Fragenliste von Partielle Differentiale

Leiten Sie partiell nach x ab. $f(x,y,z)= e^{xy}-4z$ Nr. 3879
	$ye^{xy}$
	$e^{xy}$
	$xe^{xy}$
	-4
Lösungsweg y und z als Konstanten behandeln

Welches sind partielle Ableitungen der Funktion $f(x,y)=\frac{\sqrt{e^x+y}}{3}$ Nr. 3926
	$\frac{\part f}{\part x}=\frac{e^x}{6\sqrt{e^x+y}}$
	$\frac{\part f}{\part y}=\frac{e^x}{6\sqrt{e^x+y}}$
	$\frac{\part f}{\part x}=\frac{1}{6\sqrt{e^x+y}}$
	$\frac{\part f}{\part y}=\frac{1}{6\sqrt{e^x+y}}$
Lösungsweg $f(x,y)=\frac{\sqrt{e^x+y}}{3}$ $\frac{\part f}{\part x}= \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2}(e^x+y)^{-\frac{1}{2}} \cdot e^x= \frac{e^x}{6\sqrt{e^x+y}}$ $\frac{\part f}{\part y}=\frac13 \cdot \frac12 (e^x+y)^{-\frac12} \cdot 1 =\frac{1}{6\sqrt{e^x+y}}$

Welches sind partielle Ableitungen der Funktion $f(x,y)=\sin(4x+y^2)$ Nr. 3927
	$\frac{\part f}{\part x}=4\cos(4x)$
	$\frac{\part f}{\part x}=4\cos(4x+y^2)$
	$\frac{\part f}{\part y}=8y\cos(4x+y^2)$
	$\frac{\part f}{\part y}=2y\cos(4x+y^2)$
Lösungsweg Innere Ableitung mal äußere Ableitung

Leiten Sie partiell nach z ab. $f(x,y,z)= e^{xy}-4z$ Nr. 3928
	$e^{xy}-4$
	$xye^{xy}-4$
	$-4$
Lösungsweg x und y als Konstanten behandeln

Welches sind partielle Ableitungen der Funktion $f(x,y)=\frac{2y}{3x}$ Nr. 3929
	$\frac{\part f}{\part x}=-\frac{2y}{3x^2}$
	$\frac{\part f}{\part x}=-\frac{2}{3x^2}$
	$\frac{\part f}{\part y}=\frac{2}{3x}$
	$\frac{\part f}{\part y}=-\frac{2}{3x^2}$

Was ist der Gradient $\nabla f$ von $f(x,y)=3x^2-2xy$ an der Stelle (1,2) ? Nr. 4037
	-1
	$\begin{pmatrix}1\\ -4 \end{pmatrix}$
	$\begin{pmatrix}2 \\ -2 \end{pmatrix}$
Lösungsweg $f(x,y)=3x^2-2xy$ Partielle Ableitungen: $\frac{\part f}{\part x}= 6x-2y$ $\frac{\part f}{\part y}= -2x$ $\nabla f= \begin{pmatrix}6x-2y \\ -2x \end{pmatrix}$ $\nabla f (1,2) = \begin{pmatrix}2 \\ -2 \end{pmatrix}$

Was ist der Gradient $\nabla f$ der Funktion $f(x,y,z)=x^2y+3z$ and der Stelle (1,3,9)? Nr. 4038
	$\begin{pmatrix}6 \\ 1\\ 3 \end{pmatrix}$
	$\begin{pmatrix}1 \\ 3\\ 27 \end{pmatrix}$
	30
Lösungsweg $f(x,y,z)=x^2y+3z$ Partielle Ableitungen: $\frac{\part f}{\part x}= 2xy$ $\frac{\part f}{\part y}= x^2$ $\frac{\part f}{\part z}= 3$ $\nabla f= \begin{pmatrix}2xy \\ x^2 \\ 3 \end{pmatrix}$ $\nabla f (1,3,9) = \begin{pmatrix}6 \\ 1\\ 3 \end{pmatrix}$

