Fragenliste von Ansatz vom Typ der rechten Seite

Welche der folgenden Funktionen ist eine Lösung der DGL $y''(x)+y'(x)-6y(x)=1+x^2$ Nr. 3849
	$y(x)=e^{2x} + e^{-3x}$
	$y(x)=c_1e^{2x} + c_2e^{-3x} - \frac{25}{108}-\frac{x}{18}-\frac{x^2}{6}$
	$y(x)=c_1e^{2x} + c_2e^{-3x} - c_3e^{1+x^2}$
Lösungsweg 1. Homogene Lösung $e^{\lambda x} (\lambda^2+\lambda -6)=0\\ \lambda^2+\lambda -6=0\\ \lambda_{1,2}= \{-3,2\}$ $y_h=e^{2x}+e^{-3x}$ Ansatz: $y_p= a_0+a_1x+a_2x^2\\ y'_p=a_1+2a_2x\\ y''_p= 2a_2$ einsetzen in die DGL: $2a_2+a_1+2a_2x-6a_0-6a_1x-6a_2x^2 = 1+x^2$ $2a_2+a_1-6a_0=1\\ x(2a_2-6a_1)=0 \\ -6a_2x^2=x^2$ also $a_0=-\frac{25}{108}\\ a_1=-\frac{1}{18}\\ a_2=-\frac16$ einsetzen in: $y_p= a_0+a_1x+a_2x^2$ $y_p= -\frac{25}{108}-\frac{1}{18}x-\frac{1}{6}x^2$ die allgemeine Lösung der DGL ist die Summe der homogenen und partikulären Lösung $y(x)=y_h+y_p$ $y(x)=e^{2x}+e^{-3x}-\frac{25}{108}-\frac{1}{18}x-\frac{1}{6}x^2$

Welche der folgenden Funktionen ist eine Lösung der DGL $y''(x)-2y'(x)=\sin(x)$ Nr. 3917
	$y(x)=e^{2x}+\frac{2\cos x}{5}-\frac{\sin x}{5}$
	$y(x)=\frac12 e^{2x}c_1+c_2+2 \cos x-\frac{\sin x}{2}$
	$y(x)=x^2c+\frac{\cos x}{2}-\frac{\sin x}{2}$
Lösungsweg $y''(x)-2y'(x)=\sin(x)$ homogene Lösung: $y_h=e^{2x}c_1+c_2$ (siehe unten) Ansatz: $a \sin(x) +b \cos(x)$ $y'_p=a\cos x - b \sin x$ $y''_p= -a \sin x -b \cos x$ In DGL einsetzen $-a \sin x -b \cos x - 2a\cos x +2b\sin x= \sin x$ erfüllt für a=-1/5 und b=2/5 Gesamt: $y(x)= e^{2x}c_1+c_2+\frac{2\cos x}{5}-\frac{\sin x}{5}$ Homogene Lösung $y''(x)-2y'(x)=0$ $\lambda^2-2\lambda=0$ $\lambda=2$ $y(x)=e^{2x}c_1+c_2$

Welches sind Lösungen der DGL $y''(x)+y'(x)-2y(x)=2-x+x^2$ Nr. 3921
	$y(x)=e^{x}c_1+e^{-2x}c_2-2+x-x^2$
	$y(x)=e^{x}c_1+e^{-2x}c_2$
	$y(x)=e^{x}c_1+e^{-2x}c_2-\frac{3}{2}-\frac{x^2}2$
Lösungsweg Homogene Lösung (siehe unten) $y_h(x)=e^{x}c_1+e^{-2x}c_2$ Ansatz: $y_p= a_0+a_1x+a_2x^2\\ y'_p=a_1+2a_2x\\ y''_p= 2a_2$ In DGL einsetzen $2a_2+a_1+2a_2x-2a_0-2a_1x-2a_2x^2=2-x+x^2$ liefert $2a_2+a_1-2a_0=2$ $2a_2x-2a_1x=-x$ $-2a_2x^2=x^2$ $a_0=-\frac 3 2 , \qquad a_1=0, \qquad a_2=-\frac12$ gesamt $y(x)=e^{x}c_1+e^{-2x}c_2-\frac{3}{2}-\frac{x^2}2$ Homogene Lösung $y''(x)+y'(x)-2y(x)=0$ Exponentilansatz Charakteristisches Polynom $\lambda^2+\lambda-2=0$ Erfüllt für $\lambda=1$ und $\lambda=-2$ $y_1(x)=e^{x}c_1$ $y_2(x)=e^{-2x}c_2$

Welches sind Lösungen der DGL $4y''(x)-y(x)=\cos(4x)$ Nr. 3922
	$y=e^{x/2}+e^{-x/2} -\frac{1}{65}\cos(4x)$
	$y=e^{x/2}c_1+e^{-x/2}c_2 -\cos(4x)$
	$y=e^{x}-e^{-x} + c -\frac{1}{65}\cos(4x)$
Lösungsweg $4y''(x)-y(x)=\cos(4x)$ Homogene Lösung (siehe unten) $y_h=e^{x/2}c_1+e^{-x/2}c_2$ Ansatz: $y_p=a \sin(4x) + b \cos(4x)$ $y''_p=-16(a \sin(4x) + b \cos(4x))$ In DGL einsetzen $-64(a \sin(4x)+b\cos(4x))-a \sin(4x) - b \cos(4x)= \cos(4x)$ erfüllt für a=0, b=-1/65 gesamt: $y=e^{x/2}c_1+e^{-x/2}c_2 -\frac{1}{65}\cos(4x)$ Homogene Lösung: $4y''(x)-y(x)=0$ Exponentialansatz Charakteristische Polynom $4\lambda^2-1=0$ für $\lambda=\pm \frac12$

