b_k \cdot sin (k \omega t)$ $S _\infty f(t)= \frac{\pi}{4} + \sum\limits_{k=1}^{\infty} (\frac{2 cos \frac{k \omega \pi}{2}}{(k \omega)^2 \pi} + \frac{sin (\frac{3 k \omega \pi}{4})}{k \omega } ) \cdot cos (k \omega t)$ $+ \sum\limits_{k=1}^{\infty} 0 \cdot sin (k \omega t)$ $S _\infty f(t)= \frac{\pi}{4} + \sum\limits_{k=1}^{\infty} (\frac{2 cos \frac{k \omega \pi}{2}}{(k \omega)^2 \pi} + \frac{sin (\frac{3 k \omega \pi}{4})}{k \omega } ) \cdot cos (k \omega t)$

Bestimmen Sie das trigonometrische Polynom (Fourier-Polynom) $S _\infty f(t)$ anhand der gegebenen Fourierkoeffizienten: $c_0 = \frac{\pi}{2}$ $a_k= -\frac{8 cos (k \omega \pi)}{k \omega \pi} - \frac{10 cos (\frac{9 k \omega \pi}{10})}{k \omega \pi } +\frac{18}{k \omega \pi}$ $b_k= 0$ Nr. 3848
	0
	$\sum\limits_{k=1}^{\infty}$ $( -\frac{8 cos (k \omega \pi)}{k \omega \pi} - \frac{10 cos (\frac{9 k \omega \pi}{10})}{k \omega \pi } +\frac{18}{k \omega \pi} ) \cdot sin (k \omega t)$
	$\frac{\pi}{4}$ $-\frac{8 cos (k \omega \pi)}{k \omega \pi} - \frac{10 cos (\frac{9 k \omega \pi}{10})}{k \omega \pi } +\frac{18}{k \omega \pi}$
	$\frac{\pi}{4} + \sum\limits_{k=1}^{\infty}$ $( -\frac{8 cos (k \omega \pi)}{k \omega \pi} - \frac{10 cos (\frac{9 k \omega \pi}{10})}{k \omega \pi } +\frac{18}{k \omega \pi} ) \cdot cos (k \omega t)$
Lösungsweg $S _\infty f(t)= c_0 + \sum\limits_{k=1}^{\infty} a_k \cdot cos (k \omega t) + \sum\limits_{k=1}^{\infty} b_k \cdot sin (k \omega t)$ $S _\infty f(t)= \frac{\pi}{2} + \sum\limits_{k=1}^{\infty}$ $( -\frac{8 cos (k \omega \pi)}{k \omega \pi} - \frac{10 cos (\frac{9 k \omega \pi}{10})}{k \omega \pi } +\frac{18}{k \omega \pi} ) \cdot cos (k \omega t)$ $+ \sum\limits_{k=1}^{\infty} 0 \cdot sin (k \omega t)$ $S _\infty f(t)= \frac{\pi}{4} + \sum\limits_{k=1}^{\infty}$ $( -\frac{8 cos (k \omega \pi)}{k \omega \pi} - \frac{10 cos (\frac{9 k \omega \pi}{10})}{k \omega \pi } +\frac{18}{k \omega \pi} ) \cdot cos (k \omega t)$