Bestimmen Sie den Gradienten der folgenden Funktion: $f(x,y) = x^2 + y^2$ Nr. 4207
	$\nabla f = \left( \begin{array}{c} 2x \\\ 2y \\\ \end{array}\right)$
	$\nabla f = \left( \begin{array}{c} 2y \\\ 2x \\\ \end{array}\right)$
	$\nabla f = 2x + 2y$
	$\nabla f = \left( \begin{array}{c} x^2 \\\ y^2 \\\ \end{array}\right)$
Lösungsweg Der Gradient ist gegeben durch: $\nabla f = \left( \begin{array}{c} \frac{\partial f}{\partial x} \\\ \frac{\partial f}{\partial y} \\\ \end{array}\right) = \left( \begin{array}{c} 2x \\\ 2y \\\ \end{array}\right)$

Geben Sie die Divergenz des folgenden Vektorfeldes an: $\vec{A} (\vec{r}) = \left( \begin{array}{c} xy^2 \\\ xyz \\\ x^2+z^2 \\\ \end{array}\right)$ Nr. 4208
	$= 2xy + yz + x^2 +2z$
	$= \left( \begin{array}{c} y^2 \\\ xz \\\ 2z \\\ \end{array}\right)$
	$= y^2 + xz + 2z$
Lösungsweg $div \vec{A} = \nabla \cdot \vec{A} = \frac{\partial A_x}{\partial x} + \frac{\partial A_y}{\partial y} + \frac{\partial A_z}{\partial z} = \\$ $= \frac{\partial y^2x}{\partial x} + \frac{\partial xyz}{\partial y} + \frac{\partial (x^2+z^2)}{\partial z}$ $= y^2 + xz + 2z$

Berechnen Sie den Gradienten der folgenden Funktion: $f(x,y,z) = \sqrt{x^2+y^2+z^2}$ Nr. 4212
	$\nabla f(x, y, z) = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}\left( \begin{array}{c} 2x \\\ 2y \\\ 2z \end{array}\right)$
	$\nabla f(x, y, z) = \frac{1 }{\sqrt{x^2 + y^2 + z^2}}\left( \begin{array}{c} x \\\ y \\\ z \end{array}\right)$
	$\nabla f(x, y, z) = 2\frac{x + y + z }{\sqrt{x^2 + y^2 + z^2}}$
Lösungsweg $\nabla f(x, y, z) = \left( \begin{array}{c} \frac{\partial f}{\partial x} \\\ \frac{\partial f}{\partial y} \\\ \frac{\partial f}{\partial z} \end{array}\right)$ $\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{1}{2} (x^2 + y^2 + z^2)^{-\frac{1}{2} } \cdot 2x = \frac{x}{\sqrt{x^2 + y^2 + z^2}} \\$ $\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{y}{\sqrt{x^2 + y^2 + z^2}} \\ \frac{\partial f}{\partial z} = \frac{z}{\sqrt{x^2 + y^2 + z^2}}$ Also erhält man für den Gradienten von f: $\nabla f(x, y, z) = \frac{1 }{\sqrt{x^2 + y^2 + z^2}}\left( \begin{array}{c} x \\\ y \\\ z \end{array}\right)$