Welches sind Lösungen der DGL $y(t)=2y''+y'-y=e^{4t}$ Nr. 3924
	$y_h=e^{t/2}c_1+e^{-4t}c_2$
	$y_h=e^{t/2}c_1+e^{-t}c_2+\frac{e^4t}{35}$
	$y_h=e^{t/2}c_1+e^{-t}c_2+e^{35t}$
Lösungsweg $y(t)=2y''+y'-y=e^{4t}$ Homogene Lösung $y_h=e^{t/2}+e^{-t}$ (siehe unten) Ansatz: $y_p(t)=ae^{4t}$ $y'_p(t)=4ae^{4t}$ $y''_p(t)=16ae^{4t}$ Einsetzen in DGL $2\cdot 16ae^{4t} + 4ae^{4t}- ae^{4t}= e^{4t}$ $a=\frac1{35}$ gesamt: $y=e^{t/2}c_1+e^{-t}c_2+\frac{e^4t}{35}$ Homogene Lösung Exponentialansatz $y(t)=2y''+y'-y=0$ Charakteristisches Polynom $2\lambda^2+\lambda-1=0$ $\lambda=1/2, \qquad \lambda=-1$ $y_h=e^{t/2}c_1+e^{-t}c_2$

Lösen Sie die lineare inhomogene Differentialgleichung zweiter Ordnung $y''(x)-3 y'(x)+2 y(x)=\cos (3 x)$ Nr. 4933
	$y(x)=c_1 e^x+c_2 e^{2 x}-\frac{9}{130} \sin (3 x)-\frac{7}{130} \cos (3 x)$
	$y(x)=c_1 e^x+c_2 e^{2 x}-\frac{1}{2} \sin (3 x)-\frac{1}{6} \cos (3 x)$
	$y(x)=c_1 e^{-x}+c_2 e^{-2 x}-\frac{1}{24} \sin (3 x)-\frac{1}{8} \cos (3 x)$
	$y(x)=c_1 e^{-x}+c_2 e^{-2 x}-\frac{8}{59} \sin (3 x)-\frac{8}{59} \cos (3 x)$
	$y(x)=c_1 e^x+c_2 e^{2 x}+\frac{1}{93} \sin (3 x)+\frac{1}{62} \cos (3 x)$
Lösungsweg Die Differentialgleichung ist linear und zweiter Ordnung, jedoch inhomogen! Wir lösen zunächst die homogene Gleichung. Wir nehmen daher an, dass eine Lösung proportional zu $e^{\lambda x}$ ist und erinnern uns, dass dann gilt $y'(x)=\lambda e^{\lambda x}, \qquad y''(x)=\lambda^2 e^{\lambda x}.$ Daraus lässt sich das charakteristische Polynom aus der Differentialgleichung herleiten $\lambda ^2-3 \lambda +2=0$ mit den Lösungen $\lambda _1=1,\qquad\lambda _2=2.$ Das charakteristische Polynom hat zwei verschiedene Lösungen. Wir erinnern uns an den Ansatz der Lösung(siehe Skript), es ergibt sich für die homogene Lösung $y_h(x)=c_1 e^{1 x}+c_2 e^{2 x}.$ Für die partikuläre Lösung wählen wir aufgrund der rechten Seite der Differentialgleichung einen unbestimmten Ansatz der Form $y_p(x) =m \cos(3x)+n\sin(3x) \\ y_p'(x)=-3m\sin(3x)+3n\cos(3x), \\ y_p''(x) =-9m\cos(3x)+(-9n\sin(3x))$ (Achtung mit den Vorzeichen bei der Ableitung von Sinus und Cosinus) und setzen dies in die Differentialgleichung ein: $-3 (3 n \cos (3 x)-3 m \sin (3 x))+2 (m \cos (3 x)+n \sin (3 x))-9 m \cos (3 x)-9 n \sin (3 x)=\cos (3 x), \\ (9 m-7 n) \sin (3 x)=(7 m+9 n+1) \cos (3 x).$ Wir müssen nun eine Art Koeffizientenvergleich für Sinus und Cosinus durchführen (bzw. damit die Gleichung für beliebige x erfüllt ist, müssen die Koeffizienten vor Sinus und Cosinus 0 sein). Dies führt auf ein lineares Gleichungssystem in n und m $7 m+9 n+1=0, \\ 9 m=7 n.$ Daher ergibt sich für die gesuchten n und m als Lösung des linearen Gleichungssystems $\{m,n\}=\left\{-\frac{7}{130},-\frac{9}{130}\right\}$ $y(x)=y_h(x)+y_p(x)=c_1 e^x+c_2 e^{2 x}-\frac{9}{130} \sin (3 x)-\frac{7}{130} \cos (3 x)$

