Fragenliste von Kurvendiskussion

Bestimmen Sie die Extremwerte der folgenden Funktion: $f:\qquad x\to \frac{1}{8}x^{4}+\frac{1}{2}x^{3}$ Nr. 1544
	$T(-3/-\frac{27}{8})$
	$H(-3/-\frac{27}{8})$
	$T(-3/-\frac{27}{8}), H(0/0)$
	$H(-3/-\frac{27}{8}), T(0/0)$
	$H(0/0), T(-2/-2)$
Lösungsweg $\begin{eqnarray} f(x)=\frac{1}{8}x^{4}+\frac{1}{2}x^{3}\\ \vspace{10}\\ f'(x)=\frac{1}{2}x^{3}+\frac{3}{2}x^{2}\\ \vspace{10}\\ f''(x)=\frac{3}{2}x^{2}+3x\\ \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} f'(x)=0\\ \vspace{3}\\ \frac{1}{2}x^{3}+\frac{3}{2}x^{2}=0\\ \vspace{3}\\ \frac{1}{2}\cdot x^{2}\cdot (x+3)=0\\ \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x_{1}\,^{2}=0 \Rightarrow f(x_{1})=0\\ \vspace{5}\\ x+3=0 \Rightarrow x_{2}=-3 \Rightarrow f(x_{2})=-\frac{27}{8}=-3,38\\ \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} f''(x_{1})=f''(0) = 0 \Rightarrow keine\,Entscheidung!\\ \vspace{5}\\ f''(x_{2})= f''(-3)= \frac{27}{2}-9>0 \Rightarrow Tiefpunkt\,T(-3/-3,38) \end{eqnarray}$

Bestimmen Sie die Wendepunkte der folgenden Funktion: $f:\, x \to \frac{1}{8}x^{4}+\frac{1}{2}x^{3}$ Nr. 1545
	$W_{1}(0/0);\qquad W_{2}(-2/-2)$
	$W_{1}(0/2);\qquad W_{2}(2/-2)$
	$W_{1}(0/0);\qquad W_{2}(-2/0)$
	$W_{1}(0/0);\qquad W_{2}(-4/0)$
	$W(-3/-\frac{27}{8})$
Lösungsweg $\begin{eqnarray} f(x)=\frac{1}{8}x^{4}+\frac{1}{2}x^{3}\\ \vspace{10}\\ f'(x)=\frac{1}{2}x^{3}+\frac{3}{2}x^{2}\\ \vspace{10}\\ f''(x)=\frac{3}{2}x^{2}+3x\\ \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} f''(x)=0\\ \frac{3}{2}x^{2}+3x=0 \qquad \Rightarrow \qquad 3x\cdot(\frac{x}{2}+1)=0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x_{1}=0 \qquad \Rightarrow \qquad f(x_{1})=0\\ \vspace{5}\\ \frac{x}{2}+1=0\qquad \Rightarrow\qquad x_{2}=-2\qquad \Rightarrow\qquad f(x_{2})=-2 \end{eqnarray}$ $W_{1}(0/0); \qquad W_{2}(-2/-2)$

Wo besitzt folgende Funktion Extremwerte? $f:\qquad x \to x^{3}+2x^{2}-3x-4$ Nr. 1547
	Die Funktion besitzt einen Hochpunkt an der Stelle $x = -\frac{2}{3} +\frac{\sqrt{13}}{3}$ und einen Tiefpunkt an der Stelle $x = -\frac{2}{3} -\frac{\sqrt{13}}{3}$ .
	Die Funktion besitzt einen Tiefpunkt an der Stelle $x = -\frac{2}{3} +\frac{\sqrt{13}}{3}$ und einen Hochpunkt an der Stelle $x = -\frac{2}{3} -\frac{\sqrt{13}}{3}$ .
	Die Funktion besitzt einen Tiefpunkt an der Stelle $x = \frac{-2+\sqrt{13}}{3}$ und einen Hochpunkt an der Stelle $x = \frac{-2-\sqrt{13}}{3}$ .
	Die Funktion besitzt keine reellen Extremwerte.
	Die Funktion besitzt einen Extremwert an der Stelle $x = -\frac{2}{3}$ .
Lösungsweg $\begin{eqnarray} f(x)=x^{3}+2x^{2}-3x-4\\ f'(x)= 3x^{2}+4x-3\\ f''(x)=6x+4\\ f'(x)=0 \Rightarrow \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \vspace{5}\\ \Rightarrow 3x^{2}+4x-3=0\\ \vspace{5}\\ x^{2}+\frac{4}{3}\cdot x-1=0\\ x_{1,2}=-\frac{2}{3}\pm\sqrt{\frac{4}{9}+1} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x_{1,2}=-\frac{2}{3}\pm\frac{\sqrt{13}}{3}\\ \Rightarrow \qquad x_{1}=\frac{-2+\sqrt{13}}{3}=0,535\\ \vspace{5}\\ \Rightarrow x_{2}=\frac{-2-\sqrt{13}}{3}=-1,869 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} f(x_{1})=-4,879 \hspace{20} f(x_{2})=2,065\\ f''(x_{1})=7,2>0 \hspace{20} f''(x_{2})=-7,2<0\\ \Rightarrow T(0,535/-4,879) \hspace{20}\Rightarrow H(-1,869/2,065) \end{eqnarray}$

Bestimmen Sie den Wendepunkt der folgenden Funktion: $f:\qquad x \to x^{3}+2x^{2}-3x-4$ Nr. 1548
	Die Funktion besitzt keinen Wendepunkt.
	$W(-\frac{2}{3}/0)$
	$W(\frac{2}{3}/-\frac{22}{27})$
	$W(-\frac{2}{3}/-\frac{38}{27})$
Lösungsweg $\begin{eqnarray} f(x)=x^{3}+2x^{2}-3x-4\\ f'(x)= 3x^{2}+4x-3\\ f''(x)=6x+4\\ f''(x)=0\Rightarrow \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Rightarrow6x+4=0\\ \vspace{5}\\ x=-\frac{2}{3}=-0,67\\ \vspace{5}\\ f(-\frac{2}{3})=-\frac{38}{27}=-1,41 \end{eqnarray}$ $\Rightarrow \hspace{20} W(-\frac{2}{3}/-\frac{38}{27})$