Berechnen Sie den Gradienten von: $V(\vec{x})=\left(\begin{array}{c} {x+\sin x} \\ {e^{x}} \\ {\ln x} \end{array}\right) \cdot\left(\begin{array}{l} {x} \\ {y} \\ {z} \end{array}\right)$ . Nr. 4213
	$\nabla V(\vec{x})=\left(\begin{array}{c} {2x +x \cdot \cos x + \sin x + ye^x + z \frac{1}{x}} \\ {e^{x}} \\ {\ln x} \end{array}\right)$
	$\nabla V(\vec{x})=\left(\begin{array}{c} {2x - x \cdot \cos x + \sin x + ye^x + z \ln x } \\ {e^{x}} \\ { \frac{1}{x} } \end{array}\right)$
	$\nabla V(\vec{x})=2x +x \cdot \cos x + \sin x + ye^x + z \frac{1}{x}$
	$\nabla V(\vec{x})=\left(\begin{array}{c} {2x + \sin x + e^x + z \frac{1}{x}} \\ {e^{x}} \\ {\ln x} \end{array}\right)$
Lösungsweg $V(\vec{x})=\left(\begin{array}{c} {x+\sin x} \\ {e^{x}} \\ {\ln x} \end{array}\right) \cdot\left(\begin{array}{l} {x} \\ {y} \\ {z} \end{array}\right) = \\ = x^2 + x\cdot \sin x + ye^x + z\ln x$ $\nabla V(x, y, z) = \left( \begin{array}{c} { \frac{\partial V}{\partial x} }\\ { \frac{\partial V}{\partial y} } \\ { \frac{\partial V}{\partial z} } \end{array}\right)$ $\frac{\partial V}{\partial x} = 2x +x \cdot \cos x + \sin x + ye^x + z \frac{1}{x}$ $\frac{\partial V}{\partial y} = e^x$ $\frac{\partial V}{\partial z} = \ln x$ $\nabla V(\vec{x})=\left(\begin{array}{c} {2x +x \cdot \cos x + \sin x + ye^x + z \frac{1}{x}} \\ {e^{x}} \\ {\ln x} \end{array}\right)$

Berechnen Sie die Divergenz des Ortsvektors: $\vec{r}=\left(\begin{array}{c} {x} \\ {y} \\ {z} \end{array}\right)$ Nr. 4214
	= 0
	= 3
	$=\left(\begin{array}{c} {1} \\ {1} \\ {1} \end{array}\right)$
	= x + y + z
Lösungsweg $div (\vec{r}) = \nabla \cdot \left(\begin{array}{c} {x} \\ {y} \\ {z} \end{array}\right) =$ $= \frac{ \partial \vec{r_x} }{ \partial x} + \frac{ \partial \vec{r_y} }{ \partial y} + \frac{ \partial \vec{r_z} }{ \partial z} = \\ = 1 + 1 + 1 = 3$

Berechnen Sie für die folgende Funktion all ihre partiellen Ableitungen: $f(x,y,z) = x^3y +2z\cos x -y^2 \ln x$ Nr. 4235
	$\frac{ \partial f}{\partial x} = 3x^2y -2z \sin x -y^2\frac{1}{x}$ $\frac{ \partial f}{\partial y} = x^3 -2y \ln x \\ \frac{ \partial f}{\partial z} = 2\cos x$
	$\frac{ \partial f}{\partial x} = 3x^2 +2z \sin x -y^2\frac{1}{x}$ $\frac{ \partial f}{\partial y} = x^3 -2y \ln x \\ \frac{ \partial f}{\partial z} = 2\cos x$
	$\frac{ \partial f}{\partial x} = 3x^2y -2z \sin x -y^2\frac{1}{x}$ $\frac{ \partial f}{\partial y} = x^3 -2y\frac{1}{x} \\ \frac{ \partial f}{\partial z} = -2\cos x$
	$\frac{ \partial f}{\partial x} = x^2y +2z \cos x -y^2\ln x$ $\frac{ \partial f}{\partial y} = x^3 -2y \ln x \\ \frac{ \partial f}{\partial z} = 2\cos x$
Lösungsweg $f(x,y,z) = x^3y +2z\cos x -y^2 \ln x$ $\frac{ \partial f}{\partial x} = 3x^2y -2z \sin x -y^2\frac{1}{x}$ $\frac{ \partial f}{\partial y} = x^3 -2y \ln x \\ \frac{ \partial f}{\partial z} = 2\cos x$

