Fragenliste von Elementare Zahlentheorie

Welche Zahlen sind kongruent modulo 3 ? Nr. 3871
	3=9 (mod 3)
	4=19 (mod 3)
	5=15(mod 3)
	6=25 (mod 3)
Lösungsweg Zwei Zahlen a und b sind kongruent modulo m wenn a-b ein Vielfaches von m ist.

Welche dieser Mengen mit Verknüpfungen sind eine Gruppe? Nr. 3872
	$(\mathbb{Z}, \cdot)$
	$(\mathbb{Z}, +)$
	$(\mathbb{R}, \cdot)$
	$(\mathbb{R}\backslash \{0\}, \cdot)$

Welche Aussagen treffen für den Restklassenkörper $\mathbb {Z}_3$ zu? Nr. 3873
	2 ist das additive Inverse von 2
	2 ist das multiplikative Inverse von 2
	2 ist das additive Inverse von 1
	1 ist das additive Inverse von 1

Über die Menge {a,b,c} sei folgende Verknüpfung * definiert. Welche Aussagen treffen zu? $\begin{tabular}{\|c\|c\|c\|c\|} \hline *& a & b & c\\ \hline a & a & b & c\\ \hline b & b & c & a\\ \hline c & c & a & b\\ \hline \end{tabular}$ Nr. 4017
	Es gibt kein neutrales Element
	c ist das Inverse zu b
	Es handelt sich um eine Gruppe
	a ist das Inverse zu c

Über die Menge {a,b,c} sei folgende Verknüpfung * definiert. Welche Aussagen treffen zu?

$\begin{tabular}{|c|c|c|c|} \hline *& a & b & c\\ \hline a & b & c & a\\ \hline b & c & a & b\\ \hline c & a & b & c\\ \hline \end{tabular}$

Nr. 4018

Es gibt kein neutrales Element

Es handelt sich um eine Gruppe

b is das Inverse Element von c

Zwei ganze Zahlen a und b sind kongruent modulo m genau dann, wenn sie ... Nr. 4646
	sich um m unterscheiden (d.h. wenn a-b=m oder b-a=m gilt).
	bei Division durch m denselben Rest haben.
	sich um ein ganzzahliges Vielfaches von m unterscheiden (d.h. wenn a-b=km mit $k \in \mathbb{Z}$ gilt).
	teilbar sind durch m.
Lösungsweg Zwei ganze Zahlen a und b sind kongruent modulo m genau dann, wenn sie bei Division durch m denselben Rest r haben. Das ist gleichbedeutend damit, dass sie sich um ein ganzzahliges Vielfaches von m unterscheiden (d.h. a-b=km mit $k \in \mathbb{Z}$ ): Sei $a = k_1 \cdot m + r$ und $b = k_2 \cdot m + r$ mit $k_1,\; k_2 \in \mathbb{Z}$ . Dann ist $a-b = k_1 \cdot m - k_2 \cdot m = (k_1 - k_2) \cdot m$ .

Berechnen Sie $(22 \cdot 37 + 80) mod \; 7$ ! Nr. 4647
	2
	3
	5
	8
Lösungsweg Wir reduzieren zunächst alle Zahlen modulo 7: 22 = 1 mod 7 37 = 2 mod 7 80 = 3 mod 7 Somit 22x37 + 80 = 1x2 + 3 = 5 mod 7. Natürlich kann man auch erst 22x37 + 80 = 894 ausrechnen und dann modulo 7 reduzieren, aber der andere Weg ist leichter, weil die Zahlen nicht so groß werden.

Berechnen Sie $(56 + 101 \cdot 73) \; mod\; 9$ Nr. 4648
	1
	3
	4
	8
Lösungsweg Wir reduzieren zunächst alle Zahlen modulo 9: 56 = 2 mod 9 101 = 2 mod 9 73 = 1 mod 9 Somit 56 + 101 x 73 = 2 + 2 x 1 = 4 mod 9.

Bestimmen Sie das additive Inverse zu 6 modulo 7! Nr. 4649
	0
	1
	2
	Es gibt kein additives Inverses zu 6 modulo 7.
Lösungsweg 6 + 1 = 7 = 0 mod 7 Also ist 1 das additive Inverse zu 6 modulo 7.

Bestimmen Sie das multiplikative Inverse zu 6 modulo 7! Nr. 4650
	1
	2
	6
	Es gibt kein multiplikatives Inverses zu 6 modulo 7.
Lösungsweg $6 \cdot 6 = 36 = 1 \;mod \; 7$ Also ist 6 das multiplikative Inverse zu 6 modulo 7.