Lösen Sie die lineare inhomogene Differentialgleichung zweiter Ordnung $y''(x)-y'(x)-2 y(x)=\cos (3 x)$ Nr. 4934
	$y(x)=c_1 e^{-x}+c_2 e^{2 x}-\frac{3}{130} \sin (3 x)-\frac{11}{130} \cos (3 x)$
	$y(x)=c_1 e^{-x}+c_2 e^{2 x} + \frac{1}{2} \cos (3 x)$
	$y(x)=c_1 e^{-x}+c_2 e^{2 x}+\frac{1}{2} \sin (3 x)$
	$y(x)=c_1 e^{-x}+c_2 e^{2 x}-\frac{14}{71} \sin (3 x)-\frac{14}{71} \cos (3 x)$
	$y(x)=c_1 e^{-x}+c_2 e^{2 x}+\frac{4}{93} \sin (3 x)+\frac{4}{31} \cos (3 x)$
Lösungsweg Die Differentialgleichung ist linear und zweiter Ordnung, jedoch inhomogen! Wir lösen zunächst die homogene Gleichung. Wir nehmen daher an, dass eine Lösung proportional zu $e^{\lambda x}$ ist und erinnern uns, dass dann gilt $y'(x)=\lambda e^{\lambda x}, \qquad y''(x)=\lambda^2 e^{\lambda x}.$ Daraus lässt sich das charakteristische Polynom aus der Differentialgleichung herleiten $\lambda ^2-\lambda -2=0$ mit den Lösungen $\lambda _1=-1,\qquad\lambda _2=2.$ Das charakteristische Polynom hat zwei verschiedene Lösungen. Wir ernnern uns an den Ansatz der Lösung(siehe Skript), es ergibt sich für die homogene Lösung $y_h(x)=c_1 e^{-1 x}+c_2 e^{2 x}.$ Für die partikuläre Lösung wählen wir aufgrund der rechten Seite der Differentialgleichung einen unbestimmten Ansatz der Form $y_p(x) =m \cos(3x)+n\sin(3x),\quad y_p'(x)=-3m\sin(3x)+3n\cos(3x), \\ y_p''(x) =-9m\cos(3x)+(-9n\sin(3x))$ (Achtung mit den Vorzeichen bei der Ableitung von Sinus und Cosinus) und setzen dies in die Differentialgleichung ein: $-2 (m \cos (3 x)+n \sin (3 x))+3 m \sin (3 x) -3 n \cos (3 x) -9 m \cos (3 x)-9 n \sin (3 x)=\cos (3 x), \\ (3 m-11 n) \sin (3 x)=(11 m+3 n+1) \cos (3 x).$ Wir müssen nun eine Art Koeffizientenvergleich für Sinus und Cosinus durchführen (bzw. damit die Gleichung für beliebige x erfüllt ist, müssen die Koeffizienten vor Sinus und Cosinus 0 sein). Dies führt auf ein lineares Gleichungssystem in n und m $11 m+3 n+1=0, \\ 3 m=11 n.$ Daher ergibt sich für die gesuchten n und m als Lösung des linearen Gleichungssystems $\{m,n\}=\left\{-\frac{11}{130},-\frac{3}{130}\right\}$ $y(x)=y_h(x)+y_p(x)=c_1 e^{-x}+c_2 e^{2 x}-\frac{3}{130} \sin (3 x)-\frac{11}{130} \cos (3 x)$

Lösen Sie die lineare inhomogene Differentialgleichung zweiter Ordnung $y''(x)+y'(x)-2 y(x)=\cos (4 x)$ Nr. 4935
	$y(x)=c_1 e^{-2 x}+c_2 e^x+\frac{1}{85} \sin (4 x)-\frac{9}{170} \cos (4 x)$
	$y(x)=c_1 e^{-2 x}+c_2 e^x+ x e^{x} + \cos (4 x)$
	$y(x)=c_1 e^{-2 x}+c_2 e^x-\frac{4}{39} \sin (4 x)-\frac{2}{39} \cos (4 x)$
	$y(x)=c_1 e^{-2 x}+c_2 e^x - x e^{2x} -\frac{3}{73} \cos (4 x)$
	$y(x)=c_1 e^{-2 x}+c_2 e^x-\frac{8}{65} \sin (4 x)-\frac{12}{65} \cos (4 x)$
Lösungsweg Die Differentialgleichung ist linear und zweiter Ordnung, jedoch inhomogen! Wir lösen zunächst die homogene Gleichung. Wir nehmen daher an, dass eine Lösung proportional zu $e^{\lambda x}$ ist und erinnern uns, dass dann gilt $y'(x)=\lambda e^{\lambda x}, \qquad y''(x)=\lambda^2 e^{\lambda x}.$ Daraus lässt sich das charakteristische Polynom aus der Differentialgleichung herleiten $\lambda ^2+\lambda -2=0$ mit den Lösungen $\lambda _1=1,\qquad\lambda _2=-2.$ Das charakteristische Polynom hat zwei verschiedene Lösungen. Wir ernnern uns an den Ansatz der Lösung(siehe Skript), es ergibt sich für die homogene Lösung $y_h(x)=c_1 e^{1 x}+c_2 e^{-2 x}.$ Für die partikuläre Lösung wählen wir aufgrund der rechten Seite der Differentialgleichung einen unbestimmten Ansatz der Form $y_p(x) =m \cos(4x)+n\sin(4x),\quad y_p'(x)=-4m\sin(4x)+4n\cos(4x), \\ y_p''(x) =-16m\cos(4x)+(-16n\sin(4x))$ (Achtung mit den Vorzeichen bei der Ableitung von Sinus und Cosinus) und setzen dies in die Differentialgleichung ein: $-2 (m \cos (4 x)+n \sin (4 x))-4 m \sin (4 x) + 4 n \cos (4 x) -16 m \cos (4 x)-16 n \sin (4 x)=\cos (4 x), \\ -2 (2 m+9 n) \sin (4 x)-(18 m-4 n+1) \cos (4 x)=0.$ Wir müssen nun eine Art Koeffizientenvergleich für Sinus und Cosinus durchführen (bzw. damit die Gleichung für beliebige x erfüllt ist, müssen die Koeffizienten vor Sinus und Cosinus 0 sein). Dies führt auf ein lineares Gleichungssystem in n und m $18 m+1=4 n, \\ 2 m+9 n=0.$ Daher ergibt sich für die gesuchten n und m als Lösung des linearen Gleichungssystems $\{m,n\}=\left\{-\frac{9}{170},\frac{1}{85}\right\}$ $y(x)=y_h(x)+y_p(x)=c_1 e^{-2 x}+c_2 e^x+\frac{1}{85} \sin (4 x)-\frac{9}{170} \cos (4 x)$