Werten Sie die Fourierkoeffizienten für k=1,2 numerisch aus und bestimmen Sie das Fourierpolynom $S_2 f(t)$ . $T=2\pi$ $c_0=\frac{\pi}{4}$ ; $a_k=\frac{2cos(\frac{k\omega\pi}{2})}{\pi(k\omega)^2}+ \frac{sin(\frac{3k\omega\pi}{2})}{k\omega}$ ; $b_k=0$ Nr. 3904
	$S _2 f(t)= \frac{\pi}{4} + (\frac{2cos(\frac{k\omega\pi}{2})}{\pi(k\omega)^2}+ \frac{sin(\frac{3k\omega\pi}{2})}{k\omega}) \cdot cos (k \omega t)$
	$S _2 f(t)= \frac{\pi}{4} - cos(t)- \frac{3}{4\pi} \cdot cos(2t)$
	$S _2 f(t)= \frac{\pi}{4} - cos(t)- \frac{2}{5\pi} \cdot cos(2t) + \frac{1}{2} \cdot cos(2t)$
	$S _2 f(t)= \frac{\pi}{4} - cos(t)- \frac{1}{2\pi} \cdot cos(2t)$
Lösungsweg $S _\infty f(t)= c_0 + \sum\limits_{k=1}^{\infty} a_k \cdot cos (k \omega t) + \sum\limits_{k=1}^{\infty} b_k \cdot sin (k \omega t)$ $S _\infty f(t)= \frac{\pi}{4} + \sum\limits_{k=1}^{\infty} (\frac{2cos(\frac{k\omega\pi}{2})}{\pi(k\omega)^2}+ \frac{sin(\frac{3k\omega\pi}{2})}{k\omega}) \cdot cos (k \omega t) + 0$ Omega einsetzen: $\omega=\frac{2\pi}{T}=\frac{2\pi}{2\pi}=1$ $S _\infty f(t)= \frac{\pi}{4} + \sum\limits_{k=1}^{\infty} (\frac{2cos(\frac{k\pi}{2})}{\pi(k)^2}+ \frac{sin(\frac{3k\pi}{2})}{k}) \cdot cos (k t)$ Fourierkoeffizienten für k=1,2 auswerten(siehe unten) und einsetzen: $S _2 f(t)= \frac{\pi}{4} + [-1 \cdot cos(1t)+(-\frac{1}{2\pi})\cdot cos(2t)]=$ $S _2 f(t)= \frac{\pi}{4} - cos(t)- \frac{1}{2\pi} \cdot cos(2t)$ $k=1: \\a_1=\frac{2cos(\frac{ 1 \cdot \pi}{2})}{\pi(1)^2}+ \frac{sin(\frac{3 \cdot 1 \cdot \pi}{2})}{1} = 0-1=-1$ $k=2: \\a_2=\frac{2cos(\frac{ 2 \cdot \pi}{2})}{\pi(2)^2}+ \frac{sin(\frac{3 \cdot 2 \cdot \pi}{2})}{2} = -\frac{1}{2\pi}$

Werten Sie die Fourierkoeffizienten für k=1,2,3 numerisch aus und bestimmen Sie das Fourierpolynom $S_3 f(t)$ . $T=2\pi$ $c_0=\frac{1}{4}$ ; $a_k=\frac{6sin(\frac{k\omega\pi}{4})}{k \omega \pi} -\frac{4sin(k\omega\pi)}{k\omega\pi}$ ; $b_k=0$ Nr. 3907
	$S _3 f(t)= \frac{1}{4} + (\frac{6sin(\frac{k\omega\pi}{4})}{k \omega \pi} -\frac{4sin(k\omega\pi)}{k\omega\pi}) \cdot cos (k \omega t) + 0$
	$S _3 f(t)= \frac{\pi}{4} - cos(t)- \frac{2}{5\pi} \cdot cos(2t) + \frac{1}{2} \cdot cos(2t)$
	$S _3 f(t)= (\frac{3 \sqrt2}{\pi}+\frac{4}{\pi})+\frac{3}{\pi} +\frac{ \sqrt2}{\pi}$
	$S _3 f(t)= \frac{1}{4} +\frac{3 \sqrt2}{\pi} \cdot cos(1t)+\frac{3}{\pi}\cdot cos(2t) +\frac{ \sqrt2}{\pi} \cdot cos(3t)$
Lösungsweg $S _\infty f(t)= c_0 + \sum\limits_{k=1}^{\infty} a_k \cdot cos (k \omega t) + \sum\limits_{k=1}^{\infty} b_k \cdot sin (k \omega t)$ $S _\infty f(t)= \frac{1}{4} + \sum\limits_{k=1}^{\infty} (\frac{6sin(\frac{k\omega\pi}{4})}{k \omega \pi} -\frac{4sin(k\omega\pi)}{k\omega\pi}) \cdot cos (k \omega t) + 0$ Omega einsetzen: $\omega=\frac{2\pi}{T}=\frac{2\pi}{2\pi}=1$ $S _\infty f(t)= \frac{1}{4} + \sum\limits_{k=1}^{\infty} (\frac{6sin(\frac{k\pi}{4})}{k\pi} -\frac{4sin(k\pi)}{k\pi}) \cdot cos (k t)$ Fourierkoeffizienten für k=1,2,3 auswerten(siehe unten) und einsetzen: $S _3 f(t)= \frac{1}{4} +\frac{3 \sqrt2}{\pi} \cdot cos(1t)+\frac{3}{\pi}\cdot cos(2t) +\frac{ \sqrt2}{\pi} \cdot cos(3t)$ $k=1: \\a_1=\frac{6sin(\frac{1\pi}{4})}{1\pi} -\frac{4sin(1\pi)}{1\pi}= \frac{3 \cdot \sqrt 2}{\pi}-0=\frac{3 \cdot \sqrt 2}{\pi}$ $k=2: \\a_2=\frac{6sin(\frac{2\pi}{4})}{2\pi} -\frac{4sin(2\pi)}{2\pi}= \frac{3}{\pi}-0=\frac{3}{\pi}$ $k=3: \\a_3=\frac{6sin(\frac{3\pi}{4})}{3\pi} -\frac{4sin(3\pi)}{3\pi}= \frac{\sqrt 2}{\pi}-0=\frac{ \sqrt 2}{\pi}$