Eine Polynomfunktion dritten Grades hat im Punkt P (-3/4) eine waagrechte Tangente, bei x=-2 einen Wendepunkt und die Nullstelle N (-1/0). Wie lautet die Funktionsgleichung? Nr. 1583
	$f(x)=x^{3}+6x^{2}+9x+4$
	$f(x)=-x^{3}-6x^{2}-9x-4$
	$f(x)=5x^{3}+7x^{2}-2$
	$f(x)=x^{3}+10x+11$
	Es gibt keine Polynomfunktion dritten Grades, die all diese Eigenschaften erfüllt.
Lösungsweg $\begin{eqnarray} f(x)=a_{3}x^{3}+a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}\\ \vspace{5}\\ f'(x)=3a_{3}x^{2}+2a_{2}x+a_{1}\\ \vspace{5}\\ f''(x)=6a_{3}x+2a_{2} \end{eqnarray}$ Die Angabe legt vier Gleichungen fest: $\begin{eqnarray} f(-3)=4 \Rightarrow -27a_{3}+9a_{2}-3a_{1}+a_{0}=4\\ f'(-3)=0 \Rightarrow 27a_{3}-6a_{2}+a_{1}=0\\ \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} f''(-2)=0 \Rightarrow -12a_{3}+2a_{2}=0\\ f(-1)=0 \Rightarrow -a_{3}+a_{2}-a_{1}+a_{0}=0\\ \end{eqnarray}$ Die Lösung des Gleichungssystems liefert: $\begin{eqnarray} a_{0}=4\\ a_{1}=9\\ a_{2}=6\\ a_{3}=1 \end{eqnarray}$ Ergebnis: $f(x)=x^{3}+6x^{2}+9x+4$

Bestimmen Sie die Extremwerte der folgenden Funktion: $f(x)=x^{3}+6x^{2}+9x+4$ Nr. 1584
	$\begin{eqnarray} H (-1/0)\\ T(-3/0) \end{eqnarray}$
	$\begin{eqnarray} H (-1/0)\\ T(-4/0) \end{eqnarray}$
	$\begin{eqnarray} H (-3/58)\\ T(-1/0) \end{eqnarray}$
	$\begin{eqnarray} H (-3/4)\\ T(-1/0) \end{eqnarray}$
	$\begin{eqnarray} T(-3/4)\\ H(-1/0) \end{eqnarray}$
Lösungsweg $\begin{eqnarray} f(x)=x^{3}+6x^{2}+9x+4\\ f'(x)=3x^{2}+12x+9\\ f''(x)=6x+12 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} f'(x)=0\\ 3x^{2}+12x+9=0\\ x^{2}+4x+3=0\\ \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x_{1,2}=-2\pm\sqrt{4-3}=-2\pm1\\ x_{1}=-3 \Rightarrow f(x_{1})=4\\ x_{2}=-1 \Rightarrow f(x_{2})=0 \end{eqnarray}$ Klassifikation der Extremwerte: $\begin{eqnarray} f''(x_{1})=f''(-3)=-6 \qquad <0 \Rightarrow Hochpunkt \qquad H(-3/4)\\ \vspace{5}\\ f''(x_{2})=f''(-1)=6 \qquad >0 \Rightarrow Tiefpunkt \qquad T(-1/0) \end{eqnarray}$

Bestimmen Sie den Wendepunkt der folgenden Funktion: $f(x)=x^{3}+6x^{2}+9x+4$ Nr. 1585
	$W_1(-1/0), W_2(-3/4)$
	$W(-2/2)$
	$W(2/-2)$
	$W(-2/0)$
Lösungsweg $\begin{eqnarray} f(x)=x^{3}+6x^{2}+9x+4\\ f'(x)=3x^{2}+12x+9\\ f''(x)=6x+12\\ f'''(x)=6 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} f''(x)=0\\ \vspace{5}\\ 6x+12=0\\ \vspace{10}\\ x=-2 \qquad \Rightarrow \qquad f(x)=2 \end{eqnarray}$ $Wendepunkt \qquad W(-2/2)$

Von einer Polynomfunktion 3. Grades sind folgende Eigenschaften bekannt: Der Graph schneidet die y-Achse bei y=2 und besitzt den Sattelpunkt S(2/6). Wie lautet die Funktionsgleichung? Nr. 1586
	$f(x)=2x^{3}-12x^{2}+24x+2$
	$f(x)=-\frac{1}{10}x^{3}+\frac{3}{5}x^{2}+\frac{3}{5}x+2$
	$f(x)=\frac{1}{2}x^{3}-3x^{2}+6x+2$
	$f(x)=- \frac{1}{2}x^{3}+3x^{2}-6x-2$
	$f(x)=x^{3}-6x^{2}+12x+2$
Lösungsweg $\begin{eqnarray} f(x)=a_{3}x^{3}+a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}\\ f'(x)=3a_{3}x^{2}+2a_{2}x+a_{1}\\ f''(x)=6a_{3}x+2a_{2}\\ \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} f(0)=2 \Rightarrow a_{0}=2\\ f(2)=6 \Rightarrow 8a_{3}+4a_{2}+2a_{1}+a_{0}=6\\ f'(2)=0 \Rightarrow 12a_{3}+4a_{2}+a_{1}=0\\ f''(2)=0 \Rightarrow 12a_{3}+2a_{2}=0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 8a_{3}+4a_{2}+2a_{1}=4\\ 12a_{3}+4a_{2}+a_{1}=0\\ 12a_{3}+2a_{2}=0\\ \rule[-10mm]{150cm}{1mm} \end{eqnarray}$ Vereinfacht: $\begin{eqnarray} 4a_{3}+2a_{2}+a_{1}=2\\ 12a_{3}+4a_{2}+a_{1}=0\\ 6a_{3}+a_{2}=0\\ \Rightarrow a_{2}=-6a_{3}\\ \rule[-10mm]{150cm}{1mm} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 4a_{3}-12a_{3}+a_{1}=2\\ 12a_{3}-24a_{3}+a_{1}=0\\ \rule[-10mm]{150cm}{1mm} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} -8a_{3}+a_{1}=2\\ -12a_{3}+a_{1}=0\\ \rule[-10mm]{150cm}{1mm} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 4a_{3}=2\\ \vspace{10}\\ \to a_{3}=\frac{1}{2}\\ \vspace{5}\\ \to a_{1}=6\\ \vspace{5}\\ \to a_{2}=-3 \end{eqnarray}$ Ergebnis: $f(x)=\frac{1}{2}x^{3}-3x^{2}+6x+2$

Untersuchen Sie, ob folgende Funktion Extremwerte besitzt: $f(x)=\frac{1}{2}x^{3}-3x^{2}+6x+2$ Nr. 1587
	Die Funktion besitzt keinen Extremwert.
	Die Funktion besitzt einen Hochpunkt an der Stelle $\begin{eqnarray} H(2/6)\\ \end{eqnarray}$ .
	Die Funktion besitzt einen Tiefpunkt an der Stelle $\begin{eqnarray} T(2/6)\\ \end{eqnarray}$ .
	Die Funktion besitzt einen Hochpunkt an der Stelle $\begin{eqnarray} H(2/0)\\ \end{eqnarray}$ .
	Die Funktion besitzt einen Extremwert an der Stelle $\begin{eqnarray} (2/6)\\ \end{eqnarray}$ .
Lösungsweg $\begin{eqnarray} f(x)=\frac{1}{2}x^{3}-3x^{2}+6x+2\\ f'(x)=\frac{3}{2}x^{2}-6x+6 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} f'(x)=0\\ \frac{3}{2}x^{2}-6x+6=0\\ x^{2}-4x+4=0\\ \vspace{10}\\ x_{1,2}=2\pm\sqrt{4-4}=2 \end{eqnarray}$ Außer der Stelle x=2 besitzt diese Funktion keine weitere Stelle mit horizontaler Tangente. Da die zweite Ableitung an dieser Stelle aber 0 ist, besitzt die Funktion daher keinen Extremwert.