Bestimmen Sie das multiplikative Inverse zu 3 modulo 6! Nr. 4651
	2
	4
	5
	Es gibt kein multiplikatives Inverses zu 3 modulo 6.
Lösungsweg 3 und 6 sind nicht teilerfremd, daher gibt es kein multiplikatives Inverses zu 3 modulo 6. $\begin{tabular}{\|c\|c\|} \hline a & 3a\; mod \;6\\ \hline 1 & 3\\ \hline 2 & 0\\ \hline 3 & 3\\ \hline 4 & 0\\ \hline 5 & 3\\ \hline \end{tabular}$

Welche Elemente aus $\mathbb{Z}_6$ (Menge aller Restklassen modulo 6) haben ein multiplikatives Inverses? Nr. 4652
	1
	2
	3
	4
	5
Lösungsweg x hat genau dann ein multiplikatives Inverses in $\mathbb{Z}_6$ , wenn x und 6 teilerfremd sind. Daher haben nur x=1 und x=5 ein multiplikatives Inverses modulo 6, und zwar jeweils sich selbst: $1 \cdot 1 = 1 \; mod\; 6$ bzw. $5 \cdot 5 = 25 = 1\; mod\; 6$

Welche Elemente aus $\mathbb{Z}_{10}$ (Menge aller Restklassen modulo 10) haben ein multiplikatives Inverses? Nr. 4653
	3
	5
	6
	7
	9
Lösungsweg x hat genau dann ein multiplikatives Inverses in $\mathbb{Z}_{10}$ , wenn x und 10 teilerfremd sind. Das gilt für x=1, 3, 7 und 9. Das multiplikative Inverse von 1 mod 10 ist 1 (denn 1x1 = 1 mod 10). Das multiplikative Inverse von 3 mod 10 ist 7 (denn 3x7 = 21 = 1 mod 10). Umgekehrt ist also 3 das multiplikative Inverse von 7 mod 10. Das multiplikative Inverse von 9 mod 10 ist 9 (denn 9x9 = 81 = 1 mod 10).

Welches ist die korrekte Multiplikationstabelle für $\mathbb{Z}_3$ ? Nr. 4658
	$\begin{tabular}{c\|ccc} \cdot & 0 & 1 & 2\\ \hline 0 & 0 & 0 & 0\\ 1 & 0 & 1 & 2\\ 2 & 0 & 2 & 1\\ \end{tabular}$
	$\begin{tabular}{c\|ccc} \cdot & 0 & 1 & 2\\ \hline 0 & 0 & 0 & 0\\ 1 & 0 & 1 & 2\\ 2 & 0 & 2 & 0\\ \end{tabular}$
	$\begin{tabular}{c\|ccc} \cdot & 0 & 1 & 2\\ \hline 0 & 0 & 0 & 0\\ 1 & 0 & 1 & 2\\ 2 & 0 & 2 & 2\\ \end{tabular}$
	$\begin{tabular}{c\|cccc} \cdot & 0 & 1 & 2 & 3\\ \hline 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 1 & 0 & 1 & 2 & 3\\ 2 & 0 & 2 & 1 & 2\\ 3 & 0 & 3 & 2 & 1\\ \end{tabular}$

