Fragenliste von Potenzreihen

Wie lässt sich $e^x$ als Potenzreihe interpretieren? Nr. 3697
	$1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^4}{4!}+...$
	$1+x-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}-\frac{x^4}{4!}+...$
	$x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^4}{4!}+...$
	$x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}+\frac{x^4}{4}+...$
Lösungsweg $e^x$ lässt sich auch durch $1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^4}{4!}+...$ oder $\sum\limits_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n!} \cdot x^n$ darstellen

Wie lässt sich $\sin x$ als Potenzreihe interpretieren? Nr. 3698
	$\frac{x^2}{2}+\frac{x^4}{4}-\frac{x^6}{6}+...$
	$1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+...$
	$x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+...$
	$x+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}+\frac{x^7}{7!}+...$
Lösungsweg $\sin x$ lässt sich auch durch $x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+...$ oder $\sum\limits_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}$ darstellen.

Wie lässt sich $\cos x$ als Potenzreihe interpretieren? Nr. 3699
	$1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+...$
	$\frac{x^2}{2}+\frac{x^4}{4}-\frac{x^6}{6}+...$
	$1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}-\frac{x^4}{4!}+...$
	$x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+...$
Lösungsweg $\cos x$ lässt sich auch durch $1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+...$ oder $\sum\limits_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{x^{2n}}{(2n)!}$ darstellen.

Wie lässt sich $\arctan x$ als Potenzreihe interpretieren? Nr. 3700
	$1-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+...$
	$\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+...$
	$0+1-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+...$
	$x-\frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{5}-\frac{x^7}{7}+...$
Lösungsweg $\arctan x$ lässt sich auch durch $x-\frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{5}-\frac{x^7}{7}+...$ oder $\sum\limits_{n=0}^{\infty} (-1)^{n} \cdot \frac{x^{2n+1}}{2n+1}$ darstellen.

Wie lässt sich $\ln(x+1)$ als Potenzreihe darstellen? Nr. 3701
	$x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^4}{4}-\frac{x^6}{6}+...$
	$1-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\frac{x^4}{4}+...$
	$0+1-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\frac{x^4}{4}+...$
	$x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\frac{x^4}{4}+...$
Lösungsweg $\ln (x+1)$ lässt sich auch durch $x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\frac{x^4}{4}+...$ oder $\sum\limits_{n=1}^{\infty} (-1)^{n+1} \cdot \frac{x^n}{n}$ darstellen.

Welche Summenformel gibt die Potenzreihe für $e^x$ an? Nr. 3702
	$\sum\limits_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n!}$
	$\sum\limits_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n} \cdot x$
	$\sum\limits_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n!} \cdot x^n$
	$\sum\limits_{n=0}^{\infty} \frac{1}{x} \cdot x^n$
Lösungsweg $e^x$ lässt sich auch durch $1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^4}{4!}+...$ oder $\sum\limits_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n!} \cdot x^n$ darstellen

Welche Summenformel gibt die Potenzreihe für $\sin x$ an. Nr. 3703
	$\sum\limits_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}$
	$\sum\limits_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{x^{2}}{(2n)!}$
	$\sum\limits_{n=0}^{\infty} \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}$
	$\sum\limits_{n=0}^{\infty} (-1)^x \frac{x^{2x+1}}{(2x+1)!}$
Lösungsweg $\sin x$ lässt sich auch durch $x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+...$ oder $\sum\limits_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}$ darstellen.

Welche Summenformel gibt die Potenzreihe für $\cos x$ an? Nr. 3704
	$\sum\limits_{n=0}^{\infty} \frac{x^{2n}}{(2n)!}$
	$\sum\limits_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{x^{2n}}{x}$
	$\sum\limits_{n=0}^{\infty} (-1)^x\frac{n}{(2n)!}$
	$\sum\limits_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{x^{2n}}{(2n)!}$
Lösungsweg $\cos x$ lässt sich auch durch $1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+...$ oder $\sum\limits_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{x^{2n}}{(2n)!}$ darstellen.