Der Graph der Funktion $x \qquad \to \qquad f(x)=x^{3}+a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}$ besitzt den Sattelpunkt S(1/4). Berechnen Sie a1 und a2! Nr. 1589
	$f(x)=x^{3}-x^{2}+3x+1$
	$f(x)=x^{3}-8x^{2}+3x+3$
	$f(x)=x^{3}+3x^{2}-3x-3$
	$f(x)=x^{3}-3x^{2}+3x+3$
Lösungsweg $\begin{eqnarray} f(x)=x^{3}+a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}\\ f'(x)=3x^{2}+2a_{2}x+a_{1}\\ f''(x)=6x+2a_{2} \end{eqnarray}$ Aus der Tatsache, dass S(1/4) ein Sattelpunkt ist, lassen sich drei Gleichungen ableiten: $\begin{eqnarray} f(1)=4 \qquad \Rightarrow \qquad 1+a_{2}+a_{1}+a_{0}=4\\ f'(1)=0 \qquad \Rightarrow \qquad 3+2a_{2}+a_{1}=0\\ f''(1)=0 \qquad \Rightarrow \qquad 6+2a_{2}=0\\ \end{eqnarray}$ Ergebnis: $\begin{eqnarray} a_{2}=-3\\ a_{1}=3\\ a_{0}=3 \end{eqnarray}$ $f(x)=x^{3}-3x^{2}+3x+3$

Bestimmen Sie die Extremwerte der folgenden Funktion: $f(x)=x^{3}-3x^{2}+3x+3$ Nr. 1590
	$\begin{eqnarray} H(1/4)\\ \end{eqnarray}$
	$\begin{eqnarray} T(-1/4)\\ \end{eqnarray}$
	$\begin{eqnarray} H(1- \sqrt[3]{4}/0)\\ \end{eqnarray}$
	Die Funktion besitzt keine Extremwerte.
	$\begin{eqnarray} T(1- \sqrt[3]{4}/0)\\ \end{eqnarray}$
Lösungsweg $\begin{eqnarray} f(x)=x^{3}-3x^{2}+3x+3\\ f'(x)=3x^{2}-6x+3\\ f''(x)=6x-6 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} f'(x)=0\\ \vspace{5}\\ 3x^{2}-6x+3=0\\ \vspace{5}\\ x^{2}-2x+1=0\\ \vspace{5}\\ (x-1)^{2}=0\\ \vspace{5}\\ x_{1}=x_{2}=1 \end{eqnarray}$ Es liegt eine Doppelnullstelle der 1. Ableitungsfunktion vor. Das deutet auf einen Wendepunkt hin. (Wie man zb mit der zweiten Ableitung nachweisen kann, die an dieser Stelle 0 ist.)

Der Graph der Funktion $x \qquad \to \qquad P_{4}(x)=a_{4}x^{4}+a_{3}x^{3}+a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}$ besitzt im Ursprung einen Sattelpunkt. Im Punkt $P(-1/\frac{3}{4})$ hat die Steigung der Tangente den Wert -2. Berechnen Sie den vollständigen Funktionsterm! Nr. 2071
	$P_{4}(x)=-\frac{1}{4}x^{4}-x^{3}$
	$P_{4}(x)=\frac{1}{4}x^{4}+x^{3}$
	$P_{4}(x)=-\frac{1}{2}x^{4}-2x^{3}+x$
	$P_{4}(x)=4x^{4}-3x^{3}-2x^{2}-x$
Lösungsweg Es müssen fünf Gleichungen für die folgenden Unbekannten gefunden werden: $a_{0},\qquad a_{1},\qquad a_{2},\qquad a_{3},\qquad a_{4}$ Zuerst: $P_{4}(x)=a_{4}\cdot x^{4}+a_{3}\cdot x^{3}+a_{2}\cdot x^{2}+a_{1}\cdot x+a_{0}$ $P_{4}'(x)=4a_{4}\cdot x^{3}+3a_{3}\cdot x^{2}+2a_{2}\cdot x+a_{1}$ $P_{4}''(x)=12a_{4}\cdot x^{2}+6a_{3}\cdot x+2a_{2}$ Nun werden die Informationen aus der Angabe ausgewertet: $P_{4}(0)=0\qquad \to \qquad a_{0}=0$ $P_{4}'(0)=0\qquad \to \qquad a_{1}=0$ $P_{4}''(0)=0\qquad \to \qquad a_{2}=0$ $P_{4}(-1)=\frac{3}{4}\qquad \to \qquad a_{4}-a_{3}+a_{2}-a_{1}+a_{0}=\frac{3}{4}$ $P_{4}'(-1)=-2\qquad \to \qquad -4a_{4}+3a_{3}-2a_{2}+a_{1}=-2$ Dieses 5x5 Gleichungssystem reduziert sich sofort auf ein 2x2 Gleichungssystem: $a_{4}-a_{3}=\frac{3}{4}$ $-4a_{4}+3a_{3}=-2$ $\rule[-2]{150}{1}$ $4a_{4}-4a_{3}=3$ $-4a_{4}+3a_{3}=-2$ $\rule[-2]{150}{1}$ $a_{3}=-1$ $a_{4}=-\frac{1}{4}$ Ergebnis: $P_{4}(x)=-\frac{1}{4}x^{4}-x^{3}$

Bestimmen Sie die Extremwerte der folgenden Funktion: $P_{4}(x)=-\frac{1}{4}x^{4}-x^{3}$ Nr. 2072
	$T(-3/-6,75)$
	$T(-1/3)$
	$H(-3/6,75)$
	$H(-1/3)$
Lösungsweg $P_{4}(x)=-\frac{1}{4}x^{4}-x^{3}$ $P_{4}'(x)=-x^{3}-3x^{2}$ $P''_{4}(x)=-3x^{2}-6x$ $P_{4}'(x)=0$ $-x^{3}-3x^{2}=0$ $-x^{2}\cdot(x+3)=0$ $x_{1}^{(2)}=0$ $P_{4}(x_{1})=0$ $P_{4}''(x_{1})=0$ $x_{2}=-3$ $P_{4}(x_{2})=6,75$ $P_{4}''(x_{2})=-9<0$ $\to\qquad H(-3/6,75)$