Werten Sie die Fourierkoeffizienten für k=1,2 numerisch aus und bestimmen Sie das Fourierpolynom $S_2 f(t)$ . $T=2\pi$ $c_0=0$ ; $a_k=0$ ; $b_k=\frac{8cos(\frac{k\omega\pi}{2})}{k \omega \pi} +\frac{8cos(\frac{k\omega\pi}{4})}{k \omega \pi}$ Nr. 3908
	$S _2 f(t)= (\frac{4 \sqrt2}{\pi}) \cdot sin(t)- \frac{4}{\pi}\cdot sin(2t)$
	$S _2 f(t)= (\frac{8cos(\frac{k\omega\pi}{2})}{k \omega \pi} +\frac{8cos(\frac{k\omega\pi}{4})}{k \omega \pi}) \cdot sin (k \omega t)$
	$S _2 f(t)= (\frac{2}{3\pi}) \cdot sin(1t)+ \frac{5}{\pi}\cdot sin(2t)$
	$S _2 f(t)= (\frac{2}{5\pi}) \cdot sin(1t)+ \frac{1}{\pi}\cdot sin(2t)$
Lösungsweg $S _\infty f(t)= c_0 + \sum\limits_{k=1}^{\infty} a_k \cdot cos (k \omega t) + \sum\limits_{k=1}^{\infty} b_k \cdot sin (k \omega t)$ $S _\infty f(t)=0 + 0+ \sum\limits_{k=1}^{\infty} (\frac{8cos(\frac{k\omega\pi}{2})}{k \omega \pi} +\frac{8cos(\frac{k\omega\pi}{4})}{k \omega \pi}) \cdot sin (k \omega t)$ Omega einsetzen: $\omega=\frac{2\pi}{T}=\frac{2\pi}{2\pi}=1$ $S _\infty f(t)= \sum\limits_{k=1}^{\infty} (\frac{8cos(\frac{k \pi}{2})}{k \pi} +\frac{8cos(\frac{k \pi}{4})}{k \pi}) \cdot sin (k t)$ Fourierkoeffizienten für k=1,2 auswerten(siehe unten) und einsetzen: $S _2 f(t)= (\frac{4 \sqrt2}{\pi}) \cdot sin(1t)- \frac{4}{\pi}\cdot sin(2t)$ $k=1: \\a_1=\frac{8cos(\frac{1 \pi}{2})}{1 \pi} +\frac{8cos(\frac{1 \pi}{4})}{1 \pi}= 0 + \frac{8 \cdot \frac{\sqrt 2}{2}}{\pi}= \frac{4 \cdot \sqrt 2}{\pi}$ $k=2: \\a_2=\frac{8cos(\frac{2 \pi}{2})}{2 \pi} +\frac{8cos(\frac{2 \pi}{4})}{2 \pi}= -\frac{4}{\pi} + 0= -\frac{4 }{\pi}$