Berechnen Sie für die folgende Funktion all ihre partiellen Ableitungen: $f(x,y) = -y^2 \ln (3x) - x^3e^{2y} +2y\cos (x^2)$ Nr. 4236
	$\frac{ \partial f}{\partial x} = \frac{-y^2}{3x} -3x^2e^{2y} -4xy \sin (x^2)$ $\frac{ \partial f}{\partial y} = -2y \ln (3x) -2x^3e^{2y}+2\cos (x^2)$
	$\frac{ \partial f}{\partial x} = \frac{-y^2}{x} -3x^2e^{2y} -4xy \sin (x^2)$ $\frac{ \partial f}{\partial y} = -2y \ln (3x) -2x^3e^{2y}+2\cos (x^2)$
	$\frac{ \partial f}{\partial x} = \frac{-y^2}{x} -3x^2e^{2y} -2y \sin (x^2)$ $\frac{ \partial f}{\partial y} = -2y \ln (3x) -x^3e^{2y}+2\cos (x^2)$
Lösungsweg $f(x,y) = -y^2 \ln (3x) - x^3e^{2y} +2y\cos (x^2)$ $\frac{ \partial f}{\partial x} = -y^2 \frac{1}{x} -3x^2e^{2y} -2y \sin (x^2)2x = \\ = \frac{-y^2}{x} -3x^2e^{2y} -4xy \sin (x^2)$ $\frac{ \partial f}{\partial y} = -2y \ln (3x) -2x^3e^{2y}+2\cos (x^2)$

Berechnen Sie die Rotation des folgenden Vektorfeldes: $\vec{F}= \left( \array { {x} \\ {y} \\ {z} } \right)$ Nr. 4407
	$\vec{\nabla} \times \vec{F} = \left( \array { { y} \\ {-z} \\ {x}} \right)$
	$\vec{\nabla} \times \vec{F} = \left( \array { { 0} \\ {0} \\ {0}} \right)$
	$\vec{\nabla} \times \vec{F} = x+y+z$
	$\vec{\nabla} \times \vec{F} = \left( \array { { 1} \\ {-1} \\ {1}} \right)$
Lösungsweg $\vec{\nabla} \times \vec{F} = \Bigg( \array { {\partial_x} \\ {\partial_y} \\ {\partial_z} } \Bigg) \times \Big( \array { {x} \\ {y} \\ {z} } \Big)$ $= \Bigg( \array { { \partial_y ( z) - \partial_z(y) } \\ { \partial_z(x) - \partial_x(z) } \\ { \partial_x(y) - \partial_y(x) } } \Bigg) = \Big( \array { { 0} \\ {0} \\ {0}} \Big)$

Berechnen Sie die Rotation des folgenden Vektorfeldes: $\vec{F}= \left( \array { {2x-y} \\ {y+z^2} \\ {3} } \right)$ Nr. 4408
	$\vec{\nabla} \times \vec{F} =-2z+1$
	$\vec{\nabla} \times \vec{F} =\left( \array { { 2z} \\ {x} \\ {-1}} \right)$
	$\vec{\nabla} \times \vec{F} =\left( \array { { -2z} \\ {0} \\ {1}} \right)$
	$\vec{\nabla} \times \vec{F} =2x+1$
	$\vec{\nabla} \times \vec{F} =\left( \array { { x- 2z} \\ {3} \\ {-y}} \right)$
Lösungsweg $\vec{\nabla} \times \vec{F} = \Bigg( \array { {\partial_x} \\ {\partial_y} \\ {\partial_z} } \Bigg) \times \Bigg( \array { {2x-y} \\ {y+z^2} \\ {3} } \Bigg)$ $= \Bigg( \array { { \partial_y ( 3) - \partial_z(y+z^2) } \\ { \partial_z(2x-y) - \partial_x(3) } \\ { \partial_x(y+z^2) - \partial_y(2x-y) } } \Bigg)$ $= \Big( \array { { -2z} \\ {0} \\ {1}} \Big)$