Bestimmen Sie den/die Wendepunkt/e der folgenden Funktion: $P_{4}(x)=-\frac{1}{4}x^{4}-x^{3}$ Nr. 2073
	$W(2/-4)$
	$W_{1}(0/0)$ $W_{2}(-2/4)$
	$W_{1}(-4/4)$ $W_{2}(2/1)$
	$W(6/3)$
Lösungsweg $P_{4}(x)=-\frac{1}{4}x^{4}-x^{3}$ $P_{4}'(x)=-x^{3}-3x^{2}$ $P''_{4}(x)=-3x^{2}-6x$ $P_{4}''(x)=0$ $-3x^{2}-6x=0$ $-3x\cdot(x+2)=0$ $x_{1}=0$ $P_{4}(x_{1})=0$ $W_{1}(0/0)$ $x_{2}=-2$ $P_{4}(x_{2})=4$ $W_{2}(-2/4)$

Die Funktion $f:\qquad x\to a_{3}x^{3}+a_{2}x^{2}$ besitzt den Extremwert $E(4/4)$ . Berechnen Sie $a_{2}$ und $a_{3}$ . Nr. 2074
	$f(x)= -\frac{3}{4}x^{3}+\frac{1}{8}x^{2}$
	$f(x)=-x^{3}+4x^{2}$
	$f(x)= -\frac{1}{8}x^{3}+\frac{3}{4}x^{2}$
	$f(x)= 10x^{3}-6x^{2}$
Lösungsweg $f(x)=a_{3}x^{3}+a_{2}x^{2}$ $f'(x)=3a_{3}x^{2}+2a_{2}x$ $f(4)=4 \to\qquad 64a_{3}+16a_{2}=4$ $f'(4)=0 \to\qquad 48a_{3}+8a_{2}=0$ $\rule[-10]{150}{1}$ $64a_{3}+16a_{2}=4\qquad /:\qquad4$ $48a_{3}+8a_{2}=0 \qquad /:\qquad 8$ $\rule[-10]{150}{1}$ $16a_{3}+4a_{2}=1$ $6a_{3}+a_{2}=0$ $\rule[-10]{150}{1}$ $a_{2}=-6a_{3}$ $16a_{3}+4\cdot(-6a_{3})=1$ $16a_{3}-24a_{3}=1$ $a_{3}=-\frac{1}{8}$ $a_{2}=\frac{3}{4}$ $\to f(x)= -\frac{1}{8}\cdot x^{3}+\frac{3}{4}\cdot x^{2}$

Bestimmen Sie die Nullstellen der folgenden Funktion: $f(x)= -\frac{1}{8}x^{3}+\frac{3}{4}x^{2}$ Nr. 2075
	$N_{1}(0/0)$ $N_{2}(6/0)$
	$N_{1}(2/0)$ $N_{2}(1/0)$
	$N_{1}(3/0)$ $N_{2}(7/0)$
	$N_{1}(-2/0)$ $N_{2}(\frac{1}{2}/0)$
Lösungsweg $f(x)= -\frac{1}{8}x^{3}+\frac{3}{4}x^{2}$ $f(x)=0$ $-\frac{1}{8}x^{3}+\frac{3}{4}x^{2}=0$ $x^{2}(-\frac{1}{8}x+\frac{3}{4})=0$ $x_{1,2}=0$ $-\frac{1}{8}x+\frac{3}{4}=0$ $\frac{1}{8}x=\frac{3}{4}$ $x_{3}=6$ $\to N_{1}\,^{(2)}(0/0)$ $\to N_{2}(6/0)$

Bestimmen Sie die Extremwerte der folgenden Funktion: $f(x)= -\frac{1}{8}x^{3}+\frac{3}{4}x^{2}$ Nr. 2076
	$T(0/3)$ $H(6/6)$
	$T(0/0)$ $H(4/4)$
	$T(5/-7)$ $H(1/1)$
	$T(-3/-3)$ $H(6/6)$
Lösungsweg $f(x)= -\frac{1}{8}x^{3}+\frac{3}{4}x^{2}$ $f'(x)= -\frac{3}{8}x^{2}+\frac{3}{2}x$ $f''(x)=-\frac{3}{4}x+\frac{3}{2}$ $f'(x)=0$ $-\frac{3}{8}x^{2}+\frac{3}{2}x=0$ $x(-\frac{3}{8}x+\frac{3}{2})=0$ $x_{1}=0$ $-\frac{3}{8}x+\frac{3}{2}=0$ $\frac{3}{8}x=\frac{3}{2}\qquad \to \qquad x_{2}=4$ $f''(0)=\frac{3}{2}\qquad \to >\qquad 0\qquad \to T$ $f''(4)=-\frac{3}{2}\qquad \to < \qquad 0\qquad \to H$ Einsetzen der Werte in f(x): $\to T(0/0)$ $\to H(4/4)$

Bestimmen Sie den Wendepunkt der folgenden Funktion: $f(x)= -\frac{1}{8}x^{3}+\frac{3}{4}x^{2}$ Nr. 2077
	$W(5/5)$
	$W(-2/-2)$
	$W(1/1)$
	$W(2/2)$
Lösungsweg $f(x)= -\frac{1}{8}x^{3}+\frac{3}{4}x^{2}$ $f'(x)= -\frac{3}{8}x^{2}+\frac{3}{2}x$ $f''(x)=-\frac{3}{4}x+\frac{3}{2}$ $f''(x)=0$ $-\frac{3}{4}x+\frac{3}{2}=0$ $\frac{3}{4}x=\frac{3}{2}$ $x=2$ Einsetzen des Wertes in f(x): $\to \qquad W(2/2)$

Der Graph der Polynomfunktion $x\to P_{4}(x)=a_{4}x^{4}+a_{3}x^{3}-x^{2}$ hat den Wendepunkt $W(2/-4)$ . Wie lautet diese Polynomfunktion? Nr. 2078
	$P_{4}(x)=4x^{4}-3x^{3}-x^{2}$
	$P_{4}(x)=-\frac{1}{8}x^{4}+\frac{5}{6}x^{3}-x^{2}$
	$P_{4}(x)=\frac{1}{12}x^{4}-\frac{1}{6}x^{3}-x^{2}$
	$P_{4}(x)=-2x^{4}-\frac{1}{9}x^{3}-x^{2}$
Lösungsweg $P_{4}(x)=a_{4}x^{4}+a_{3}x^{3}-x^{2}$ $P'_{4}(x)=4a_{4}x^{3}+3a_{3}x^{2}-2x$ $P''_{4}(x)=12a_{4}x^{2}+6a_{3}x-2$ $I:\qquad \qquad \qquad P_{4}(2)=-4$ $II:\qquad P''_{4}(2)=0$ $\rule[10]{150}{1}$ $I:\qquad \qquad \qquad 16a_{4}+8a_{3}-4=-4$ $II:\qquad 48a_{4}+12a_{3}-2=0$ $\rule[10]{150}{1}$ $I:\qquad \qquad \qquad 2a_{4}+a_{3}=0$ $II:\qquad 24a_{4}+6a_{3}=1$ $\rule[10]{150}{1}$ $I: \qquad a_{3}=-2a_{4}$ $I\qquad in \qquad II:$ $24a_{4}+6(-2a_{4})=1$ $12a_{4}=1 \to \qquad a_{4}=\frac{1}{12}$ $a_{3}=-2a_{4} = -\frac{1}{6}$ $\to \qquad f(x)=P_{4}(x)=\frac{1}{12}x^{4}-\frac{1}{6}x^{3}-x^{2}$