Welches ist die korrekte Multiplikationstabelle für $\mathbb{Z}_7$ ? (Hinweis: Die Zeilen und Spalten für 0 und 1 wurden aus Platzgründen weggelassen.) Nr. 4659
	$\begin{array}{c\|ccccc} \cdot & 2 & 3 & 4 & 5 & 6\\ \hline 2 & 4 & 6 & 1 & 3 & 5\\ 3 & 6 & 2 & 5 & 1 & 4\\ 4 & 1 & 5 & 2 & 6 & 3\\ 5 & 3 & 1 & 6 & 4 & 2\\ 6 & 5 & 4 & 3 & 2 & 1\\ \end{array}$
	$\begin{array}{c\|ccccc} \cdot & 2 & 3 & 4 & 5 & 6\\ \hline 2 & 4 & 6 & 1 & 3 & 5\\ 3 & 6 & 2 & 5 & 1 & 4\\ 4 & 1 & 5 & 2 & 6 & 3\\ 5 & 3 & 1 & 6 & 1 & 3\\ 6 & 5 & 4 & 3 & 3 & 4\\ \end{array}$
	$\begin{array}{c\|ccccc} \cdot & 2 & 3 & 4 & 5 & 6\\ \hline 2 & 4 & 6 & 1 & 3 & 5\\ 3 & 6 & 2 & 5 & 1 & 4\\ 4 & 1 & 5 & 2 & 6 & 3\\ 5 & 3 & 1 & 6 & 2 & 5\\ 6 & 5 & 4 & 3 & 5 & 3\\ \end{array}$
	$\begin{array}{c\|ccccc} \cdot & 2 & 3 & 4 & 5 & 6\\ \hline 2 & 4 & 6 & 1 & 3 & 5\\ 3 & 6 & 2 & 5 & 1 & 4\\ 4 & 1 & 5 & 2 & 6 & 3\\ 5 & 3 & 1 & 6 & 1 & 0\\ 6 & 5 & 4 & 3 & 0 & 7\\ \end{array}$
Lösungsweg 2x2 = 4 mod 7 2x3 = 6 mod 7 2x4 = 8 = 1 mod 7 2x5 = 10 = 3 mod 7 2x6 = 12 = 5 mod 7 3x3 = 9 = 2 mod 7 3x4 = 12 = 5 mod 7 3x5 = 15 = 1 mod 7 3x6 = 18 = 4 mod 7 4x4 = 16 = 2 mod 7 4x5 = 20 = 6 mod 7 4x6 = 24 = 3 mod 7 5x5 = 25 = 4 mod 7 5x6 = 30 = 2 mod 7 6x6 = 36 = 1 mod 7

Welches ist die korrekte Multiplikationstabelle für $\mathbb{Z}_4$ ? Nr. 4660
	$\begin{tabular}{c\|cccc} \cdot & 0 & 1 & 2 & 3\\ \hline 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 1 & 0 & 1 & 2 & 3\\ 2 & 0 & 2 & 0 & 1\\ 3 & 0 & 3 & 1 & 2\\ \end{tabular}$
	$\begin{tabular}{c\|cccc} \cdot & 0 & 1 & 2 & 3\\ \hline 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 1 & 0 & 1 & 2 & 3\\ 2 & 0 & 2 & 0 & 2\\ 3 & 0 & 3 & 2 & 1\\ \end{tabular}$
	$\begin{tabular}{c\|cccc} \cdot & 0 & 1 & 2 & 3\\ \hline 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 1 & 0 & 1 & 2 & 3\\ 2 & 0 & 2 & 1 & 3\\ 3 & 0 & 3 & 3 & 1\\ \end{tabular}$
Lösungsweg 2.2 = 4 = 0 mod 4 2.3 = 6 = 2 mod 4 3.3 = 9 = 1 mod 4

Wie viele Lösungen besitzt die Gleichung 4x = 0 mod 8 in $\mathbb{Z}_8$ ? Nr. 4661
	0
	1
	2
	4
Lösungsweg Die Gleichung hat die Form ax = b mod 8 mit a=4 und b=0. Weil ggT(a,8) = ggT(4,8) = 4 und 4 ein Teiler von b=0 ist, gibt es 4 Lösungen der Gleichung in $\mathbb{Z}_8$ , und zwar x = 0, 2, 4 und 6: 4x0 = 0 mod 8 4x2 = 8 = 0 mod 8 4x4 = 16 = 0 mod 8 4x6 = 24 = 0 mod 8

Welche $x \in \mathbb{Z}_6$ lösen die Gleichung 4x = 2 mod 6? Nr. 4662
	2
	3
	4
	5
Lösungsweg Die Gleichung hat die Form ax = b mod 6 mit a=4 und b=2. Weil ggT(a,6) = ggT(4,6) = 2 und 2 ein Teiler von b=2 ist, muss es 2 Lösungen der Gleichung in $\mathbb{Z}_6$ geben. Diese sind x=2 und x=5: 4x2 = 8 = 2 mod 6 4x5 = 20 = 2 mod 6