Berechnen Sie die Rotation des folgenden Vektorfeldes: $\vec{F}= \left( \array { {xyz} \\ {x^2-z} \\ {\cos (x)} } \right)$ Nr. 4409
	$\vec{\nabla} \times \vec{F} = 0$
	$\vec{\nabla} \times \vec{F} = 1-\sin(x) +2xz$
	$\vec{\nabla} \times \vec{F} = \left( \array { {0 } \\ { z - \sin (x)) } \\ { -2x +x z) } } \right)$
	$\vec{\nabla} \times \vec{F} = \left( \array { {1 } \\ { xy+\sin (x)) } \\ { x(2 - z) } } \right)$
	$\vec{\nabla} \times \vec{F} = \left( \array { {-1 } \\ {3 } \\ {0 } } \right)$
Lösungsweg $\vec{\nabla} \times \vec{F} = \Bigg( \array { {\partial_x} \\ {\partial_y} \\ {\partial_z} } \Bigg) \times \Bigg( \array { {xyz} \\ {x^2-z} \\ {\cos (x)} } \Bigg)$ $= \Bigg( \array { { \partial_y ( \cos (x)) - \partial_z(x^2-z) } \\ { \partial_z(xyz) - \partial_x(\cos (x)) } \\ { \partial_x(x^2-z) - \partial_y(xyz) } } \Bigg) =$ $= \Bigg( \array { {0 - (-1) } \\ { xy - (-\sin (x)) } \\ { 2x - xz } } \Bigg) = \Bigg( \array { {1 } \\ { xy+\sin (x)) } \\ { x(2 - z) } } \Bigg)$

Berechnen Sie die Rotation des folgenden Vektorfeldes: $\vec{F}= \left( \array { {3y} \\ {5z} \\ {-x} } \right)$ Nr. 4410
	$\vec{\nabla} \times \vec{F} = \left( \array { { -5} \\ {1} \\ {-3}} \right)$
	$\vec{\nabla} \times \vec{F} = 7$
	$\vec{\nabla} \times \vec{F} = \left( \array { { 5z} \\ {3y} \\ {-1}} \right)$
	$\vec{\nabla} \times \vec{F} = \left( \array { { 4} \\ {-1} \\ {7}} \right)$
	$\vec{\nabla} \times \vec{F} = -8$
Lösungsweg $\vec{\nabla} \times \vec{F} = \Bigg( \array { {\partial_x} \\ {\partial_y} \\ {\partial_z} } \Bigg) \times \Bigg( \array { {3y} \\ {5z} \\ {-x} } \Bigg)$ $= \Bigg( \array { { \partial_y ( -x) - \partial_z(5z) } \\ { \partial_z(3y) - \partial_x(-x) } \\ { \partial_x(5z) - \partial_y(3y) } } \Bigg) = \Big( \array { { -5} \\ {1} \\ {-3}} \Big)$

Berechnen Sie die Rotation des folgenden Vektorfeldes: $\vec{F}= \left( \array { {e^y} \\ {\ln x} \\ {-2xz} } \right)$ Nr. 4411
	$\vec{\nabla} \times \vec{F} = \left( \array { { e^y \frac{1}{x}} \\ {-xz} \\ { \ln(x) -\frac{1}{x}}} \right)$
	$\vec{\nabla} \times \vec{F} = e^y + \frac{1}{x}} -2z$
	$\vec{\nabla} \times \vec{F} = \left( \array { { \frac{1}{x}} \\ {2z+ e^y} \\ { - 1}} \right)$
	$\vec{\nabla} \times \vec{F} = \left( \array { { 0} \\ {2z} \\ {\frac{1}{x} - e^y}} \right)$
	$\vec{\nabla} \times \vec{F} = \frac{1}{x}} -e^y + 2x$
Lösungsweg $\vec{\nabla} \times \vec{F} = \Bigg( \array { {\partial_x} \\ {\partial_y} \\ {\partial_z} } \Bigg) \times \Bigg( \array { {e^y} \\ {\ln x} \\ {-2xz} } \Bigg)$ $= \Bigg( \array { { \partial_y ( -2xz) - \partial_z(\ln x) } \\ { \partial_z(e^y) - \partial_x(-2xz) } \\ { \partial_x(\ln x) - \partial_y(e^y) } } \Bigg)$ $= \Bigg( \array { { 0} \\ {2z} \\ {\frac{1}{x} - e^y}} \Bigg)$