Welche Summenformel gibt die Potenzreihe für $\arctan x$ an? Nr. 3705
	$\sum\limits_{n=0}^{\infty} (-1)^{2n} \cdot \frac{2n}{2n+1}$
	$\sum\limits_{n=0}^{\infty} (-1)^{n} \cdot \frac{x^{2n}}{x}$
	$\sum\limits_{n=0}^{\infty} (-1)^{n} \cdot \frac{x^{2n+1}}{2n+1}$
	$\sum\limits_{n=0}^{\infty} \frac{x^{2n+1}}{2n+1}$
Lösungsweg $\arctan x$ lässt sich auch durch $x-\frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{5}-\frac{x^7}{7}+...$ oder $\sum\limits_{n=0}^{\infty} (-1)^{n} \cdot \frac{x^{2n+1}}{2n+1}$ darstellen.

Welche Summenformel gibt die Potenzreihe für $\ln(x+1)$ an? Nr. 3706
	$\sum\limits_{n=1}^{\infty} (-1)^{n+1} \cdot x^n$
	$\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{x^n}{n}$
	$\sum\limits_{n=1}^{\infty} (-1)^{n+1} \cdot \frac{x^n}{n}$
	$\sum\limits_{n=1}^{\infty} (-1)^{n+1}$
Lösungsweg $\ln (x+1)$ lässt sich auch durch $x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\frac{x^4}{4}+...$ oder $\sum\limits_{n=1}^{\infty} (-1)^{n+1} \cdot \frac{x^n}{n}$ darstellen.

Welche der gegebenen Summenformeln beschreiben eine Potenzreihe? Nr. 3707
	$\sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{2x^n}{12}$
	$\sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{2x+n}{12}$
	$\sum\limits_{n=1}^{\infty} 3x^n$
	$\sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{4x}{n}$
Lösungsweg Eine Potenzreihe liegt in folgender Form vor: $\sum\limits_{n=1}^{\infty} a_{n}\cdot x^n$ bzw. $\sum\limits_{n=1}^{\infty} a_{n}\cdot (x-x_0)^n$ Diese Vorschrift erfüllt: $\sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{2x^n}{12}$ $\sum\limits_{n=1}^{\infty} 3x^n$

Welche der gegebenen Summenformeln beschreibt eine Potenzreihe? Nr. 3708
	$\sum\limits_{n=1}^{\infty} 0,5x^n$
	$\sum\limits_{n=1}^{\infty} 0,5x \cdot n$
	$\sum\limits_{n=1}^{\infty} 8x+n^2$
	$\sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{12n}{x}$
Lösungsweg Eine Potenzreihe liegt in folgender Form vor: $\sum\limits_{n=1}^{\infty} a_{n}\cdot x^n$ bzw. $\sum\limits_{n=1}^{\infty} a_{n}\cdot (x-x_0)^n$ Diese Vorschrift erfüllt: $\sum\limits_{n=1}^{\infty} 0,5x^n$

Welche der gegebenen Summenformeln beschreibt eine Potenzreihe? Nr. 3709
	$\sum\limits_{n=1}^{\infty} 4! \cdot x^n$
	$\sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{4x^n}{n!}$
	$\sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{4x^2}{(n+1)!}$
	$\sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{8!}{n} \cdot (x+0)^n$
Lösungsweg Eine Potenzreihe liegt in folgender Form vor: $\sum\limits_{n=1}^{\infty} a_{n}\cdot x^n$ bzw. $\sum\limits_{n=1}^{\infty} a_{n}\cdot (x-x_0)^n$ Diese Vorschrift erfüllt: $\sum\limits_{n=1}^{\infty} 4! \cdot x^n$ $\sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{4x^n}{n!}$ $\sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{8!}{n} \cdot (x+0)^n$

Welche der gegebenen Summenformeln beschreibt eine Potenzreihe? Nr. 3711
	$\sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{12}{3} \cdot x^n$
	$\sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{12x}{3n}$
	$\sum\limits_{n=1}^{\infty} 12x+13n$
	$\sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{12^x}{3}$
Lösungsweg Eine Potenzreihe liegt in folgender Form vor: $\sum\limits_{n=1}^{\infty} a_{n}\cdot x^n$ bzw. $\sum\limits_{n=1}^{\infty} a_{n}\cdot (x-x_0)^n$ Diese Vorschrift erfüllt: $\sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{12}{3} \cdot x^n$

