Fragenliste von Systeme von Differentialgleichungen

Welche Funktionen lösen das DGL System $y'_1(x) =-2y_1(x) -3y_2(x) \\ y'_2(x) = 2y_1(x)+3y_2(x)$ Nr. 3856
	$y_1(x)= -3-e^x\\ y_2(x)= 2+e^x$
	$y_1(x)= c_1 e^x + c_2 e^{x+2}\\ y_2(x)= c_1 e^{3x} -c_2e{x}$
	$y_1(x)= c_1 e^x + c_2 x\\ y_2(x)= c_1 e^{3x} - c_2 (x-3)$
Lösungsweg $\begin{pmatrix} y'_1(x) \\ y'_2(x) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 & -3 \\ 2 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} y_1(x) \\ y_2(x) \end{pmatrix}$ Eigenwerte und Eigenvektoren der Matrix sind $\lambda_1=0 \\ \lambda_2=1$ $\vec c_1= \begin{pmatrix} -3 \\ 2 \end{pmatrix} \\ \vec c_2= \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \end{pmatrix}$ Dann ist die allgemeine Lösung $\begin{pmatrix} y_1(x) \\ y_2(x) \end{pmatrix} = C_1 e^0 \begin{pmatrix} -3 \\ 2 \end{pmatrix} + C_2 e^{1x} \begin{pmatrix} -1\\ 1 \end{pmatrix}$

Welche Funktionen lösen das DGL System $y'_1(x)=y_1(x)+\frac15 y_2(x)$ $y'_2(x)=-10y_1(x)-2y_2(x)$ Nr. 3934
	$y_1(x)=e+(1/5)e^x$ $y_2(x)=10e+2e^x$
	$y_1(x)=-e^{-x}-1$ $y_2(x)=10e^{-x}+5$
	$y_1(x)=e^{5x}$ $y_2(x)=10e^{x}+5e^{4x}$
Lösungsweg Gleichungssystem $\begin{pmatrix} y'_1(x) \\ y'_2(x) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 1/5 \\ -10 & -2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} y_1(x) \\ y_2(x) \end{pmatrix}$ Eigenwerte und -vektoren der Matrix sind $\lambda_1=-1$ , $\vec{c}_1= \begin{pmatrix} -1 \\ 10 \end{pmatrix}$ $\lambda_2=0$ $\vec{c}_2=\begin{pmatrix} -1\\ 5 \end{pmatrix}$ Allgemeine Lösung $\begin{pmatrix} y_1(x) \\ y_2(x) \end{pmatrix} = C_1 e^{-1x} \begin{pmatrix} -1 \\ 10 \end{pmatrix} + C_2 e^{0} \begin{pmatrix} -1\\ 5 \end{pmatrix}$

Welche Funktionen lösen das DGL System $y'(x)=0.5f(x)-y(x)$ $f'(x)=-4(y(x)+f(x))$ Nr. 3935
	$y(x)=e^{-3}+e^{2}$ $f(x)=4e^{-3}-2e^{2}$
	$y(x)=-c_1e^{3x}-c_2 \frac12e$ $f(x)=c_14e^{3}+c_24e$
	$y(x)=-e^{-3x}-e^{-2x}$ $f(x)=4e^{-3x}+2e^{-2x}$
Lösungsweg Die Koeffizientenmatrix ist $\begin{pmatrix} -1 & 1/2 \\ -4 & -4 \end{pmatrix}$ Eigenwerte und Eigenvektoren sind $\lambda_1=-3$ $\vec c_1= \begin{pmatrix} -1\\ 4 \end{pmatrix}$ $\lambda_2=-2$ $\vec c_2 = \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \end{pmatrix}$ Dann ist die allgemeine Lösung $y(x)=-c_1e^{-3x}-c_2e^{-2x}$ $f(x)=c_14e^{-3x}+c_22e^{-2x}$

Welche Funktionen lösen das DGL System $y'(x)=-(y(x)+\frac 43 f(x))$ $f'(x)=9(f(x)+2y(x))$ Nr. 3936
	$y(x)=-e^{3x}-2e^{5x}$ $f(x)=3e^{3x}+9e^{5x}$
	$y(x)=-2e^{3x}+9e^{5x}$ $f(x)=-e^{3x}+3e^{5x}$
	$y(x)=3e^{3x}-e^{3x}$ $f(x)=9e^{5x}-2e^{5x}$
Lösungsweg Die Koeffizentenmatrix ist $\begin{pmatrix} -1 & -4/3 \\ 18 & 9 \end{pmatrix}$ Eigenwerte und Eigenvektoren sind $\lambda_1=3$ $\vec c_1=\begin{pmatrix} -1 \\ 3 \end{pmatrix}$ $\lambda_2=5$ $\vec c_2=\begin{pmatrix} -2 \\ 9 \end{pmatrix}$ Dann ist die allgemeine Lösung $y(x)=-c_1e^{3x}-c_22e^{5x}$ $f(x)=c_13e^{3x}+c_29e^{5x}$

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