Bestimmen Sie die Nullstellen der folgenden Funktion: $f(x)=\frac{1}{12}x^{4}-\frac{1}{6}x^{3}-x^{2}$ Nr. 2079
	$N_{1}(0/0)$ $N_{2}(4,61/0)$ $N_{3}(-2,61/0)$
	$N_{1}(7,34/0)$ $N_{2}(3,82/0)$ $N_{3}(-3/0)$
	$N_{1}(5,28/0)$ $N_{2}(-9/0)$ $N_{3}(-0,5/0)$
	$N_{1}(-3,92/0)$ $N_{2}(6,17/0)$ $N_{3}(-7,33/0)$
Lösungsweg $f(x)=\frac{1}{12}x^{4}-\frac{1}{6}x^{3}-x^{2}$ $f(x)=0$ $\frac{1}{12}x^{4}-\frac{1}{6}x^{3}-x^{2}=0$ $x^{2}\cdot (x^{2}-2x-12)=0$ $1.$ $x^{2}=0$ $x_{1,2}=0$ $\to \qquad N_{1}\,^{(2)}(0/0)$ $2.$ $x^{2}-2x-12=0$ Kleine Lösungsformel: $x_{3,4}=1\pm\sqrt{1+12}$ $x_{3}=1+\sqrt{13}=4,61$ $x_{4}=1-\sqrt{13}=-2,61$ $\to \qquad N_{2}(4,61/0)$ $\to \qquad N_{3}(-2,61/0)$

Bestimmen Sie die Extremwerte der folgenden Funktion: $f(x)=\frac{1}{12}x^{4}-\frac{1}{6}x^{3}-x^{2}$ Nr. 2080
	$H(1/1)$ $T(-1,81/-7,00)$ $T(-1,39/3,31)$
	$H(3/2)$ $T(-3,31/7,00)$ $T(1,81/1,39)$
	$H(4/4)$ $T(-7,00/3,31)$ $T(-1,39/-1,81)$
	$H(0/0)$ $T(3,31/-7,00)$ $T(-1,81/-1,39)$
Lösungsweg $f(x)=\frac{1}{12}x^{4}-\frac{1}{6}x^{3}-x^{2}$ $f'(x)=\frac{1}{3}x^{3}-\frac{1}{2}x^{2}-2x$ $f''(x)=x^{2}-x-2$ $f'''(x)=2x-1$ $f'(x)=0$ $\frac{1}{3}x^{3}-\frac{1}{2}x^{2}-2x=0$ $x\cdot (\frac{1}{3}\cdot x^{2}-\frac{1}{2}\cdot x-2)=0$ $1.$ $x_{1}=0$ $f(0)=0$ $f''(0)=-2 \qquad \to \qquad <\qquad 0 \qquad \to H(0/0)$ $2.$ $\frac{1}{3}\cdot x^{2}-\frac{1}{2}\cdot x-2=0$ große Lösungsformel: $x_{2}=\frac{3+\sqrt{105}}{4}=3,31 \qquad \to \qquad f(3,31)=-7,00$ $x_{3}=\frac{3-\sqrt{105}}{4}=-1,81 \qquad \to \qquad f(-1,81)=-1,39$ $f''(3,31)=5,66 \qquad \to \qquad > \qquad 0 \qquad \to \qquad T(3,31/-7,00)$ $f''(-1,81)=3,09 \qquad \to \qquad > \qquad 0 \qquad \to \qquad T(-1,81/-1,39)$

Bestimmen Sie die Wendepunkte der folgenden Funktion: $f(x)=\frac{1}{12}x^{4}-\frac{1}{6}x^{3}-x^{2}$ Nr. 2081
	$W_{1}(-1/-0,75)$ $W_{2}(2/-4)$
	$W_{1}(1/0,75)$ $W_{2}(-2/4)$
	$W_{1}(-1/-4)$ $W_{2}(2/-0,75)$
	$W_{1}(-0,75/-1)$ $W_{2}(-4/2)$
Lösungsweg $f(x)=\frac{1}{12}x^{4}-\frac{1}{6}x^{3}-x^{2}$ $f'(x)=\frac{1}{3}x^{3}-\frac{1}{2}x^{2}-2x$ $f''(x)=x^{2}-x-2$ $f'''(x)=2x-1$ $f''(x)=0$ $x^{2}-x-2=0$ Kleine Lösungsformel: $x_{1,2}=\frac{1}{2}\pm \sqrt{\frac{1}{4}+{2}}$ $x_{1}=-1 \qquad \to \qquad f(-1)=-\frac{3}{4}$ $x_{2}=2 \qquad \to \qquad f(2)=-4$ $W_{1}(-1/-0,75)$ $W_{2}(2/-4)$

Die Funktion $f:\, x\to -\frac{1}{8}x^{3}+a_{2}x^{2}+2$ besitzt einen Wendepunkt bei $x=2$ . Berechnen Sie $a_{2}$ . Nr. 2082
	$f(x)=-\frac{1}{8}x^{3}-\frac{1}{8}x^{2}+2$
	$f(x)=-\frac{1}{8}x^{3}+\frac{2}{5}x^{2}+2$
	$f(x)=-\frac{1}{8}x^{3}+\frac{3}{4}x^{2}+2$
	$f(x)=-\frac{1}{8}x^{3}-4x^{2}+2$
Lösungsweg $f(x)=-\frac{1}{8}x^{3}+a_{2}x^{2}+2$ $f'(x)=-\frac{3}{8}x^{2}+2a_{2}x$ $f''(x)=-\frac{3}{4}x+2a_{2}$ $f''(2)=0$ $-\frac{3}{4}\cdot 2+2a_{2}=0$ $a_{2}=\frac{3}{4}$ $f(x)=-\frac{1}{8}x^{3}+\frac{3}{4}x^{2}+2$

Bestimmen Sie die Extremwerte der folgenden Funktion: $f(x)=-\frac{1}{8}x^{3}+\frac{3}{4}x^{2}+2$ Nr. 2083
	$T(2/0)$ $H(6/4)$
	$T(0/2)$ $H(4/6)$
	$T(2/-2)$ $H(6/6)$
	$T(5/-5)$ $H(3/8)$
Lösungsweg $f(x)=-\frac{1}{8}x^{3}+\frac{3}{4}x^{2}+2$ $f'(x)=-\frac{3}{8}x^{2}+\frac{3}{2}x$ $f''(x)=-\frac{3}{4}x+\frac{3}{2}$ $f'(x)=0$ $-\frac{3}{8}x^{2}+\frac{3}{2}x=0$ $x(-\frac{3}{8}x+\frac{3}{2})=0$ $1.$ $x_{1}=0$ $f(0)=2$ $2.$ $-\frac{3}{8}x+\frac{3}{2}=0$ $\frac{3}{8}x=\frac{3}{2}$ $x_{2}=4$ $f(4)=6$ $f''(0)=\frac{3}{2} \qquad \to \qquad >\, 0 \qquad \to \qquad T(0/2)$ $f''(4)=-\frac{3}{2} \qquad \to \qquad <\, 0 \qquad \to \qquad H(4/6)$

