Fragenliste von Exponentialansatz

Welche Funktion löst die Differentialgleichung $y''(x)+y'(x)=6y(x)$ Nr. 3842
	$y(x)=e^{2x}$
	$y(x)=2e^{6x}$
	$y(x)=e^{x+6}$
	$y(x)=e^{-3x}$
Lösungsweg $e^{\lambda x} (\lambda^2+\lambda -6)=0\\ \lambda^2+\lambda -6=0\\ \lambda_{1,2}= \{-3,2\}$

Finden Sie die vollständige Lösungsschar zu: $y^{\prime \prime} - 5 y^{\prime} + 6 y = 0$ Nr. 3862
	$y(x) = c_1 e^{2x} + c_2 e^{3x}$
	$y(x) = (c_1 \sin(2x) + c_2 \cos(2x))e^{3x}$
	$y(x) = c e^{2x}$
Lösungsweg Machen wir den Ansatz: $y(x) = A e^{\lambda x}$ Einsetzen liefert das charakteristische Polynom: $\lambda^2 - 5 \lambda + 6 = 0$ Verwendung der kleinen Lösungsformel: $\lambda_{1,2} = \frac{5}{2} + \sqrt{\frac{25 - 24}{4}} = \frac{5}{2} \pm \frac{1}{2}$ Es gibt also zwei fundamentale Lösungen: $y_1(x) = e^{2 x}$ $y_2(x) = e^{3x}$ Diese spannen den gesamten Lösungsraum auf, entsprechend dem Superpositionsprinzip für Differentialgleichungen: $y(x) = c_1 e^{2x} + c_2 e^{3x}$

Welche der folgenden Funktionen sind Lösungen der DGl $y''(x)-2y'(x)=0$ Nr. 3918
	$y(x)=e^{0.5 x}$
	$y(x)=e^{2x}$
	$y(x)=e^{x}+2$
Lösungsweg Exponentialansatz Charakteristisches Polynom $\lambda^2-2\lambda=0$ für $\lambda=2$

Welches sind Lösungen der DGL $y''(x) + 3y'(x) + 4y(x) = 0$ Nr. 3919
	$y(x) = e^{ (- \frac{3}{2} +\frac{\sqrt{7}}{2})x}$
	$y(x) = e^{ (- \frac{3}{2} +\frac{i\sqrt{7}}{2})x} + e^{ (- \frac{3}{2} -\frac{i\sqrt{7}}{2})x}$
	$y(x) = e^{ (- \frac{3}{2} +\frac{i\sqrt{7}}{2})x}$
Lösungsweg Zuerst lösen der Gleichung mittels des Exponentialansatzes $y(x) = e^{\lambda x}$ . $\frac{\mathrm{d}^2}{\mathrm{d}x^2}(e^{\lambda x}) + 3\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(e^{\lambda x})+4e^{\lambda x} = 0$ Damit erhalten wir mittels Koeffizientenvergleich folgendes charakteristisches Polynom: $\lambda^2 + 3 \lambda + 4 = 0$ Die Nullstellen des Polynoms liegen bei: $\lambda_1 = - \frac{3}{2} +\frac{i\sqrt{7}}{2}$ $\lambda_2 = - \frac{3}{2} -\frac{i\sqrt{7}}{2}$ Somit haben wir zwei Lösungen für die Gleichungen, jede Linearkombination der beiden ist ebenfalls eine Lösung. $y_1(x) = e^{ (- \frac{3}{2} +\frac{i\sqrt{7}}{2})x}$ $y_2(x) = e^{ (- \frac{3}{2} -\frac{i\sqrt{7}}{2})x}$

Welches sind Lösungen der DGL $y''(x)+y'(x)-2y(x)=0$ Nr. 3920
	$y(x)=e^{x}c_1+e^{-2x}c_2$
	$y(x)=e^{3x}c_1+2e^{4x}c_2$
	$y(x)=e^{-4x}+c_1$
Lösungsweg $y''(x)+y'(x)-2y(x)=0$ Exponentialansatz Charakteristisches Polynom $\lambda^2+\lambda-2=0$ Erfüllt für $\lambda=1$ und $\lambda=-2$ $y_1(x)=e^{x}c_1$ $y_2(x)=e^{-2x}c_2$ Auch Linearkombinatinen der beiden sind Lösungen

Welches sind Lösungen der DGL $4y''(x)-y(x)=0$ Nr. 3923
	$y(x)=e^{-x/2}c$
	$y(x)=e^{-x/2}c_1 +e^{x/2}c_2$
	$y(x)=e^{-x}+\cos(x)$
Lösungsweg Exponentialansatz Charakteristische Polynom $4\lambda^2-1=0$ für $\lambda=\pm \frac12$ $y_1=e^{x/2}c_1$ $y_2=e^{-x/2}c_2$ Auch Linearkombinationen sind Lösungen

Welches sind Lösungen der DGL $y(t)=2y''+y'-y=0$ Nr. 3925
	$y(t)=e^{t/2}+e^{-t}$
	$y(t)=e^{t/2}$
	$y_h=e^{t/2}+e^{-t}$
	$y_h=e^{2}+e^{-t}c$
Lösungsweg Charakteristisches Polynom $2\lambda^2+\lambda-1=0$ $\lambda=1/2, \qquad \lambda=-1$ $y(t)=e^{t/2}c_1+e^{-t}c_2$

Finden Sie die allgemeinen Lösungen der Gleichung $y'''+3y''+3y'+y=0$ Nr. 3991
	$y(x) = c_3e^{-3x}+c_2e^{-2x}+c_1e^{-x}$
	$y(x) = c_3e^{-x}x^2+c_2e^{-x}x+c_1e^{-x}$
	$y(x) = c_3e^{x}x^2+c_2e^{x}x+c_1e^{x}$
	$y(x) = c_3e^{-x}+c_2e^{-2x}+c_1e^{-2x}x$
	$y(x) = c_3e^{-3x}x+c_2e^{-3x}+c_1e^{-x}$
Lösungsweg Wir verwenden den Exponentialansatz $e^{\lambda x}$ und erhalten folgendes Charakteristisches Polynom. $\lambda^3+3\lambda^2+3\lambda+1=0$ Durch Betrachten der symetrischen Struktur der Gleichung sieht man, dass diese eine Variante der Binomischen Formel. $(a+b)^3 = a^3+3a^2b+3ab^2+b^3$ mit $a = \lambda$ und $b = 1$ Man erhält folglich $(\lambda+1)^3=0$ und somit die dreifache Nullstelle $\lambda_{1,2,3} = -1$ Um dieses dreifache Auftreten in der Lösung zu berücksichtigen müssen neben $y_1 = c_1e^{-x}$ auch $y_2 = c_2xe^{-x}$ und $y_3 = c_3x^2e^{-x}$ die Gleichung erfüllen und die Gesamtlösung ist $y(x) = y_1(x)+y_2(x)+y_3(x) = c_1e^{-x}+c_2xe^{-x}+c_3x^2e^{-x}$

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