Lösen Sie die lineare inhomogene Differentialgleichung zweiter Ordnung $y''(x)-y'(x)-12 y(x)=\cos (x)$ Nr. 4936
	$y(x)=c_1 e^{-3 x}+c_2 e^{4 x}-\frac{\sin (x)}{170}-\frac{13 \cos (x)}{170}$
	$y(x)=c_1 e^{-3 x}+c_2 e^{4 x}+\frac{32 \sin (x)}{89}+\frac{8 \cos (x)}{89}$
	$y(x)=c_1 e^{-3 x}+c_2 e^{4 x} - \frac{\cos (x)}{11}$
	$y(x)=c_1 e^{-3 x}+c_2 e^{4 x}+\frac{8 \sin (x)}{93}$
	$y(x)=c_1 e^{-3 x}+c_2 e^{4 x}+\frac{7 \sin (x)}{184}+\frac{7 \cos (x)}{92}$
Lösungsweg Die Differentialgleichung ist linear und zweiter Ordnung, jedoch inhomogen! Wir lösen zunächst die homogene Gleichung. Wir nehmen daher an, dass eine Lösung proportional zu $e^{\lambda x}$ ist und erinnern uns, dass dann gilt $y'(x)=\lambda e^{\lambda x}, \qquad y''(x)=\lambda^2 e^{\lambda x}.$ Daraus lässt sich das charakteristische Polynom aus der Differentialgleichung herleiten $\lambda ^2-\lambda -12=0$ mit den Lösungen $\lambda _1=-3,\qquad\lambda _2=4.$ Das charakteristische Polynom hat zwei verschiedene Lösungen. Wir ernnern uns an den Ansatz der Lösung(siehe Skript), es ergibt sich für die homogene Lösung $y_h(x)=c_1 e^{-3 x}+c_2 e^{4 x}.$ Für die partikuläre Lösung wählen wir aufgrund der rechten Seite der Differentialgleichung einen unbestimmten Ansatz der Form $y_p(x) =m \cos(1x)+n\sin(1x),\quad y_p'(x)=-1m\sin(1x)+1n\cos(1x), \\ y_p''(x) =-1m\cos(1x)+(-1n\sin(1x))$ (Achtung mit den Vorzeichen bei der Ableitung von Sinus und Cosinus) und setzen dies in die Differentialgleichung ein: $-12 (m \cos (x)+n \sin (x))+m \sin (x) -n \cos (x) -m \cos (x)-n \sin (x)=\cos (x), \\ (13 m+n+1) \cos (x)=(m-13 n) \sin (x).$ Wir müssen nun eine Art Koeffizientenvergleich für Sinus und Cosinus durchführen (bzw. damit die Gleichung für beliebige x erfüllt ist, müssen die Koeffizienten vor Sinus und Cosinus 0 sein). Dies führt auf ein lineares Gleichungssystem in n und m $13 m+n+1=0, \\ m=13 n.$ Daher ergibt sich für die gesuchten n und m als Lösung des linearen Gleichungssystems $\{m,n\}=\left\{-\frac{13}{170},-\frac{1}{170}\right\}$ $y(x)=y_h(x)+y_p(x)=c_1 e^{-3 x}+c_2 e^{4 x}-\frac{\sin (x)}{170}-\frac{13 \cos (x)}{170}$

Lösen Sie die lineare inhomogene Differentialgleichung zweiter Ordnung $y''(x)-25 y(x)=\cos (x)$ Nr. 4937
	$y(x)=c_1 e^{5 x}+c_2 e^{-5 x}-\frac{\cos (x)}{26}$
	$y(x)=c_1 e^{5 x}+c_2 e^{-5 x}-\frac{7 \sin (x)}{16}-\frac{7 \cos (x)}{16}$
	$y(x)=c_1 e^{25 x}+c_2 e^{-25 x}+\frac{\sin (x)}{27}+\frac{\cos (x)}{27}$
	$y(x)=c_1 e^{25 x}+c_2 e^{-25 x}-\frac{7 \sin (x)}{29}-\frac{7 \cos (x)}{58}$
	$y(x)=c_1 e^{5 x}+c_2 e^{-5 x}-\frac{6 \sin (x)}{97}-\frac{12 \cos (x)}{97}$
Lösungsweg Die Differentialgleichung ist linear und zweiter Ordnung, jedoch inhomogen! Wir lösen zunächst die homogene Gleichung. Wir nehmen daher an, dass eine Lösung proportional zu $e^{\lambda x}$ ist und erinnern uns, dass dann gilt $y'(x)=\lambda e^{\lambda x}, \qquad y''(x)=\lambda^2 e^{\lambda x}.$ Daraus lässt sich das charakteristische Polynom aus der Differentialgleichung herleiten $\lambda ^2-25=0$ mit den Lösungen $\lambda _1=5,\qquad\lambda _2=-5.$ Das charakteristische Polynom hat zwei verschiedene Lösungen. Wir ernnern uns an den Ansatz der Lösung(siehe Skript), es ergibt sich für die homogene Lösung $y_h(x)=c_1 e^{5 x}+c_2 e^{-5 x}.$ Für die partikuläre Lösung wählen wir aufgrund der rechten Seite der Differentialgleichung einen unbestimmten Ansatz der Form $y_p(x) =m \cos(1x)+n\sin(1x),\quad y_p'(x)=-1m\sin(1x)+(1n\cos(1x)), \\ y_p''(x) =-1m\cos(1x)+(-1n\sin(1x))$ (Achtung mit den Vorzeichen bei der Ableitung von Sinus und Cosinus) und setzen dies in die Differentialgleichung ein: $-25 (m \cos (x)+n \sin (x))-m \cos (x)-n \sin (x)=\cos (x), \\ -26 (m \cos (x)+n \sin (x))=\cos (x).$ Wir müssen nun eine Art Koeffizientenvergleich für Sinus und Cosinus durchführen (bzw. damit die Gleichung für beliebige x erfüllt ist, müssen die Koeffizienten vor Sinus und Cosinus 0 sein). Dies führt auf ein lineares Gleichungssystem in n und m $26 m+1=0, \\ n=0.$ Daher ergibt sich für die gesuchten n und m als Lösung des linearen Gleichungssystems $\{m,n\}=\left\{-\frac{1}{26},0\right\}$ $y(x)=y_h(x)+y_p(x)=c_1 e^{5 x}+c_2 e^{-5 x}-\frac{\cos (x)}{26}$