Welche Potenzreihe beschreibt $e^2$ ? Nr. 3780
	$1+2+2+\frac{8}{6}+\frac{16}{24}+...$
	$1+2+3+6+8+...$
	$1+2,7+20,1+54,6+148,4+...$
	$0+1+2,7+20,1+54,6+148,4+...$
Lösungsweg $e^x$ lässt sich auch durch $1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^4}{4!}+...$ oder $\sum\limits_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n!} \cdot x^n$ darstellen für $e^2$ ergibt sich daher: $\frac{2^0}{0!}+\frac{2^1}{1!}+\frac{2^2}{2!}+\frac{2^3}{3!}+\frac{2^4}{4!}+...$ $=1+2+2+\frac{8}{6}+\frac{16}{24}+...$

Welche Potenzreihe beschreibt $e^7$ ? Nr. 3781
	$1+7+49+343+2401+...$
	$1+7+\frac{49}{2}+\frac{343}{6}+\frac{2401}{24}+...$
	$1+7+\frac{49}{2}+\frac{343}{3}+\frac{2401}{4}+...$
	$1+7+14+28+49...$
Lösungsweg $e^x$ lässt sich auch durch $1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^4}{4!}+...$ oder $\sum\limits_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n!} \cdot x^n$ darstellen für $e^7$ ergibt sich daher: $\frac{7^0}{0!}+\frac{7^1}{1!}+\frac{7^2}{2!}+\frac{7^3}{3!}+\frac{7^4}{4!}+...$ $=1+7+\frac{49}{2}+\frac{343}{6}+\frac{2401}{24}+...$

Welche Potenzreihe beschreibt $\sin(3)$ ? Nr. 3782
	$3-27+243-2187+...$
	$3-\frac{27}{3}+\frac{243}{5}-\frac{2187}{7}+...$
	$3-\frac{27}{6}+\frac{243}{120}-\frac{2187}{5040}+...$
	$3-\frac{2}{3}+\frac{43}{5}-\frac{18}{7}+...$
Lösungsweg $\sin x$ lässt sich auch durch $x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+...$ oder $\sum\limits_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}$ darstellen. Für $\sin(3)$ gilt daher: $3-\frac{3^3}{3!}+\frac{3^5}{5!}-\frac{3^7}{7!}+...$ $=3-\frac{27}{6}+\frac{243}{120}-\frac{2187}{5040}+...$

Welche Potenzreihe beschreibt $\sin(5)$ ? Nr. 3783
	$5-125+3125-78125+...$
	$5-\frac{125}{3}+\frac{3125}{5}-\frac{78125}{7}+...$
	$1-\frac{125}{6}+\frac{3125}{120}-\frac{78125}{5040}+...$
	$5-\frac{125}{6}+\frac{3125}{120}-\frac{78125}{5040}+...$
Lösungsweg $\sin x$ lässt sich auch durch $x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+...$ oder $\sum\limits_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}$ darstellen. Für $\sin(5)$ gilt daher: $5-\frac{5^3}{3!}+\frac{5^5}{5!}-\frac{5^7}{7!}+...$ $=5-\frac{125}{6}+\frac{3125}{120}-\frac{78125}{5040}+...$

Welche Potenzreihe beschreibt $\cos(2)$ ? Nr. 3784
	$1-2+1-2+...$
	$1-2+\frac{2}{3}-\frac{64}{720}+...$
	$1-2+1-\frac{64}{6}+...$
	$1-\frac{4}{2}+\frac{16}{4}-\frac{64}{6}+...$
Lösungsweg $\cos x$ lässt sich auch durch $1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+...$ oder $\sum\limits_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{x^{2n}}{(2n)!}$ darstellen. Für $\cos(2)$ gilt daher: $1-\frac{2^2}{2!}+\frac{2^4}{4!}-\frac{2^6}{6!}+...$ $=1-\frac{4}{2}+\frac{16}{24}-\frac{64}{720}+...$ $=1-2+\frac{2}{3}-\frac{64}{720}+...$

Welche Potenzreihe beschreibt $\cos(5)$ ? Nr. 3785
	$1-\frac{25}{2}+\frac{625}{24}-\frac{15625}{720}+...$
	$1-\frac{25}{2}+\frac{625}{4}-\frac{15625}{6}+...$
	$1-25+625-15625+...$
	$1+2+16+720$
Lösungsweg $\cos x$ lässt sich auch durch $1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+...$ oder $\sum\limits_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{x^{2n}}{(2n)!}$ darstellen. Für $\cos(5)$ gilt daher: $1-\frac{5^2}{2!}+\frac{5^4}{4!}-\frac{5^6}{6!}+...$ $=1-\frac{25}{2}+\frac{625}{24}-\frac{15625}{720}+...$