Berechnen Sie: $\frac{ \partial f}{ \partial x}$ der folgenden Funktion: $f(x,y,z) = 2ye^{-2x}- \ln x + 4x\cos(z)$ Nr. 4412
	$\frac{ \partial f}{ \partial x} = -4ye^{-2x} - \frac{1}{x} +4\cos(z)$
	$\frac{ \partial f}{ \partial x} = 2ye^{-2x} - \frac{1}{x} -4x\sin(z)$
	$\frac{ \partial f}{ \partial x} = e^{-2x} - x\ln x +4\cos(z)$
	$\frac{ \partial f}{ \partial x} = 2ye^{-2x} - \frac{1}{\ln x} +x\cos(z)$
Lösungsweg $\frac{ \partial f}{ \partial x} = -4ye^{-2x} - \frac{1}{x} +4\cos(z)$

Wie lauten die partiellen Ableitungen der folgenden Funktion: $f(x,y) = \ln y \cdot \sin x -4ye^{-x}$ Nr. 4413
	$\frac{ \partial f}{ \partial x} = \ln y \cdot \cos x +4ye^{-x}$
	$\frac{ \partial f}{ \partial x} = -\cos x \cdot \ln y - 4ye^{-x}$
	$\frac{ \partial f}{ \partial y} = \frac{1}{y} \sin x -4e^{-x}$
	$\frac{ \partial f}{ \partial y} = \frac{\cos x}{y} -4$
	$\frac{ \partial f}{ \partial x} = \ln y \cdot \cos x -4y$
Lösungsweg $\frac{ \partial f}{ \partial x} = \ln y \cdot \cos x +4ye^{-x}$ $\frac{ \partial f}{ \partial y} = \frac{1}{y} \sin x -4e^{-x}$

Berechnen Sie das totale Differential der folgenden Funktion: $f(x,y)= 3x^2y-4xy^3$ Nr. 4414
	$df = 3$
	$df = (6xy-4y^3)dy +(3x^2-12xy^2)dx$
	$df = 6xy-4y^3+3x^2-12xy^2$
	$df = (6xy-4y^3)dx +(3x^2-12xy^2)dy$
	$df = -5$
Lösungsweg $d f = \frac{ \partial f}{\partial x} dx + \frac{ \partial f}{\partial y} dy =$ $\frac{ \partial (3x^2y-4xy^3)}{\partial x} dx + \frac{ \partial (3x^2y-4xy^3)}{\partial y} dy =$ $= (6xy-4y^3)dx +(3x^2-12xy^2)dy$

Berechnen Sie das totale Differential der folgenden Funktion: $f(x,y,z)= 2y\cos x - \frac{2z}{3}e^y$ Nr. 4415
	$df=0$
	$df= -2y\sin x + 2\cos x-\frac{2z}{3}e^y(z+1)$
	$df= 2y\sin x \ \mathrm{d}x + (2\cos x-\frac{2z}{3}) \ \mathrm{d}y -\frac{2}{3}e^y \ \mathrm{d}z$
	$df= -2y\sin x\ \mathrm{d}x + (2\cos x-\frac{2z}{3}e^y)\ \mathrm{d}y -\frac{2}{3}e^y \ \mathrm{d}z$
	$df= dx-2dy+3dz$
Lösungsweg $d f = \frac{ \partial f}{\partial x} dx + \frac{ \partial f}{\partial y} dy + \frac{ \partial f}{\partial z} dz =$ $\frac{ \partial ( 2y\cos x - \frac{2z}{3}e^y)}{\partial x} dx + \frac{ \partial ( 2y\cos x - \frac{2z}{3}e^y)}{\partial y} dy + \frac{ \partial ( 2y\cos x - \frac{2z}{3}e^y)}{\partial z} dz=$ $= -2y\sin xdx + (2\cos x-\frac{2z}{3}e^y)dy -\frac{2}{3}e^ydz$