Lösen Sie die lineare inhomogene Differentialgleichung zweiter Ordnung $y''(x)-y(x)=\cos (2 x)$ Nr. 4938
	$y(x)=c_1 e^x+c_2 e^{-x}-\frac{1}{5} \cos (2 x)$
	$y(x)=c_1 e^x+c_2 x e^x-\frac{1}{3} \sin (2 x)-\frac{2}{3} \cos (2 x)$
	$y(x)=c_1 e^x+c_2 e^{-x}-\frac{8}{171} \sin (2 x)-\frac{4}{57} \cos (2 x)$
	$y(x)=c_1 e^x+c_2 e^{-x}-\frac{3}{13} \sin (2 x)-\frac{1}{13} \cos (2 x)$
	$y(x)=c_1 e^{-x}+c_2 x e^{-x}-\frac{56}{65} \sin (2 x)-\frac{14}{65} \cos (2 x)$
Lösungsweg Die Differentialgleichung ist linear und zweiter Ordnung, jedoch inhomogen! Wir lösen zunächst die homogene Gleichung. Wir nehmen daher an, dass eine Lösung proportional zu $e^{\lambda x}$ ist und erinnern uns, dass dann gilt $y'(x)=\lambda e^{\lambda x}, \qquad y''(x)=\lambda^2 e^{\lambda x}.$ Daraus lässt sich das charakteristische Polynom aus der Differentialgleichung herleiten $\lambda ^2-1=0$ mit den Lösungen $\lambda _1=1,\qquad\lambda _2=-1.$ Das charakteristische Polynom hat zwei verschiedene Lösungen. Wir ernnern uns an den Ansatz der Lösung(siehe Skript), es ergibt sich für die homogene Lösung $y_h(x)=c_1 e^{1 x}+c_2 e^{-1 x}.$ Für die partikuläre Lösung wählen wir aufgrund der rechten Seite der Differentialgleichung einen unbestimmten Ansatz der Form $y_p(x) =m \cos(2x)+n\sin(2x),\quad y_p'(x)=-2m\sin(2x)+2n\cos(2x), \\ y_p''(x) =-4m\cos(2x)+(-4n\sin(2x))$ (Achtung mit den Vorzeichen bei der Ableitung von Sinus und Cosinus) und setzen dies in die Differentialgleichung ein: $-5 m \cos (2 x)-5 n \sin (2 x)=\cos (2 x), \\ (5 m+1) \cos (2 x)+5 n \sin (2 x)=0.$ Wir müssen nun eine Art Koeffizientenvergleich für Sinus und Cosinus durchführen (bzw. damit die Gleichung für beliebige x erfüllt ist, müssen die Koeffizienten vor Sinus und Cosinus 0 sein). Dies führt auf ein lineares Gleichungssystem in n und m $5 m+1=0, \\ n=0.$ Daher ergibt sich für die gesuchten n und m als Lösung des linearen Gleichungssystems $\{m,n\}=\left\{-\frac{1}{5},0\right\}$ $y(x)=y_h(x)+y_p(x)=c_1 e^x+c_2 e^{-x}-\frac{1}{5} \cos (2 x)$

Lösen Sie die lineare inhomogene Differentialgleichung zweiter Ordnung $y''(x)+2 y'(x)+y(x)=\cos (2 x)$ Nr. 4939
	$y(x)=c_1 e^{-x}+c_2 e^{-x} x+\frac{4}{25} \sin (2 x)-\frac{3}{25} \cos (2 x)$
	$y(x)=c_1 e^{-x}+c_2 e^{-x}+\frac{7}{11} \sin (2 x)+\frac{7}{22} \cos (2 x)$
	$y(x)=c_1 e^{-x}+c_2 e^{x} +\frac{16}{65} \sin (2 x)+\frac{8}{65} \cos (2 x)$
	$y(x)=c_1 e^{-x}+c_2 e^{-x} x+\frac{1}{4} \sin (2 x)+\frac{1}{6} \cos (2 x)$
	$y(x)=c_1 e^{x}+c_2 e^{x} x+\frac{8}{123} \sin (2 x)+\frac{4}{41} \cos (2 x)$
Lösungsweg Die Differentialgleichung ist linear und zweiter Ordnung, jedoch inhomogen! Wir lösen zunächst die homogene Gleichung. Wir nehmen daher an, dass eine Lösung proportional zu $e^{\lambda x}$ ist und erinnern uns, dass dann gilt $y'(x)=\lambda e^{\lambda x}, \qquad y''(x)=\lambda^2 e^{\lambda x}.$ Daraus lässt sich das charakteristische Polynom aus der Differentialgleichung herleiten $\lambda ^2+2 \lambda +1=0$ mit den Lösungen $\lambda _1=-1,\qquad\lambda _2=-1.$ Das charakteristische Polynom hat also eine Doppellösung. Wir erinnern uns, dass der Ansatz für die Lösung dann anders ist (siehe Skript), es ergibt sich die homogene Lösung $y_h(x)=c_1 e^{-1 x}+c_2 x e^{-1 x}.$ Für die partikuläre Lösung wählen wir aufgrund der rechten Seite der Differentialgleichung einen unbestimmten Ansatz der Form $y_p(x) =m \cos(2x)+n\sin(2x),\quad y_p'(x)=-2m\sin(2x)+2n\cos(2x), \\ y_p''(x) =-4m\cos(2x)+(-4n\sin(2x))$ (Achtung mit den Vorzeichen bei der Ableitung von Sinus und Cosinus) und setzen dies in die Differentialgleichung ein: $2 (2 n \cos (2 x)-2 m \sin (2 x))-3 m \cos (2 x)-3 n \sin (2 x)=\cos (2 x), \\ (4 m+3 n) \sin (2 x)+(3 m-4 n+1) \cos (2 x)=0.$ Wir müssen nun eine Art Koeffizientenvergleich für Sinus und Cosinus durchführen (bzw. damit die Gleichung für beliebige x erfüllt ist, müssen die Koeffizienten vor Sinus und Cosinus 0 sein). Dies führt auf ein lineares Gleichungssystem in n und m $3 m+1=4 n, \\ 4 m+3 n=0.$ Daher ergibt sich für die gesuchten n und m als Lösung des linearen Gleichungssystems $\{m,n\}=\left\{-\frac{3}{25},\frac{4}{25}\right\}$ $y(x)=y_h(x)+y_p(x)=c_1 e^{-x}+c_2 e^{-x} x+\frac{4}{25} \sin (2 x)-\frac{3}{25} \cos (2 x)$