Bestimmen Sie das Taylorpolynom zweiten Grades der folgenden Funktion mit Entwicklungspunkt a=0. $f(x)=e^{2x}$ Nr. 3800
	$1+2x+2x^2$
	$0$
	$e^{2x}+2e^{2x}+4e^{2x}$
	$1+x+\frac{x^2}{2}$
Lösungsweg Taylorpolynom n-ten Grades: $T_{a,n}(x)=f(a)+f'(a)\frac{(x-a)}{1!}+f''(a)\frac{(x-a)^2}{2!}+...+f^n(a)\frac{(x-a)^n}{n!}$ Daraus folgt mit n=2 und a=0 $T_{0,2}(x)=f(0)+f'(0)\frac{(x-0)}{1!}+f''(0)\frac{(x-0)^2}{2!} = 1+2x+4\cdot \frac{x^2}{2}=1+2x+2x^2$ $f(0)= e^{2x}=1 \\f'(0)=2e^{2x}=2 \\f''(0)=4e^{2x}=4$

Bestimmen Sie das Taylorpolynom zweiten Grades der folgenden Funktion mit Entwicklungspunkt a=0. $f(x)=ln(1+x^3)$ Nr. 3801
	1,098
	0
	1
	3x+2
Lösungsweg Taylorpolynom n-ten Grades: $T_{a,n}(x)=f(a)+f'(a)\frac{(x-a)}{1!}+f''(a)\frac{(x-a)^2}{2!}+...+f^n(a)\frac{(x-a)^n}{n!}$ Daraus folgt mit n=2 und a=0 $T_{0,2}(x)=f{(0)}+f'(0)\frac{(x-0)}{1!}+f''{(0)}\frac{(x-0)^2}{2!} = 0+0+0=0$ $f{(0)}= ln(1+x^3)=0 \\f'{(0)}=\frac{1}{1+x^3}\cdot 3x=0 \\ \\f''{(0)}=\frac{6x-3x^4}{(1+x^3)^2}=0$

Bestimmen Sie das Taylorpolynom dritten Grades der folgenden Funktion mit Entwicklungspunkt a=0. $f{(x)}=\sqrt{1+x}$ Nr. 3803
	0
	$1+x+4x^2+3x^3$
	$3x+2x^2+4x^3+9x^4$
	$1+\frac{x}{2}-\frac{x^2}{8}+\frac{x^3}{16}$
Lösungsweg Taylorpolynom n-ten Grades: $T_{a,n}(x)=f{(a)}+f'(a)\frac{(x-a)}{1!}+f''{(a)}\frac{(x-a)^2}{2!}+...+f^n{(a)}\frac{(x-a)^n}{n!}$ Daraus folgt mit n=3 und a=0 $T_{0,3}(x)=f{(0)}+f'(0)\frac{(x-0)}{1!}+f''{(0)}\frac{(x-0)^2}{2!}+f'''{(0)}\frac{(x-0)^3}{3!}= 1+\frac{1}{2}\cdot x+(-\frac{1}{4})\cdot \frac{x^2}{2}+\frac{3}{8}\cdot \frac{x^3}{6}=$ $1+\frac{x}{2}-\frac{x^2}{8}+\frac{x^3}{16}$ $f{(0)}= \sqrt{1+x}=(1+x)^{\frac{1}{2}}=1 \\f'{(0)}=\frac{1}{2}\cdot (1+x)^{-\frac{1}{2}}=\frac{1}{2} \\f''{(0)}=-\frac{1}{4}\cdot (1+x)^{-\frac{3}{2}}=-\frac{1}{4}$ $\\f'''_{(0)}=\frac{3}{8}\cdot (1+x)^{-\frac{5}{2}}=\frac{3}{8}$