Berechnen Sie das totale Differential der folgenden Funktion: $f(r, \varphi) = r^2 (\cos \varphi + \sin \varphi)$ Nr. 4416
	$df = 2r (\cos \varphi - \sin \varphi) \ \mathrm{d}r + ( - \sin \varphi+\cos \varphi) \ \mathrm{d} \varphi$
	$df = 2r\cos \varphi + 2r\sin \varphi + r^2\cos \varphi + r^2\sin \varphi$
	$df = -2r$
	$df = 2r (\cos \varphi + \sin \varphi) \ \mathrm{d} r + r^2(\cos \varphi - \sin \varphi) \ \mathrm{d}\varphi$
	$df = \cos \varphi + \sin \varphi$
Lösungsweg $d f = \frac{ \partial f}{\partial r} dr + \frac{ \partial f}{\partial \varphi} d\varphi =$ $\frac{ \partial ( r^2 (\cos \varphi + \sin \varphi) )}{\partial r} dr + \frac{ \partial ( r^2 (\cos \varphi + \sin \varphi))}{\partial \varphi} d\varphi =$ $=2r (\cos \varphi + \sin \varphi)dr + r^2(\cos \varphi - \sin \varphi) d\varphi$

Berechnen Sie das totale Differential der folgenden Funktion: $f(r, \varphi) = \frac{1}{r} \sqrt{\cos \varphi -2\sin \varphi}$ Nr. 4417
	$df = -\frac{1}{r^2}\sqrt{\cos \varphi -2\sin \varphi} \; \mathrm{d}r - \frac{\sin \varphi +2\cos \varphi }{2r \sqrt{\cos \varphi -2\sin \varphi}} \ \mathrm{d} \varphi$
	$df = \frac{1}{r^2}\sqrt{\cos \varphi -2\sin \varphi} + \frac{\sin \varphi -2\cos \varphi }{\sqrt{\cos \varphi -2\sin \varphi}}$
	$df = -\frac{1}{r^2} \ \mathrm{d}r - \frac{\sin \varphi +2\cos \varphi }{2\sqrt{\cos \varphi -2\sin \varphi}} \ \mathrm{d}\varphi$
	$df = 0$
	$df = \frac{1}{r^2} \ \mathrm{d} r + \sqrt{-\sin \varphi -2\cos \varphi} \ \mathrm{d} \varphi$
Lösungsweg $d f = \frac{ \partial f}{\partial r} dr + \frac{ \partial f}{\partial \varphi} d\varphi =$ $\frac{ \partial (\frac{1}{r} \sqrt{\cos \varphi -2\sin \varphi} )}{\partial r} dr + \frac{ \partial ( \frac{1}{r} \sqrt{\cos \varphi -2\sin \varphi})}{\partial \varphi} d\varphi =$ $= -\frac{1}{r^2}\sqrt{\cos \varphi -2\sin \varphi} \; dr + \frac{1}{r} \cdot \frac{(-\sin \varphi -2\cos \varphi ) }{2 \sqrt{\cos \varphi -2\sin \varphi}} d\varphi =$ $= -\frac{1}{r^2}\sqrt{\cos \varphi -2\sin \varphi} \; dr - \frac{\sin \varphi +2\cos \varphi }{2r \sqrt{\cos \varphi -2\sin \varphi}} d\varphi$

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