Fragenliste von Trennung der Variablen

Welche der folgenden Funktionen löst die Differentialgleichung $\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}= 2x$ ? Nr. 3494
	$x(t)= 2t+c$
	$x(t)=\frac{\ln(x)}{2}+c$
	$x(t)= e^{2t+c}$
	$x(t)= \ln(2t+c)$
Lösungsweg $\frac{1}{x} \ \mathrm{d}x =2 \ \mathrm{d}t$ Integrieren $\int \frac 1 x \ \mathrm{d}x = \int 2 \ \mathrm{d}t \\ ln (x)+c_1 = 2t +c_2$ Nach x auflösen $x= e^{2t+c}$

Welche der folgenden Funktionen löst die Differentialgleichung $\frac{dx}{dt}= \frac x t$ Nr. 3790
	$f(x)= \frac 1t$
	$x(t)= e^{t+c}$
	$x(t)=t \cdot e^c$
Lösungsweg $\frac{dx}{dt}= \frac xt \\ \frac 1x \ \mathrm{d}x = \frac 1t \ \mathrm{d}t \\ \int \frac 1x \ \mathrm{d}x = \int \frac 1t \ \mathrm{d}t \\ \ln{x} +c_1 = \ln{t}+c_2 \\ x=t \cdot e^c$

Welche der folgenden Funktionen löst die Differentialgleichung $x'(t)=\frac{t}{x(t)}$ Nr. 3791
	$x(t)=t$
	$x(t)=\sqrt{t^2+c}$
	$x(t)=t^2$
Lösungsweg $\frac{dx}{dt}= \frac t x \\ \int x \ \mathrm{d}x = \int t \ \mathrm{d}t \\ \frac 12 x^2 +c_1 = \frac 12 t^2 +c_2 \\ x=\sqrt{t^2+c}$

Welche der folgenden Funktionen löst die Differentialgleichung $\frac{dx}{dt}= 2(4-x)$ Nr. 3792
	$x(t)= e^2+4 + C$
	$f(x)=e^{2x+C}+4$
	$x(t)= e^{-(2t+C)}+4$
	$x(t)=\sqrt{7t+C}$
Lösungsweg $\frac{dx}{dt}= 2(4-x) \\ \int \frac{1}{4-x} \ \mathrm{d}x = \int 2 \ \mathrm{d}t \\ -\ln{\|x-4\|}=2t+C \\ x-4=e^{-(2t+C)} \\ x=e^{-(2t+C)} +4$

Welche der Funktionen löst folgende Differentialgleichung $y'(x)= \frac {3y(x)}{x-5}$ Nr. 3793
	$y(x)= 3 \ln(x-5) +C$
	$y(x)=\frac 1 {x-5}$
	$y(x)= (x-5)^3e^C$
Lösungsweg $\int \frac{1}{3y} \ \mathrm{d}y = \int \frac{1}{x-5} \ \mathrm{d}x \\ \frac{\ln y}{3} = \ln(x-5) +C \\ \ln y = \ln(x-5)^3 +C \\ y= (x-5)^3e^C$

Finden Sie die allgemeine Lösung folgende Gleichung: $y'(x) = 1 + y(x)^2$ Nr. 3860
	$y = x +c$
	$y= e^{-(x+c)}\sin(x+c)$
	$y = \tan(x + c)$
	$y = \frac{\tan(c) + i\cdot\cos(x)}{c}$
	$y = \frac{\tan(x) + \tan(c)}{1-\tan(x)\tan(c)}$
Lösungsweg Nehmen Sie die Gleichung: $y' = y(x)^2 + 1 \quad \Longrightarrow \quad \frac{\mathrm{d}y(x)}{\mathrm{d}x} = y(x)^2 + 1$ Beide Seiten durch $y(x)^2 + 1$ dividieren: $\frac{\frac{\mathrm{d}y(x)}{\mathrm{d}x}}{y(x)^2 +1 } = 1$ Beide Seiten integrieren: $\int{\frac{1}{y(x)^2 +1 } \mathrm{d}y} = \int{1 \; \mathrm{d}x}$ Nach $y$ auflösen: $\arctan(y(x)) = x + c \quad \Longrightarrow \quad y(x) = \tan(x + c)$ Die zweite Lösung verwendet folgende trigonometrische Identität: $\tan(\alpha \pm \beta) = \frac{\tan(\alpha) \pm \tan(\beta)}{1\mp \tan(\alpha)\tan(\beta)}$ Notation: $\arctan \equiv \tan^{-1}$