Werten Sie die Fourierkoeffizienten für k=1,2,3 numerisch aus und bestimmen Sie das Fourierpolynom $S_3 f(t)$ . $T=2\pi$ $c_0=0$ ; $a_k=0$ ; $b_k= \frac{2sin(\frac{k\omega\pi}{2})}{\pi (k \omega)^2} -\frac{cos(\frac{3k\omega\pi}{4})}{k \omega }$ Nr. 3909
	$S _3 f(t)= (\frac{4}{\pi}+\frac{\sqrt2}{4}) \cdot sin(1t)+0+ (\frac{2}{9\pi}+\frac{\sqrt2}{3}) \cdot sin(3t)$
	$S _3 f(t)= (\frac{2}{\pi}+\frac{\sqrt2}{2}) \cdot sin(t)- (\frac{2}{9\pi}+\frac{\sqrt2}{6}) \cdot sin(3t)$
	$S _3 f(t)= (\frac{3}{\pi}+\frac{\sqrt2}{4}) \cdot sin(1t)+ (\frac{5}{7\pi}+\frac{\sqrt2}{3}) \cdot sin(2t)$
	$S _3 f(t)= (\frac{\sqrt2}{4}) \cdot sin(1t)+ (\frac{5}{7\pi}+\frac{\sqrt2}{3}) \cdot sin(2t)+ (\frac{5}{8\pi}+\frac{\sqrt3}{4}}) \cdot sin(3t)$
Lösungsweg $S _\infty f(t)= c_0 + \sum\limits_{k=1}^{\infty} a_k \cdot cos (k \omega t) + \sum\limits_{k=1}^{\infty} b_k \cdot sin (k \omega t)$ $S _\infty f(t)=0 + 0+ \sum\limits_{k=1}^{\infty} (\frac{2sin(\frac{k\omega\pi}{2})}{\pi (k \omega)^2} -\frac{cos(\frac{3k\omega\pi}{4})}{k \omega }) \cdot sin (k \omega t)$ Omega einsetzen: $\omega=\frac{2\pi}{T}=\frac{2\pi}{2\pi}=1$ $S _\infty f(t)= \sum\limits_{k=1}^{\infty} (\frac{2sin(\frac{k\pi}{2})}{\pi(k)^2} -\frac{cos(\frac{3k\pi}{4})}{k}) \cdot sin (k t)$ Fourierkoeffizienten für k=1,2 auswerten(siehe unten) und einsetzen: $S _3 f(t)= (\frac{2}{\pi}+\frac{\sqrt2}{2}) \cdot sin(1t)+0+ (-\frac{2}{9\pi}-\frac{\sqrt2}{6}) \cdot sin(3t)$ $k=1: \\a_1=\frac{2sin(\frac{1\pi}{2})}{1^2 \pi} -\frac{cos(\frac{3 \cdot 1 \cdot \pi}{4})}{1}= \frac{2}{\pi} - \frac{- \frac{\sqrt 2}{2}}{1}= \frac{2}{\pi}+ \frac{\sqrt 2}{2}$ $k=2: \\a_2=\frac{2sin(\frac{2\pi}{2})}{2^2\pi} -\frac{cos(\frac{3 \cdot 2 \cdot \pi}{4})}{2}= 0$ $k=3: \\a_3=\frac{2sin(\frac{3\pi}{2})}{3^2 \pi} -\frac{cos(\frac{3 \cdot 3 \cdot \pi}{4})}{3}= -\frac{2}{9\pi}- \frac{\sqrt 2}{6}$

Werten Sie die Fourierkoeffizienten für k=1,2,3 numerisch aus und bestimmen Sie das Fourierpolynom $S_3 f(t)$ . $T=2\pi$ $c_0=0$ ; $a_k=0$ ; $b_k= \frac{6cos(\frac{k\omega\pi}{2})}{k \omega \pi} -\frac{6cos(k\omega\pi)}{k \omega \pi}$ Nr. 3910
	$S _3 f(t)= (\frac{3}{4\pi}) \cdot sin(1t)+ (\frac{2}{\pi}) \cdot sin(2t)$
	$S _3 f(t)= (\frac{3}{\pi}) \cdot sin(1t)+ (\frac{2}{3\pi}) \cdot sin(3t)$
	$S _3 f(t)= \frac{6}{\pi} \cdot sin(t) - \frac{6}{\pi} \cdot sin(2t)+ (\frac{2}{\pi}) \cdot sin(3t)$
	$S _3 f(t)= (\frac{3\pi}{5}) \cdot sin(1t)+ (\frac{4}{3\pi}) \cdot sin(2t)$
Lösungsweg $S _\infty f(t)= c_0 + \sum\limits_{k=1}^{\infty} a_k \cdot cos (k \omega t) + \sum\limits_{k=1}^{\infty} b_k \cdot sin (k \omega t)$ $S _\infty f(t)=0 + 0+ \sum\limits_{k=1}^{\infty} (\frac{6cos(\frac{k\omega\pi}{2})}{k \omega \pi} -\frac{6cos(k\omega\pi)}{k \omega \pi}) \cdot sin (k \omega t)$ Omega einsetzen: $\omega=\frac{2\pi}{T}=\frac{2\pi}{2\pi}=1$ $S _\infty f(t)= \sum\limits_{k=1}^{\infty} (\frac{6cos(\frac{k \pi}{2})}{k \pi} -\frac{6cos(k \pi)}{k \pi}) \cdot sin (k t)$ Fourierkoeffizienten für k=1,2,3 auswerten(siehe unten) und einsetzen: $S _3 f(t)= \frac{6}{\pi} \cdot sin(t) - \frac{6}{\pi} \cdot sin(2t)+ (\frac{2}{\pi}) \cdot sin(3t)$ $k=1: \\a_1=\frac{6cos(\frac{1\pi}{2})}{1 \pi} -\frac{6cos(1\pi)}{1 \pi}= 0 + \frac{6}{\pi}= \frac{6}{\pi}$ $k=2: \\a_2=\frac{6cos(\frac{2\pi}{2})}{2 \pi} -\frac{6cos(2\pi)}{2 \pi}= -\frac{3}{\pi} - \frac{3}{\pi}= - \frac{6}{\pi}$ $k=3: \\a_3=\frac{6cos(\frac{3\pi}{2})}{3 \pi} -\frac{6cos(3\pi)}{3 \pi}= 0 + \frac{2}{\pi}= \frac{2}{\pi}$

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