Bestimmen Sie den Wendepunkt der folgenden Funktion: $f(x)=-\frac{1}{8}x^{3}+\frac{3}{4}x^{2}+2$ Nr. 2084
	$W(3/3)$
	$W(4/2)$
	$W(2/4)$
	$W(2/2)$
Lösungsweg $f(x)=-\frac{1}{8}x^{3}+\frac{3}{4}x^{2}+2$ $f'(x)=-\frac{3}{8}x^{2}+\frac{3}{2}x$ $f''(x)=-\frac{3}{4}x+\frac{3}{2}$ $f''(x)=0$ $-\frac{3}{4}x+\frac{3}{2}=0$ $\frac{3}{4}x=\frac{3}{2}$ $x=2$ $f(2)=4$ $\to \qquad W(2/4)$

Die Funktion $f:\qquad x\to \qquad a_{3}x^{3}+a_{2}x^{2}-\frac{9}{2}x+a_{0}$ besitzt den Wendepunkt $W(4/6)$ mit der Steigung der Wendetangente $\frac{3}{2}$ . Bestimmen Sie den Funktionsterm! Nr. 2086
	$f(x)=\frac{2}{7}x^{3}+x^{2}-\frac{9}{2}x-2$
	$f(x)=\frac{1}{2}x^{3}+\frac{3}{4}x^{2}-\frac{9}{2}x-8$
	$f(x)=-\frac{1}{3}x^{3}+\frac{1}{2}x^{2}-\frac{9}{2}x+7$
	$f(x)=-\frac{1}{8}x^{3}+\frac{3}{2}x^{2}-\frac{9}{2}x+8$
Lösungsweg $f(x)=a_{3}x^{3}+a_{2}x^{2}-\frac{9}{2}x+a_{0}$ $f'(x)=3a_{3}x^{2}+2a_{2}x-\frac{9}{2}$ $f''(x)=6a_{3}x+2a_{2}$ $I:\qquad f(4)=6$ $II:\qquad f'(4)=\frac{3}{2}$ $III: \qquad f''(4)=0$ $\rule[10]{150}{1}$ $I: \qquad \qquad 64a_{3}+16a_{2}+a_{0}=24$ $II: \qquad \qquad 48a_{3}+8a_{2}=6$ $III:\qquad 24a_{3}+2a_{2}=0$ $II-2\cdot III:$ $48a_{3}+8a_{2}=6$ $48a_{3}+4a_{2}=0$ $\rule[10]{150}{1}$ $a_{2}=\frac{3}{2}$ $\rule[10]{150}{1}$ $24a_{3}+2a_{2}=0$ $24a_{3}+2\cdot \frac{3}{2}=0$ $a_{3}=-\frac{1}{8}$ $64a_{3}+16a_{2}+a_{0}=24$ $64\cdot (-\frac{1}{8})+16\cdot (\frac{3}{2}) +a_{0}=24$ $a_{0}=8$ $\to \qquad f(x)=-\frac{1}{8}x^{3}+\frac{3}{2}x^{2}-\frac{9}{2}x+8$

Bestimmen Sie die Extremwerte der folgenden Funktion: $f(x)=-\frac{1}{8}x^{3}+\frac{3}{2}x^{2}-\frac{9}{2}x+8$ Nr. 2087
	$T(2/4)$ $H(6/8)$
	$T(4/2)$ $H(8/6)$
	$T(2/-4)$ $H(-6/8)$
	$T(5,5/1)$ $H(-1/9)$
Lösungsweg $f(x)=-\frac{1}{8}x^{3}+\frac{3}{2}x^{2}-\frac{9}{2}x+8$ $f'(x)=-\frac{3}{8}x^{2}+3x-\frac{9}{2}$ $f''(x)=-\frac{3}{4}x+3$ $f'(x)=0$ $-\frac{3}{8}x^{2}+3x-\frac{9}{2}=0 \qquad /\qquad \cdot\qquad -\frac{8}{3}$ $x^{2}-8x+12=0$ Kleine Lösungsformel: $x_{1,2}=4\pm\sqrt{16-12}$ $x_{1}=6$ $x_{2}=2$ $f(6)=8$ $f''(6)=-1,5 \qquad \to \qquad < \qquad 0 \qquad \to \qquad H(6/8)$ $f(2)=4$ $f''(2)=1,5 \qquad \to \qquad > \qquad 0 \qquad \to \qquad T(2/4)$

Bestimmen Sie den Wendepunkt der folgenden Funktion: $f(x)=-\frac{1}{8}x^{3}+\frac{3}{2}x^{2}-\frac{9}{2}x+8$ Nr. 2088
	$W(-6/-4)$
	$W(-4/-6)$
	$W(6/4)$
	$W(4/6)$
Lösungsweg $f(x)=-\frac{1}{8}x^{3}+\frac{3}{2}x^{2}-\frac{9}{2}x+8$ $f'(x)=-\frac{3}{8}x^{2}+3x-\frac{9}{2}$ $f''(x)=-\frac{3}{4}x+3$ $f''(x)=0$ $-\frac{3}{4}x+3=0$ $\frac{3}{4}x=3$ $x=4$ $f(4)=6$ $\to \qquad W(4/6)$

Der Wendepunkt W der folgenden Funktion liegt bei $(4/6)$ . Bestimmen Sie die Wendetangente der Funktion: $f(x)=-\frac{1}{8}x^{3}+\frac{3}{2}x^{2}-\frac{9}{2}x+8$ Nr. 2089
	$y=-\frac{3}{2}x+4$
	$y=\frac{3}{2}x$
	$y=\frac{1}{3}x$
	$y=-4x+7$
Lösungsweg $f(x)=-\frac{1}{8}x^{3}+\frac{3}{2}x^{2}-\frac{9}{2}x+8$ $f'(x)=-\frac{3}{8}x^{2}+3x-\frac{9}{2}$ $f'(4)=-\frac{3}{8}\cdot 16+3\cdot 4-\frac{9}{2}$ $f'(4)=\frac{3}{2}=k$ $y=kx+d$ $y=y_{w}=6$ $x=x_{w}=4$ $6=\frac{3}{2}\cdot 4+d$ $d=0$ $t_{w}\,:\qquad y=\frac{3}{2}x$