Finden Sie die allgemeine Lösung folgender Gleichung: $y'(x) = ay(x)\cdot ( b- y(x))$ Nr. 3861
	$y(x) = \frac{b\cdot e^{ab\cdot x +bc}}{e^{ab\cdot x+bc} - 1}$
	$y(x) = a\cdot\frac{\cos(b\cdot x +a)}{\sin(b\cdot x)} + c$
	$y(x) = \ln(a\cdot x +c)\cdot e^{-(\frac{b}{a}x)^2}$
	Es gibt keine generelle Lösung, sondern nur im Fall $\frac{a}{b}\, < \,1$ und $\|x\| \, < \, \sqrt{2}$ . Dann ist die Lösung: $y(x) = c\cdot e^{-\frac{a}{b\cdot x}}\cdot\frac{1}{x - \sqrt{2}}$
Lösungsweg $\frac{\mathrm{d}y(x)}{\mathrm{d}x} = a y(x)\cdot (b- y(x))$ Zuerst trennen Sie die Variablen durch Division auf beiden Seiten mit $y(x)\cdot (b -y (x))$ : $\frac{\frac{\mathrm{d}y(x)}{\mathrm{d}x}}{(b-y(x))y(x)} = a$ Jetzt beide Seiten nach $x$ integrieren. $\int{\frac{\frac{\mathrm{d}y(x)}{\mathrm{d}x}}{(b-y(x))y(x)}}\mathrm{d}x = \int{a\cdot \mathrm{d}x} \longrightarrow \int{\frac{\mathrm{d}y(x)}{(b-y(x))y(x)}} = \int{a\cdot \mathrm{d}x}$ Durch das Lösen der Integrale auf beiden Seiten erhält man: $-\frac{\log(-b+y(x))}{b}+\frac{\log(y(x))}{b} = ax +c$ In dem man mit Hilfe der logarithmischen Rechenregeln diese Gleichung umformt, erhält man die Lösung für die gegebene Differentialgleichung: $y(x) = \frac{b\cdot e^{b(ax+c)}}{e^{b(ax+c)} - 1}$ Hier eine Anleitung um das Integral der rechten Seite zu lösen: Wir wenden auf den Bruch die Partialbruchzerlegung an. $\frac{1}{y(b-y)} = \frac{1}{by} - \frac{1}{by-b^2}$ Nun können Sie beide Brüche getrennt integrieren. Der Term $u = by-b^2$ wird substituiert mit $\mathrm{d}u = b \mathrm{d}y$ . $\int{\frac{\mathrm{d}y}{y(b-y)}} = \int{\left( \frac{1}{by} - \frac{1}{by-b^2} \right)\mathrm{d}y = \frac{1}{b}\int{\frac{\mathrm{d}y}{y}} - \frac{1}{b}\int{\frac{\mathrm{d}u}{u}}$ Durch das Integral folgt $\frac{1}{x} \rightarrow \log(x)$ und man erhält die Lösung mittels Rücksubsitution.

Finden Sie die allgemeine Lösung der folgenden Gleichung: $y'(x) = x y(x)$ Nr. 3863
	$y(x) = c\cdot e^{-x}$
	$y(x) = c \cdot e^{x}$
	$y(x) = e^{\frac{x^2}{2} + c}$
	$y(x) = x\cdot e^{c- \frac{x^2}{2}}$
	$y(x) = c\cdot e^{\frac{x^2}{2}}$
Lösungsweg Lösen Sie die Gleichung mit Hilfe der Methode zur Trennung der Variablen: $\frac{\mathrm{d}y(x)}{\mathrm{d}x} = xy(x) \longrightarrow \frac{\frac{\mathrm{d}y(x)}{\mathrm{d}x}}{y(x)} = x$ Diese Gleichung wird dann auf beiden Seiten nach $x$ integriert. $\int{\frac{\mathrm{d}y(x)}{y(x)} = \int{x\mathrm{d}x}$ Dieses Integral gibt uns: $\log (y(x)) = \frac{x^2}{2} + c$ Durch Umformung erhalten wir die Lösung. $y(x) = e^{\frac{x^2}{2} + c} = c\cdot e^{\frac{x^2}{2}}$

Finden Sie die allgemeine Lösung der folgenden Gleichung: $t\cdot x (t)\cdot\dot{x}(t) = 1$ Nr. 3864
	$x(t) = \sin(1+t) +c$
	$x(t) = \sqrt{2}\sqrt{c+\log (t)}$
	$x(t) = e^{-t}\log{(\frac{c}{t})}$
	$x(t) = - \sqrt{2}\sqrt{c+ \log (t)}$
	$x(t) = e^{t}\log{(\frac{c}{t})}$
Lösungsweg Die Lösung ist mittels Trennung der Variablen zu lösen: $t\cdot x \cdot\dot{x} = 1 \longrightarrow \frac{x(t)\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t} = \frac{1}{t}$ Nun integrieren wir beide Seiten nach $t$ . $\int{x(t) \mathrm{d}x} = \int{\frac{\mathrm{d}t}{t}}$ Durch das Integral erhalten wir: $\frac{x^2(t)}{2} = \log{t} + c$ Nun muss nur noch nach $x(t)$ umgeformt werden, durch das Ziehen der Wurzel ist sowohl die Lösung mit einem führenden Plus als auch einem Minus möglich. $x(t) = \pm \sqrt{2}\sqrt{\log (t) +c}$

Anmelden

Passwort vergessen
Registrieren

NEWS

Die Mathe Plattform des Technikum Wien gewinnt den eLearning Award 2019 als Projekt des Jahres in der Kategorie Hochschule.

Festigen Sie Ihre Grundkenntnisse und bereiten Sie sich auf Prüfungen vor.
Im Juli starten wieder die Warm-up Kurse - ein kostenloser Service für Aufgenommene und Studierende der FHTW.

Mathematik, Physik, Elektrotechnik, Informatik, Englisch und Deutsch in kompakten Kursen, geblockt bis September.

Anmeldung und Informationen
Warm-up-Kurse

Die Plattform wächst! Wir bauen im Moment den Bereich des Studienwissens aus. Bitte haben Sie Verständnis, dass die Inhalte dort erst nach und nach ergänzt werden. Ebenso kann es bei Design und Grafik noch zu Änderungen, Verbesserungen und kleinen Bugs kommen. Danke für Ihr Verständnis!

weitere News

Wussten Sie schon?

Wenn Sie einen Benutzer haben, vergessen Sie nicht, sich rechts oben anzumelden. Nur dann wird Ihr Lernfortschritt gespeichert.

Mathematik Übungsplattform

Fragenliste von Trennung der Variablen

Anmelden

NEWS