Bestimmen Sie das Taylorpolynom zweiten Grades der gegebenen Funktion vom Entwicklungspunkt a= $\pi$ . $f{(x)}=\sin(2x)$ Nr. 3805
	$2x-2\pi$
	0,909
	0
	$\frac{x^3}{2}$
Lösungsweg Taylorpolynom n-ten Grades: $T_{a,n}(x)=f_{(a)}+f'_{(a)}\frac{(x-a)}{1!}+f''_{(a)}\frac{(x-a)^2}{2!}+...+f^n_{(a)}\frac{(x-a)^n}{n!}$ daraus folgt: a= $\pi$ n=2 $T_{\pi,2}(x)=f_{(\pi)}+f'_{(\pi)}\frac{(x-\pi)}{1!}+f''_{(\pi)}\frac{(x-\pi)^2}{2!}=0+2(x-\pi)+0=2x-2\pi$ $f{(\pi)}:sin(2x)=sin(2\pi)=0 \\f'{(\pi)}:2cos(2x)=2cos(2\pi)=2 \\f''{(\pi)}:-4sin(2x)=-4sin(2\pi)=0$

Bestimmen Sie das Taylorpolynom ersten Grades der gegebenen Funktion vom Entwicklungspunkt a=2. $f{(x)}=\frac{1}{(x-1)^2}$ Nr. 3806
	$3x-5$
	0
	$5-2x$
	$ln(\frac{x^2}{2})$
Lösungsweg Taylorpolynom n-ten Grades: $T_{a,n}(x)=f{(a)}+f'{(a)}\frac{(x-a)}{1!}+f''{(a)}\frac{(x-a)^2}{2!}+...+f^n{(a)}\frac{(x-a)^n}{n!}$ daraus folgt: a=2 n=1 $T_{2,1}(x)=f{(2)}+f'{(2)}\frac{(x-2)}{1!}=1+(-2)\frac{x-2}{1}=1-(2x-4)=5-2x$ $f{(2)}:\frac{1}{(x-1)^2}=1 \\f'{(2)}:-\frac{2}{(x-1)^3}=-2$

Bestimmen Sie das Taylorpolynom ersten Grades der gegebenen Funktion vom Entwicklungspunkt a=1. $f_{(x)}=e^{3x}$ Nr. 3807
	$e^3+3e^3x$
	1
	0
	$e^3(3x-2)$
Lösungsweg Taylorpolynom n-ten Grades: $T_{a,n}(x)=f{(a)}+f'{(a)}\frac{(x-a)}{1!}+f''{(a)}\frac{(x-a)^2}{2!}+...+f^n{(a)}\frac{(x-a)^n}{n!}$ daraus folgt: a=1 n=1 $T_{1,1}(x)=f{(1)}+f'{(1)}\frac{(x-1)}{1!}=e^3+3e^3(x-1)=e^3(3x-2)$ $f{(1)}=e^{3x}=e^3 \\f'{(1)}=3e^{3x}=3e^3$

Ermitteln Sie einen Schätzwert für f(0,9) für das Taylorpolynom zweiten Grades vom Entwicklungspunkt a=0 der Funktion $f(x)=ln(1+x^2)$ . Nr. 3808
	0,81
	0
	0,59
	1,87
Lösungsweg Formel für Taylorpolynome n-ten Grades: $T_{a,n}=f(a)+f'(a)\cdot \frac{(x-a)}{1!}+f''(a)\cdot \frac{(x-a)^2}{2!}+...+f^n(a)\cdot \frac{(x-a)^n}{n!}$ a=0, n=2 daraus folgt: $T_{0,2}=f(a)+f'(a)\cdot \frac{(x-a)}{1!}+f''(a)\cdot \frac{(x-a)^2}{2!}=$ $=f(0)+f'(0)\cdot \frac{(x-0)}{1!}+f''(0)\cdot \frac{(x-0)^2}{2!}=0+0+2\frac{x^2}{2}=x^2$ Schätzwert bestimmen: $T_{0,2}(x)=T_{0,2}(0,9)=0,9^2=0,81$ $f(0)=ln(1+x^2)=0$ $f'(0)=)=\frac{2x}{x^2+1}=0$ $f''(0)=)=-\frac{2(x^2-1)}{(x^2+1)^2}=2$