Der Graph der Funktion $f:\qquad x\to \qquad a_{3}x^{3}+a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}$ enthält den Punkt $P(2/3)$ und besitzt den Wendepunkt $W(0/1)$ mit der Steigung der Wendetangente $-3$ . Bestimmen Sie den Funktionsterm! Nr. 2090
	$f(x)=2x^{3}-x^{2}+3x+3$
	$f(x)=x^{3}-3x+1$
	$f(x)=-x^{3}-5x^{2}+3x$
	$f(x)=-6x^{3}+4x-8$
Lösungsweg $f(x)=a_{3}x^{3}+a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}$ $f'(x)=3a_{3}x^{2}+2a_{2}x+a_{1}$ $f''(x)=6a_{3}x+2a_{2}$ Aufstellen von 4 Gleichungen: $f(2)=3$ $f(0)=1$ $f''(0)=0$ $f'(0)=-3$ $I: \qquad 8a_{3}+4a_{2}+2a_{1}+a_{0}=3$ $II: \qquad a_{0}=1$ $III: \qquad a_{2}=0$ $IV: \qquad a_{1}=-3$ $8a_{3}+4a_{2}+2a_{1}+a_{0}=3$ $8a_{3}+4\cdot 0+2\cdot(-3)+1=3$ $a_{3}=1$ $\to \qquad f(x)=x^{3}-3x+1$

Bestimmen Sie die Extremwerte der folgenden Funktion: $f(x)=x^{3}-3x+1$ Nr. 2091
	$T(-2/-2)$ $H(4/4)$
	$T(3/3)$ $H(4/6)$
	$T(-1/1)$ $H(3/-1)$
	$T(1/-1)$ $H(-1/3)$
Lösungsweg $f(x)=x^{3}-3x+1$ $f'(x)=3x^{2}-3$ $f''(x)=6x$ $f'(x)=0$ $3x^{2}-3=0$ $x^{2}=1$ $x_{1,2}=\pm1$ $f(1)=-1$ $f''(1)=6 \qquad \to \qquad >\, 0 \qquad \to \qquad T(1/-1)$ $f(-1)=3$ $f''(-1)=-6 \qquad \to \qquad <\, 0 \qquad \to \qquad H(-1/3)$

Bestimmen Sie den Wendepunkt der folgenden Funktion: $f(x)=x^{3}-3x+1$ Nr. 2092
	$W(3/3)$
	$W(4/5)$
	$W(1/0)$
	$W(0/1)$
Lösungsweg $f(x)=x^{3}-3x+1$ $f'(x)=3x^{2}-3$ $f''(x)=6x$ $f''(x)=0$ $6x=0$ $x=0$ $f(0)=1$ $\to \qquad W(0/1)$

Die Funktion $f(x)=x^{3}-3x+1$ besitzt den Wendepunkt $W(0/1)$ . Wie lautete die Gleichung der Wendetangente? Nr. 2093
	$t_{w}\,: \qquad y=2x-3$
	$t_{w}\,: \qquad y=-3x+1$
	$t_{w}\,: \qquad y=-6x$
	$t_{w}\,: \qquad y=12x+5$
Lösungsweg $W(0/1)$ $f(x)=x^{3}-3x+1$ $f'(x)=3x^{2}-3$ $f'(x_{w})=k$ $f'(0)=-3$ $k=-3$ $y=kx+d$ $y=y_{w}=1$ $x=x_{w}=0$ $1=-3\cdot 0+d$ $d=1$ $\to \qquad t_{w}\,: \qquad y=-3x+1$

Der Graph der Funktion $f:\qquad x\to a_{3}x^{3}+a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}$ hat im Ursprung einen Extremwert und besitzt den Wendepunkt $W(1/\frac{2}{3})$ . Bestimmen Sie den Funktionsterm! Nr. 2094
	$f(x)=-5x^{3}+\frac{3}{2}x^{2}+\frac{1}{2}$
	$f(x)=\frac{1}{3}x^{3}-x^{2}+2x+9$
	$f(x)=-\frac{1}{3}x^{3}+x^{2}$
	$f(x)=-\frac{1}{4}x^{3}+2x^{2}+6$
Lösungsweg $f(x)=a_{3}x^{3}+a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}$ $f'(x)=3a_{3}x^{2}+2a_{2}x+a_{1}$ $f''(x)=6a_{3}x+2a_{2}$ Verwertung der Informationen aus der Angabe: $I: \qquad \qquad f(0)=0$ $II: \qquad f'(0)=0$ $III: \, f''(1)=0$ $IV: \, f(1)=\frac{2}{3}$ $I: \qquad \qquad a_{0}=0$ $II: \qquad a_{1}=0$ $III: \qquad 6a_{3}+2a_{2}=0 \to \qquad 3a_{3}+a_{2}=0$ $IV: \qquad a_{3}+a_{2}+a_{1}+a_{0}=\frac{2}{3} \to \qquad a_{3}+a_{2}=\frac{2}{3}$ $\rule[10]{150}{1}$ $III: \qquad a_{2}=-3a_{3}$ $III\, in\, IV: \qquad a_{3}-3a_{3}=\frac{2}{3}$ $-2a_{3}=\frac{2}{3}$ $a_{3}=-\frac{1}{3}$ $a_{2}=-3\cdot (-\frac{1}{3})$ $a_{2}=1$ $\to \qquad f(x)=-\frac{1}{3}x^{3}+x^{2}$

Berechnen Sie die Nullstellen der folgenden Funktion: $f(x)=-\frac{1}{3}x^{3}+x^{2}$ Nr. 2095
	$N_{1}(2/0)$ $N_{2}(6/0)$
	$N_{1}(0/0)$ $N_{2}(3/0)$
	$N_{1}(-3/0)$ $N_{2}(-1/0)$
	$N_{1}(\frac{1}{2}/0)$ $N_{2}(7/0)$
Lösungsweg $f(x)=-\frac{1}{3}x^{3}+x^{2}$ $f(x)=0$ $-\frac{1}{3}x^{3}+x^{2}=0$ $x^{2}(-\frac{1}{3}x+1)=0$ $1.$ $x_{1}\,^{2}=0$ $N_{1}\,^{(2)}(0/0) \to \qquad$ $2.$ $-\frac{1}{3}x+1=0$ $x_{2}=3$ $N_{2}(3/0)$

Bestimmen Sie die Extremwerte der folgenden Funktion: $f(x)=-\frac{1}{3}x^{3}+x^{2}$ Nr. 2096
	$T(0/0)$ $H(2/1,33)$
	$T(0/1)$ $H(1,33/2)$
	$T(0,33/4)$ $H(2/3)$
	$T(-3/0)$ $H(-2/-1,33)$
Lösungsweg $f(x)=-\frac{1}{3}x^{3}+x^{2}$ $f'(x)=-x^{2}+2x$ $f''(x)=-2x+2$ $f'(x)=0$ $-x^{2}+2x=0$ $x(-x+2)=0$ $x_{1}=0$ $-x+2=0$ $x_{2}=2$ $f(0)=0$ $f''(0)=2\qquad \to \qquad >\, 0 \qquad \to \qquad T(0/0)$ $f(2)=1,33$ $f''(2)=-2\qquad \to \qquad <\, 0 \qquad \to \qquad H(2/1,33)$