Lösen Sie die lineare inhomogene Differentialgleichung zweiter Ordnung $y''(x)-4 y'(x)+4 y(x)=\cos (x)$ Nr. 4940
	$y(x)=c_1 e^{2 x}+c_2 e^{2 x} x-\frac{4 \sin (x)}{25}+\frac{3 \cos (x)}{25}$
	$y(x)=c_1 e^{2 x}+c_2 e^{2 x} x-\frac{6 \sin (x)}{17}-\frac{6 \cos (x)}{17}$
	$y(x)=c_1 e^{2 x}+c_2 e^{2 x} x$
	$y(x)=c_1 e^{2 x}+c_2 e^{-2 x}+\frac{16 \sin (x)}{5}+\frac{4 \cos (x)}{5}$
	$y(x)=c_1 e^{2 x}+c_2 e^{2 x} +\frac{13 \sin (x)}{11}+\frac{13 \cos (x)}{33}$
Lösungsweg Die Differentialgleichung ist linear und zweiter Ordnung, jedoch inhomogen! Wir lösen zunächst die homogene Gleichung. Wir nehmen daher an, dass eine Lösung proportional zu $e^{\lambda x}$ ist und erinnern uns, dass dann gilt $y'(x)=\lambda e^{\lambda x}, \qquad y''(x)=\lambda^2 e^{\lambda x}.$ Daraus lässt sich das charakteristische Polynom aus der Differentialgleichung herleiten $\lambda ^2-4 \lambda +4=0$ mit den Lösungen $\lambda _1=2,\qquad\lambda _2=2.$ Das charakteristische Polynom hat also eine Doppellösung. Wir erinnern uns, dass der Ansatz für die Lösung dann anders ist (siehe Skript), es ergibt sich die homogene Lösung $y_h(x)=c_1 e^{2 x}+c_2 x e^{2 x}.$ Für die partikuläre Lösung wählen wir aufgrund der rechten Seite der Differentialgleichung einen unbestimmten Ansatz der Form $y_p(x) =m \cos(1x)+n\sin(1x),\quad y_p'(x)=-1m\sin(1x)+1n\cos(1x), \\ y_p''(x) =-1m\cos(1x)+(-1n\sin(1x))$ (Achtung mit den Vorzeichen bei der Ableitung von Sinus und Cosinus) und setzen dies in die Differentialgleichung ein: $-4 (n \cos (x)-m \sin (x))+4 (m \cos (x)+n \sin (x))-m \cos (x)-n \sin (x)=\cos (x), \\ 4 m \sin (x)+3 m \cos (x)+3 n \sin (x)-4 n \cos (x)=\cos (x).$ Wir müssen nun eine Art Koeffizientenvergleich für Sinus und Cosinus durchführen (bzw. damit die Gleichung für beliebige x erfüllt ist, müssen die Koeffizienten vor Sinus und Cosinus 0 sein). Dies führt auf ein lineares Gleichungssystem in n und m $3 m=4 n+1, \\ 4 m+3 n=0.$ Daher ergibt sich für die gesuchten n und m als Lösung des linearen Gleichungssystems $\{m,n\}=\left\{\frac{3}{25},-\frac{4}{25}\right\}$ $y(x)=y_h(x)+y_p(x)=c_1 e^{2 x}+c_2 e^{2 x} x-\frac{4 \sin (x)}{25}+\frac{3 \cos (x)}{25}$

Lösen Sie die lineare inhomogene Differentialgleichung zweiter Ordnung $y''(x)+6 y'(x)+9 y(x)=\cos (2 x)$ Nr. 4941
	$y(x)=c_1 e^{-3 x}+c_2 e^{-3 x} x+\frac{12}{169} \sin (2 x)+\frac{5}{169} \cos (2 x)$
	$y(x)=c_1 e^{-3 x}+c_2 e^{-3 x} -\frac{7}{57} \sin (2 x)-\frac{7}{38} \cos (2 x)$
	$y(x)=c_1 e^{-3 x}+c_2 e^{3 x} +\frac{14}{65} \sin (2 x)+\frac{14}{65} \cos (2 x)$
	$y(x)=c_1 e^{3 x}+c_2 e^{3 x} x+\frac{1}{65} \sin (2 x)+\frac{2}{65} \cos (2 x)$
	$y(x)=c_1 e^{-3 x}+c_2 e^{-3 x} x-\frac{12}{7} \sin (2 x)-\frac{6}{7} \cos (2 x)$
Lösungsweg Die Differentialgleichung ist linear und zweiter Ordnung, jedoch inhomogen! Wir lösen zunächst die homogene Gleichung. Wir nehmen daher an, dass eine Lösung proportional zu $e^{\lambda x}$ ist und erinnern uns, dass dann gilt $y'(x)=\lambda e^{\lambda x}, \qquad y''(x)=\lambda^2 e^{\lambda x}.$ Daraus lässt sich das charakteristische Polynom aus der Differentialgleichung herleiten $\lambda ^2+6 \lambda +9=0$ mit den Lösungen $\lambda _1=-3,\qquad\lambda _2=-3.$ Das charakteristische Polynom hat also eine Doppellösung. Wir erinnern uns, dass der Ansatz für die Lösung dann anders ist (siehe Skript), es ergibt sich die homogene Lösung $y_h(x)=c_1 e^{-3 x}+c_2 x e^{-3 x}.$ Für die partikuläre Lösung wählen wir aufgrund der rechten Seite der Differentialgleichung einen unbestimmten Ansatz der Form $y_p(x) =m \cos(2x)+n\sin(2x),\quad y_p'(x)=-2m\sin(2x)+2n\cos(2x), \\ y_p''(x) =-4m\cos(2x)+(-4n\sin(2x))$ (Achtung mit den Vorzeichen bei der Ableitung von Sinus und Cosinus) und setzen dies in die Differentialgleichung ein: $6 (2 n \cos (2 x)-2 m \sin (2 x))+9 (m \cos (2 x)+n \sin (2 x))-4 m \cos (2 x)-4 n \sin (2 x)=\cos (2 x), \\ (5 n-12 m) \sin (2 x)+(5 m+12 n-1) \cos (2 x)=0.$ Wir müssen nun eine Art Koeffizientenvergleich für Sinus und Cosinus durchführen (bzw. damit die Gleichung für beliebige x erfüllt ist, müssen die Koeffizienten vor Sinus und Cosinus 0 sein). Dies führt auf ein lineares Gleichungssystem in n und m $5 m+12 n=1, \\ 12 m=5 n.$ Daher ergibt sich für die gesuchten n und m als Lösung des linearen Gleichungssystems $\{m,n\}=\left\{\frac{5}{169},\frac{12}{169}\right\}$ $y(x)=y_h(x)+y_p(x)=c_1 e^{-3 x}+c_2 e^{-3 x} x+\frac{12}{169} \sin (2 x)+\frac{5}{169} \cos (2 x)$