Ermitteln Sie einen Schätzwert für f(4) für das Taylorpolynom zweiten Grades vom Entwicklungspunkt a= $\pi$ der Funktion $f(x)=cos(2x)$ . Nr. 3809
	-0,14
	0
	$-31+16 \pi - 2\pi^2$
	$\frac{3\pi}{34}$
Lösungsweg Formel für Taylorpolynome n-ten Grades: $T_{a,n}=f(a)+f'(a)\cdot \frac{(x-a)}{1!}+f''(a)\cdot \frac{(x-a)^2}{2!}+...+f^n(a)\cdot \frac{(x-a)^n}{n!}$ a= $\pi$ , n=2 daraus folgt: $T_{\pi,2}=f(a)+f'(a)\cdot \frac{(x-a)}{1!}+f''(a)\cdot \frac{(x-a)^2}{2!}=$ $=f(\pi)+f'(\pi)\cdot \frac{(x-\pi)}{1!}+f''(\pi)\cdot \frac{(x-\pi)^2}{2!}=1+0-4 \cdot \frac{(x-\pi)^2}{2}=1-2x^2+4\pi x-2\pi^2$ Schätzwert bestimmen: $T_{\pi,2}(x)=T_{\pi,2}(4)=1-2\cdot 4^2+4 \cdot 4 \pi -2 \pi^2=-31+16 \pi - 2\pi^2$ $f(\pi)=cos(2x)=cos(2\pi)=1$ $f'(\pi)=-2sin(2x)=-2sin(2\pi)=0$ $f''(\pi)=-4cos(2x)=-4cos(2\pi)=-4$

Ermitteln Sie einen Schätzwert für f(2) für das Taylorpolynom dritten Grades vom Entwicklungspunkt a=0 der Funktion $f(x)=e^{2x}$ . Nr. 3810
	54,6
	$e^3+4$
	0
	$\frac{71}{3}$
Lösungsweg Formel für Taylorpolynome n-ten Grades: $T_{a,n}=f(a)+f'(a)\cdot \frac{(x-a)}{1!}+f''(a)\cdot \frac{(x-a)^2}{2!}+...+f^n(a)\cdot \frac{(x-a)^n}{n!}$ a=0, n=3 daraus folgt: $T_{0,3}=f(a)+f'(a)\cdot \frac{(x-a)}{1!}+f''(a)\cdot \frac{(x-a)^2}{2!}+f'''(a)\cdot \frac{(x-a)^3}{3!}=$ $=f(0)+f'(0)\cdot \frac{(x-0)}{1!}+f''(0)\cdot \frac{(x-0)^2}{2!}+f'''(0)\cdot \frac{(x-0)^3}{3!} =1+2 \cdot \frac{x}{1}+4 \cdot \frac{x^2}{2}+8 \cdot \frac{x^3}{6} =1+2x+2x^2+\frac{4x^3}{3}$ Schätzwert bestimmen: $T_{0,3}(x)=T_{0,3}(2)=1+2 \cdot 2 + 2 \cdot 2^2 + 4 \cdot \frac{2^3}{3} =\frac{71}{3}$ $f(0)=e^{2x}=e^0=1$ $f'(0)=2 \cdot e^{2x}=2 \cdot e^0=2$ $f''(0)=4 \cdot e^{2x}=4 \cdot e^0=4$ $f'''(0)=8 \cdot e^{2x}=8 \cdot e^0=8$

Ermitteln Sie den Konvergenzradius der gegebenen Reihe mittels Quotientenkriterium. $\sum\limits_{k=0}^{\infty}\frac{(x-3)^k}{4^k}$ Nr. 3811
	0
	4
	4x+3
	3k+4
Lösungsweg Potenzreihe: $\sum\limits_{n=0}^{\infty} a_n(x-x_0)^n$ Konvergenzradius mittels Quotientenkriterium für Potenzreihen: $r=\lim\limits_{n \to \infty} \left\\| \frac {a_n}{a_{n+1}}\right\\|$ Für die vorliegende Reihe folgt daraus: $a_n = \frac{1}{4^k}$ $r=\lim\limits_{n \to \infty} \left\\| \frac {a_n}{a_{n+1}}\right\\|= \left\\| \frac {\frac {1}{4^k}} {\frac{1}{4^{k+1}}} \right\\|= \left\\| \frac {4^{k+1}}{4^k} \right\\|= \left\\| 4^{k+1-k} \right\\|=$ $=\lim\limits_{n \to \infty} (4)=4$