Bestimmen Sie den Wendepunkt der folgenden Funktion: $f(x)=-\frac{1}{3}x^{3}+x^{2}$ Nr. 2097
	$W(-\frac{2}{3}/0)$
	$W(\frac{2}{3}/1)$
	$W(1/\frac{2}{3})$
	$W(-1/-\frac{2}{3})$
Lösungsweg $f(x)=-\frac{1}{3}x^{3}+x^{2}$ $f'(x)=-x^{2}+2x$ $f''(x)=-2x+2$ $f''(x)=0$ $-2x+2=0$ $x=1$ $f(1)=-\frac{1}{3}+1=\frac{2}{3}$ $\to \qquad W(1/\frac{2}{3})$

Bestimmen Sie die Formel der Wendetangente der folgenden Funktion: $f(x)=-\frac{1}{3}x^{3}+x^{2}$ Der Wendepunkt liegt bei $W(1/\frac{2}{3})$ . Nr. 2098
	$t_{w}\,:\qquad y=3x+\frac{1}{3}$
	$t_{w}\,:\qquad y=x-\frac{1}{3}$
	$t_{w}\,:\qquad y=2x-4$
	$t_{w}\,:\qquad y=x+\frac{1}{4}$
Lösungsweg $f(x)=-\frac{1}{3}x^{3}+x^{2}$ $f'(x)=-x^{2}+2x$ $W(1/\frac{2}{3})$ $f'(1)=k$ $f'(1)=-1+2=1$ $k=1$ $y=kx+d$ $\frac{2}{3}=1\cdot1+d$ $d=-\frac{1}{3}$ $t_{w}\,:\qquad y=x-\frac{1}{3}$

Der Graph der Funktion $f:\qquad x\to \qquad a_{4}x^{4}+a_{3}x^{3}$ besitzt den Extremwert $E(-3/\frac{27}{4})$ . Bestimmen Sie den Funktionsterm! Nr. 2099
	$f(x)=-\frac{1}{4}x^{4}-x^{3}$
	$f(x)=-\frac{1}{6}x^{4}-3x^{3}$
	$f(x)=-\frac{2}{7}x^{4}+x^{3}$
	$f(x)=\frac{1}{4}x^{4}+x^{3}$
Lösungsweg $f(x)=a_{4}x^{4}+a_{3}x^{3}$ $f'(x)=4a_{4}x^{3}+3a_{3}x^{2}$ $f''(x)=12a_{4}x^{2}+6a_{3}x$ $I: \qquad f(-3)=\frac{27}{4}$ $II: \qquad f'(-3)=0$ $I: \qquad 81a_{4}-27a_{3}=\frac{27}{4}$ $II: \qquad -108a_{4}+27a_{3}=0$ $I+II:$ $-27a_{4}=\frac{27}{4}$ $a_{4}=-\frac{1}{4}$ $a_{4}\qquad in \qquad II:$ $-108\cdot(-\frac{1}{4})+27a_{3}=0$ $27+27a_{3}=0$ $a_{3}=-1$ $f(x)=-\frac{1}{4}x^{4}-x^{3}$

Bestimmen Sie die Nullstellen der folgenden Funktion: $f(x)=-\frac{1}{4}x^{4}-x^{3}$ Nr. 2100
	$N_{1}(-3/0)$ $N_{2}(6/0)$ $N_{3}(8/0)$ $N_{4}(-1,33/0)$
	$N_{1}(-2/0)$ $N_{2}(-1/0)$ $N_{3}(2/0)$ $N_{4}(-5/0)$
	$N_{1}(2/0)$ $N_{2}(1/0)$ $N_{3}(-7/0)$ $N_{4}(-8/0)$
	$N_{1}\,^{(3)}(0/0)$ $N_{2}(-4/0)$
Lösungsweg $f(x)=-\frac{1}{4}x^{4}-x^{3}$ $f(x)=0$ $-\frac{1}{4}x^{4}-x^{3}=0$ $x^{3}(-\frac{1}{4}x-1)=0$ $x_{1}=0$ $\to \qquad N_{1}\,^{(3)}(0/0)$ $-\frac{1}{4}x-1=0$ $\frac{1}{4}x=-1$ $x_{2}=-4$ $\to \qquad N_{2}(-4/0)$

Bestimmen Sie die Extremwerte der folgenden Funktion: $f(x)=-\frac{1}{4}x^{4}-x^{3}$ Nr. 2101
	$H(3/-\frac{27}{4})$
	$H(-3/\frac{27}{4})$
	$H(\frac{27}{4}/3)$
	$H(0/\frac{27}{4})$
Lösungsweg $f(x)=-\frac{1}{4}x^{4}-x^{3}$ $f'(x)=-x^{3}-3x^{2}$ $f''(x)=-3x^{2}-6x$ $f'(x)=0$ $-x^{3}-3x^{2}=0$ $x^{2}(-x-3)=0$ $x_{1}=0$ $f(0)=0$ $f''(0)=0$ $\to \qquad kein\qquad globales \qquad Extremum$ $-x-3=0$ $x_{2}=-3$ $f(-3)=\frac{27}{4}$ $f''(-3)=-9\qquad \to \qquad <\, 0 \qquad \to \qquad H(-3/\frac{27}{4})$

Bestimmen Sie die Wendepunkte der folgenden Funktion: $f(x)=-\frac{1}{4}x^{4}-x^{3}$ Nr. 2102
	$W_{1}(5/6)$ $W_{2}(4/4)$
	$W_{1}(0/7)$ $W_{2}(-4/2)$
	$W_{1}(0/0)$ $W_{2}(-2/4)$
	$W_{1}(3/0)$ $W_{2}(2/4)$
Lösungsweg $f(x)=-\frac{1}{4}x^{4}-x^{3}$ $f'(x)=-x^{3}-3x^{2}$ $f''(x)=-3x^{2}-6x$ $f''(x)=0$ $-3x^{2}-6x=0$ $x(-3x-6)=0$ $x_{1}=0$ $f(0)=0$ $\to \qquad W_{1}(0/0)$ $-3x-6=0$ $3x=-6$ $x_{2}=-2$ $f(-2)=-\frac{1}{4}\cdot16+8=4$ $\to \qquad W_{2}(-2/4)$

Bestimmen Sie die Formel der Wendetangente der Funktion: $f(x)=-\frac{1}{4}x^{4}-x^{3}$ Der Wendepunkt liegt bei $W(-2/4)$ . Nr. 2103
	$t_{w}\,:\qquad y=-4x-4$
	$t_{w}\,:\qquad y=-6x-5$
	$t_{w}\,:\qquad y=-2x-7$
	$t_{w}\,:\qquad y=x-\frac{1}{3}$
Lösungsweg $W(-2/4)$ $f(x)=-\frac{1}{4}x^{4}-x^{3}$ $f'(x)=-x^{3}-3x^{2}$ $f'(-2)=k$ $f'(-2)=8-12=-4$ $k=-4$ $y=kx+d$ $4=-4\cdot(-2)+d$ $d=-4$ $\to \qquad t_{w}\,:\qquad y=-4x-4$

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