Lösen Sie die lineare inhomogene Differentialgleichung zweiter Ordnung $y''(x)-8 y'(x)+16 y(x)=\cos (2 x)$ Nr. 4942
	$y(x)=c_1 e^{4 x}+c_2 e^{4 x} x-\frac{1}{25} \sin (2 x)+\frac{3}{100} \cos (2 x)$
	$y(x)=c_1 e^{4 x}+c_2 e^{4 x} x-\frac{1}{5} \sin (2 x)-\frac{1}{5} \cos (2 x)$
	$y(x)=c_1 e^{4 x}+c_2 e^{4 x} x$
	$y(x)=c_1 e^{4 x}+c_2 e^{4 x} -\frac{21}{22} \sin (2 x)-\frac{7}{22} \cos (2 x)$
	$y(x)=c_1 e^{4 x}+c_2 e^{-4 x}+\frac{1}{8} \sin (2 x)+\frac{1}{16} \cos (2 x)$
Lösungsweg Die Differentialgleichung ist linear und zweiter Ordnung, jedoch inhomogen! Wir lösen zunächst die homogene Gleichung. Wir nehmen daher an, dass eine Lösung proportional zu $e^{\lambda x}$ ist und erinnern uns, dass dann gilt $y'(x)=\lambda e^{\lambda x}, \qquad y''(x)=\lambda^2 e^{\lambda x}.$ Daraus lässt sich das charakteristische Polynom aus der Differentialgleichung herleiten $\lambda ^2-8 \lambda +16=0\" data-mce-src=$ mit den Lösungen $\lambda _1=4,\qquad\lambda _2=4.$ Das charakteristische Polynom hat also eine Doppellösung. Wir erinnern uns, dass der Ansatz für die Lösung dann anders ist (siehe Skript), es ergibt sich die homogene Lösung $y_h(x)=c_1 e^{4 x}+c_2 x e^{4 x}.$ Für die partikuläre Lösung wählen wir aufgrund der rechten Seite der Differentialgleichung einen unbestimmten Ansatz der Form $y_p(x) =m \cos(2x)+n\sin(2x),\quad y_p'(x)=-2m\sin(2x)+2n\cos(2x), \\ y_p''(x) =-4m\cos(2x)+(-4n\sin(2x))$ (Achtung mit den Vorzeichen bei der Ableitung von Sinus und Cosinus) und setzen dies in die Differentialgleichung ein: $-8 (2 n \cos (2 x)-2 m \sin (2 x))+16 (m \cos (2 x)+n \sin (2 x))-4 m \cos (2 x)-4 n \sin (2 x)=\cos (2 x), \\ 4 (4 m+3 n) \sin (2 x)+(12 m-16 n-1) \cos (2 x)=0.$ Wir müssen nun eine Art Koeffizientenvergleich für Sinus und Cosinus durchführen (bzw. damit die Gleichung für beliebige x erfüllt ist, müssen die Koeffizienten vor Sinus und Cosinus 0 sein). Dies führt auf ein lineares Gleichungssystem in n und m $12 m=16 n+1, \\ 4 m+3 n=0.$ Daher ergibt sich für die gesuchten n und m als Lösung des linearen Gleichungssystems $\{m,n\}=\left\{\frac{3}{100},-\frac{1}{25}\right\}$ $y(x)=y_h(x)+y_p(x)=c_1 e^{4 x}+c_2 e^{4 x} x-\frac{1}{25} \sin (2 x)+\frac{3}{100} \cos (2 x)$