Ermitteln Sie den Konvergenzradius der gegebenen Reihe mittels Quotientenkriterium. $\sum\limits_{k=0}^{\infty}\frac{k^2}{4^k} \cdot (x-2)^k$ Nr. 3812
	4
	0
	$\frac{k}{16}$
	8
Lösungsweg Potenzreihe: $\sum\limits_{n=0}^{\infty} a_n(x-x_0)^n$ Konvergenzradius mittels Quotientenkriterium für Potenzreihen: $r=\lim\limits_{n \to \infty} \left\\| \frac {a_n}{a_{n+1}}\right\\|$ Für die vorliegende Reihe folgt daraus: $a_n = \frac{ k^2}{4^k}$ $r=\lim\limits_{n \to \infty} \left\\| \frac {a_n}{a_{n+1}}\right\\|= \left\\| \frac {\frac {k^2}{4^k}} {\frac{(k+1)^2}{4^{k+1}}} \right\\|=$ $\left\\| \frac {k^2 \cdot 4^{k+1}}{ (k+1)^2 \cdot 4^k} \right\\|= \left\\| 4 \cdot \frac {k^2}{(k+1)^2} \right\\|=$ $\left\\| 4 \cdot \frac {k^2}{k^2+2k+1} \right\\|= \left\\| 4 \cdot \frac {k^2}{k^2(1+\frac{2}{k}+\frac{1}{k^2})} \right\\|=$ Anwenden der Quotientenregel: $\frac{\lim\limits_{n \to \infty} (4)}{\lim\limits_{n \to \infty}(1+\frac{2}{k}+\frac{1}{k^2})}$ Anwenden der Summenregel: $\frac{4}{ \lim\limits_{n \to \infty}(1)+ \lim\limits_{n \to \infty}(\frac{2}{k})+ \lim\limits_{n \to \infty}(\frac{1}{k^2})}= \frac{4}{1+0+0}=4$

Ermitteln Sie den Konvergenzradius der gegebenen Reihe mittels Quotientenkriterium. $\sum\limits_{k=0}^{\infty}\frac{5k}{15^k} \cdot (x-2,5)^k$ Nr. 3813
	4k
	0
	25
	15
Lösungsweg Potenzreihe: $\sum\limits_{n=0}^{\infty} a_n(x-x_0)^n$ Konvergenzradius mittels Quotientenkriterium für Potenzreihen: $r=\lim\limits_{n \to \infty} \left\\| \frac {a_n}{a_{n+1}}\right\\|$ Für die vorliegende Reihe folgt daraus: $a_n = \frac{5k}{15^k}$ $r=\lim\limits_{n \to \infty} \left\\| \frac {a_n}{a_{n+1}}\right\\|= \left\\| \frac {\frac {5k}{15^k}} {\frac{5(k+1)}{15^{k+1}}} \right\\|=$ $\left\\| \frac {5k \cdot 15^{k+1}}{ (5k+5) \cdot 15^k} \right\\|= \left\\| \frac {5k \cdot 15}{(5k+5)} \right\\|=$ $\left\\| \frac {15}{1+\frac{1}{k}} \right\\|$ Anwenden der Quotientenregel: $\frac{\lim\limits_{n \to \infty} (15)}{\lim\limits_{n \to \infty}(1+\frac{1}{k})}$ Anwenden der Summenregel: $\frac{15}{ \lim\limits_{n \to \infty}(1)+ \lim\limits_{n \to \infty}(\frac{1}{k})}= \frac{15}{1+0}=15$

Anmelden

Passwort vergessen
Registrieren

NEWS

Die Mathe Plattform des Technikum Wien gewinnt den eLearning Award 2019 als Projekt des Jahres in der Kategorie Hochschule.

Festigen Sie Ihre Grundkenntnisse und bereiten Sie sich auf Prüfungen vor.
Im Juli starten wieder die Warm-up Kurse - ein kostenloser Service für Aufgenommene und Studierende der FHTW.

Mathematik, Physik, Elektrotechnik, Informatik, Englisch und Deutsch in kompakten Kursen, geblockt bis September.

Anmeldung und Informationen
Warm-up-Kurse

Die Plattform wächst! Wir bauen im Moment den Bereich des Studienwissens aus. Bitte haben Sie Verständnis, dass die Inhalte dort erst nach und nach ergänzt werden. Ebenso kann es bei Design und Grafik noch zu Änderungen, Verbesserungen und kleinen Bugs kommen. Danke für Ihr Verständnis!

weitere News

Wussten Sie schon?

Bei uns können Sie auch Physik üben unter www.physik.technikum-wien.at .

Mathematik Übungsplattform

Fragenliste von Potenzreihen

Anmelden

NEWS