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Welches ist die korrekte Multiplikationstabelle für $\mathbb{Z}_3$ ? Nr. 4658
	$\begin{tabular}{c\|ccc} \cdot & 0 & 1 & 2\\ \hline 0 & 0 & 0 & 0\\ 1 & 0 & 1 & 2\\ 2 & 0 & 2 & 1\\ \end{tabular}$
	$\begin{tabular}{c\|ccc} \cdot & 0 & 1 & 2\\ \hline 0 & 0 & 0 & 0\\ 1 & 0 & 1 & 2\\ 2 & 0 & 2 & 0\\ \end{tabular}$
	$\begin{tabular}{c\|ccc} \cdot & 0 & 1 & 2\\ \hline 0 & 0 & 0 & 0\\ 1 & 0 & 1 & 2\\ 2 & 0 & 2 & 2\\ \end{tabular}$
	$\begin{tabular}{c\|cccc} \cdot & 0 & 1 & 2 & 3\\ \hline 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 1 & 0 & 1 & 2 & 3\\ 2 & 0 & 2 & 1 & 2\\ 3 & 0 & 3 & 2 & 1\\ \end{tabular}$

Welches ist die korrekte Multiplikationstabelle für $\mathbb{Z}_7$ ? (Hinweis: Die Zeilen und Spalten für 0 und 1 wurden aus Platzgründen weggelassen.) Nr. 4659
	$\begin{array}{c\|ccccc} \cdot & 2 & 3 & 4 & 5 & 6\\ \hline 2 & 4 & 6 & 1 & 3 & 5\\ 3 & 6 & 2 & 5 & 1 & 4\\ 4 & 1 & 5 & 2 & 6 & 3\\ 5 & 3 & 1 & 6 & 4 & 2\\ 6 & 5 & 4 & 3 & 2 & 1\\ \end{array}$
	$\begin{array}{c\|ccccc} \cdot & 2 & 3 & 4 & 5 & 6\\ \hline 2 & 4 & 6 & 1 & 3 & 5\\ 3 & 6 & 2 & 5 & 1 & 4\\ 4 & 1 & 5 & 2 & 6 & 3\\ 5 & 3 & 1 & 6 & 1 & 3\\ 6 & 5 & 4 & 3 & 3 & 4\\ \end{array}$
	$\begin{array}{c\|ccccc} \cdot & 2 & 3 & 4 & 5 & 6\\ \hline 2 & 4 & 6 & 1 & 3 & 5\\ 3 & 6 & 2 & 5 & 1 & 4\\ 4 & 1 & 5 & 2 & 6 & 3\\ 5 & 3 & 1 & 6 & 2 & 5\\ 6 & 5 & 4 & 3 & 5 & 3\\ \end{array}$
	$\begin{array}{c\|ccccc} \cdot & 2 & 3 & 4 & 5 & 6\\ \hline 2 & 4 & 6 & 1 & 3 & 5\\ 3 & 6 & 2 & 5 & 1 & 4\\ 4 & 1 & 5 & 2 & 6 & 3\\ 5 & 3 & 1 & 6 & 1 & 0\\ 6 & 5 & 4 & 3 & 0 & 7\\ \end{array}$
Lösungsweg 2x2 = 4 mod 7 2x3 = 6 mod 7 2x4 = 8 = 1 mod 7 2x5 = 10 = 3 mod 7 2x6 = 12 = 5 mod 7 3x3 = 9 = 2 mod 7 3x4 = 12 = 5 mod 7 3x5 = 15 = 1 mod 7 3x6 = 18 = 4 mod 7 4x4 = 16 = 2 mod 7 4x5 = 20 = 6 mod 7 4x6 = 24 = 3 mod 7 5x5 = 25 = 4 mod 7 5x6 = 30 = 2 mod 7 6x6 = 36 = 1 mod 7

Welches ist die korrekte Multiplikationstabelle für $\mathbb{Z}_4$ ? Nr. 4660
	$\begin{tabular}{c\|cccc} \cdot & 0 & 1 & 2 & 3\\ \hline 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 1 & 0 & 1 & 2 & 3\\ 2 & 0 & 2 & 0 & 1\\ 3 & 0 & 3 & 1 & 2\\ \end{tabular}$
	$\begin{tabular}{c\|cccc} \cdot & 0 & 1 & 2 & 3\\ \hline 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 1 & 0 & 1 & 2 & 3\\ 2 & 0 & 2 & 0 & 2\\ 3 & 0 & 3 & 2 & 1\\ \end{tabular}$
	$\begin{tabular}{c\|cccc} \cdot & 0 & 1 & 2 & 3\\ \hline 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 1 & 0 & 1 & 2 & 3\\ 2 & 0 & 2 & 1 & 3\\ 3 & 0 & 3 & 3 & 1\\ \end{tabular}$
Lösungsweg 2.2 = 4 = 0 mod 4 2.3 = 6 = 2 mod 4 3.3 = 9 = 1 mod 4

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