Lösen Sie die lineare inhomogene Differentialgleichung zweiter Ordnung $y''(x)-12 y'(x)+36 y(x)=2 \cos (x)$ Nr. 4943
	$y(x)=c_1 e^{6 x}+c_2 e^{6 x} x-\frac{24 \sin (x)}{1369}+\frac{70 \cos (x)}{1369}$
	$y(x)=c_1 e^{6 x}+c_2 e^{-6 x} +\frac{44 \sin (x)}{285}+\frac{11 \cos (x)}{95}$
	$y(x)=c_1 e^{6 x} -\frac{11 \sin (x)}{126}-\frac{11 \cos (x)}{42}$
	$y(x)=c_1 e^{-6 x}+c_2 e^{-6 x} x-\frac{4 \sin (x)}{95}-\frac{2 \cos (x)}{95}$
	$y(x)=c_1 e^{6 x}+c_2 e^{6 x} x+\frac{3 \sin (x)}{52}+\frac{\cos (x)}{52}$
Lösungsweg Die Differentialgleichung ist linear und zweiter Ordnung, jedoch inhomogen! Wir lösen zunächst die homogene Gleichung. Wir nehmen daher an, dass eine Lösung proportional zu $e^{\lambda x}$ ist und erinnern uns, dass dann gilt $y'(x)=\lambda e^{\lambda x}, \qquad y''(x)=\lambda^2 e^{\lambda x}.$ Daraus lässt sich das charakteristische Polynom aus der Differentialgleichung herleiten $\lambda ^2-12 \lambda +36=0$ mit den Lösungen $\lambda _1=6,\qquad\lambda _2=6.$ Das charakteristische Polynom hat also eine Doppellösung. Wir erinnern uns, dass der Ansatz für die Lösung dann anders ist (siehe Skript), es ergibt sich die homogene Lösung $y_h(x)=c_1 e^{6 x}+c_2 x e^{6 x}.$ Für die partikuläre Lösung wählen wir aufgrund der rechten Seite der Differentialgleichung einen unbestimmten Ansatz der Form $y_p(x) =m \cos(1x)+n\sin(1x),\quad y_p'(x)=-1m\sin(1x)+(1n\cos(1x)), \\ y_p''(x) =-1m\cos(1x)+(-1n\sin(1x))$ (Achtung mit den Vorzeichen bei der Ableitung von Sinus und Cosinus) und setzen dies in die Differentialgleichung ein: $-12 (n \cos (x)-m \sin (x))+36 (m \cos (x)+n \sin (x))-m \cos (x)-n \sin (x)=2 \cos (x), \\ (12 m+35 n) \sin (x)+(35 m-12 n-2) \cos (x)=0.$ Wir müssen nun eine Art Koeffizientenvergleich für Sinus und Cosinus durchführen (bzw. damit die Gleichung für beliebige x erfüllt ist, müssen die Koeffizienten vor Sinus und Cosinus 0 sein). Dies führt auf ein lineares Gleichungssystem in n und m $35 m=12 n+2, \\ 12 m+35 n=0.$ Daher ergibt sich für die gesuchten n und m als Lösung des linearen Gleichungssystems $\{m,n\}=\left\{\frac{70}{1369},-\frac{24}{1369}\right\}$ $y(x)=y_h(x)+y_p(x)=c_1 e^{6 x}+c_2 e^{6 x} x-\frac{24 \sin (x)}{1369}+\frac{70 \cos (x)}{1369}$

Lösen Sie die lineare inhomogene Differentialgleichung zweiter Ordnung $y''(x)+4 y'(x)+4 y(x)=2 \cos (x)$ Nr. 4944
	$y(x)=c_1 e^{-2 x}+c_2 e^{-2 x} x+\frac{8 \sin (x)}{25}+\frac{6 \cos (x)}{25}$
	$y(x)=c_1 e^{-2 x} -\frac{12 \sin (x)}{71}-\frac{6 \cos (x)}{71}$
	$y(x)=c_1 e^{-2 x}+c_2 e^{2 x} +\frac{5 \sin (x)}{57}+\frac{5 \cos (x)}{38}$
	$y(x)=c_1 e^{2 x}+c_2 e^{2 x} x+\frac{3 \sin (x)}{19}+\frac{\cos (x)}{19}$
	$y(x)=c_1 e^{2 x}+c_2 e^{2 x} x+\frac{8 \sin (x)}{111}+\frac{8 \cos (x)}{37}$
Lösungsweg Die Differentialgleichung ist linear und zweiter Ordnung, jedoch inhomogen! Wir lösen zunächst die homogene Gleichung. Wir nehmen daher an, dass eine Lösung proportional zu $e^{\lambda x}$ ist und erinnern uns, dass dann gilt $y'(x)=\lambda e^{\lambda x}, \qquad y''(x)=\lambda^2 e^{\lambda x}.$ Daraus lässt sich das charakteristische Polynom aus der Differentialgleichung herleiten $\lambda ^2+4 \lambda +4=0$ mit den Lösungen $\lambda _1=-2,\qquad\lambda _2=-2.$ Das charakteristische Polynom hat also eine Doppellösung. Wir erinnern uns, dass der Ansatz für die Lösung dann anders ist (siehe Skript), es ergibt sich die homogene Lösung $y_h(x)=c_1 e^{-2 x}+c_2 x e^{-2 x}.$ Für die partikuläre Lösung wählen wir aufgrund der rechten Seite der Differentialgleichung einen unbestimmten Ansatz der Form $y_p(x) =m \cos(1x)+n\sin(1x),\quad y_p'(x)=-1m\sin(1x)+ 1n\cos(1x), \\ y_p''(x) =-1m\cos(1x)+(-1n\sin(1x))$ (Achtung mit den Vorzeichen bei der Ableitung von Sinus und Cosinus) und setzen dies in die Differentialgleichung ein: $4 (n \cos (x)-m \sin (x))+4 (m \cos (x)+n \sin (x))-m \cos (x)-n \sin (x)=2 \cos (x), \\ (3 n-4 m) \sin (x)+(3 m+4 n-2) \cos (x)=0.$ Wir müssen nun eine Art Koeffizientenvergleich für Sinus und Cosinus durchführen (bzw. damit die Gleichung für beliebige x erfüllt ist, müssen die Koeffizienten vor Sinus und Cosinus 0 sein). Dies führt auf ein lineares Gleichungssystem in n und m $3 m+4 n=2, \\ 4 m=3 n.$ Daher ergibt sich für die gesuchten n und m als Lösung des linearen Gleichungssystems $\{m,n\}=\left\{\frac{6}{25},\frac{8}{25}\right\}$ $y(x)=y_h(x)+y_p(x)=c_1 e^{-2 x}+c_2 e^{-2 x} x+\frac{8 \sin (x)}{25}+\frac{6 \cos (x)}{25}$

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