Fragenliste von Limes - Grenzwert

Berechnen Sie den Grenzwert

$\lim_{n \to \infty}\frac 1{n^2}$

Nr. 2181

$0$

$1$

$\infty$

Berechnen Sie den Grenzwert $\lim_{n \to \infty}\frac n{n+1}$ Nr. 2182
	$0$
	$1$
	$\infty$
Lösungsweg $\frac n{n+1} = \frac {1}{1+\frac{1}{n}}$ $\lim_{n \to \infty}\frac 1{n} =0$ , also $\lim_{n \to \infty}\frac 1{1+\frac{1}{n}}= \frac{1}{1}=1$

Berechnen Sie den Grenzwert $\lim_{n \to 0}\frac 1n$ Nr. 2183
	0
	1
	$\infty$
	existiert nicht
Lösungsweg rechtsseitiger Limes, n > 0 $\lim_{n \to 0}\frac 1n =\infty$ linksseitiger Limes, n< 0 $\lim_{n \to 0}\frac 1n =-\infty$

Berechnen Sie den Grenzwert $\lim_{x \to 1}\frac{x^2-1}{x-1}$ Nr. 2184
	$0$
	$1$
	$2$
	Der Grenzwert existiert nicht.
Lösungsweg $\lim_{x \to 1}\frac{x^2-1}{x-1} = \lim_{x \to 1}\frac{(x-1)(x+1)}{x-1}= \lim_{x \to 1} (x+1)=2$

Berechnen Sie den Grenzwert $\lim_{x \to \infty} x^4-x^2$ Nr. 2185
	$0$
	$\infty$
	$-\infty$
Lösungsweg $x^4-x^2 = x^2(x^2-1)$ $\lim_{x \to \infty} x^2 -1 = \infty$ , also $\lim_{x \to \infty} x^2( x^2 -1) = \infty$

Berechnen Sie den Grenzwert

$\lim_{n \to -\infty} n^3-n^2$

Nr. 2186

$0$

$\infty$

$-\infty$

Berechnen Sie den Grenzwert

$\lim_{x \to \infty}\frac {3x-4}{2x^2-5}$

Nr. 3047

$0$

$\frac32$

$\infty$

Berechnen Sie den Grenzwert $\lim_{x \to \infty}\frac {2x^3+x-1}{3x^2+2x}$ Nr. 3048
	$0$
	$\frac23$
	$\infty$
	$-\infty$

Berechnen Sie den Grenzwert $\lim_{x \to \infty}\frac {4x^2+2}{2x^2+5x}$ Nr. 3049
	$0$
	$2$
	$\infty$
	$-\infty$

Berechnen Sie den Grenzwert $\lim_{x \to \infty}\frac {3x^3}{x^3+5x^2+2x}$ Nr. 3050
	$0$
	$3$
	$\infty$
	$-\infty$

Berechnen Sie den Grenzwert $\lim_{x \to a}\frac {sin^2(x)+cos^2(x)}{3} , \quad a \in \mathbb{R}$ Nr. 3051
	$0$
	$\frac 13$
	$\infty$
	$-\infty$

Berechnen Sie den Grenzwert $\lim_{x \to 1}\frac {x^2-1}{ln(x)}$ Nr. 3052
	$0$
	$2$
	$3$
	$\infty$
	$-\infty$
Lösungsweg Regel von de L'Hospital anwenden: $\lim_{x \to 1}\frac {x^2-1}{ln(x)} = \lim_{x \to 1}\frac {2x}{\frac{1}{x}} = \lim_{x \to 1} 2x^2 = 2$

Berechnen Sie den Grenzwert $\lim_{x \to 0}\frac {sin(x^2)}{x\cdot sin(x)}$ Nr. 3053
	$0$
	$1$
	$2$
	$\infty$
	$-\infty$
Lösungsweg Wenden Sie die Regel von de L'Hospital zweimal an.

Berechnen Sie den Grenzwert $\lim_{x \to \infty} 4x\cdot e^{-2x}$ Nr. 3054
	$0$
	$e$
	$\infty$
	$-\infty$

Berechnen Sie den Grenzwert $\lim_{x \to \infty} x^3\cdot e^{-x}$ Nr. 3055
	$0$
	$e$
	$\infty$
	$-\infty$

Berechnen Sie den Grenzwert $\lim_{x \to \infty} x^{100}\cdot e^{-x}$ Nr. 3056
	$0$
	$100$
	$\infty$
	$-\infty$

Berechnen Sie den Grenzwert $\lim_{x \to -\infty} x^3\cdot e^{-x}$ Nr. 3057
	$0$
	$-e$
	$\infty$
	$-\infty$

Berechnen Sie den Grenzwert $\lim_{n \to \infty}{\sqrt{n^2+n}-n}$ Nr. 3058
	$0$
	$\frac12$
	$\infty$
	$-\infty$
Lösungsweg $a_n = {\sqrt{n^2+n}-n} = \frac{(\sqrt{n^2+n}-n)(\sqrt{n^2+n}+n)}{\sqrt{n^2+n}+n}= \frac{n^2+n-n^2}{\sqrt{n^2+n}+n} = \frac{n}{\sqrt{n^2+n}+n}$ $b_n = \frac{1}{a_n} = \frac{\sqrt{n^2+n}+n}{n} = \frac{\sqrt{n^2+n}}{n}+1 = \sqrt{1+\frac{1}{n}}+1$ $\lim_{n \to \infty}{b_n} = \sqrt{1+\frac{1}{n}}+1 = 2$ $\lim_{n \to \infty}{a_n} = \lim_{n \to \infty}{\sqrt{n^2+n}-n} = \frac{1}{\lim_{n \to \infty}{b_n}} = \frac{1}{2}$

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