Fragenliste von Zyklische Gruppen

Welche Zahlen sind Erzeuger der Restklassengruppe $(Z_4, +)$ ? Nr. 3880
	0
	1
	2
	3

Die Drehgruppe $C_4$ beschreibt die Drehung eines Quadrats in der Ebene und hat die Elemente {0°, 90°, 180°, 270°}. Welche Aussagen treffen zu? Nr. 4019
	90° ist ein Erzeuger der Gruppe.
	180° ist ein Erzeuger der Gruppe.
	270° ist ein Erzeuger der Gruppe.
	270°+180°=0°

Welche Aussagen gelten für die multiplikative Gruppe $M=\left{ \left( \begin{array}{cc} 1 & n \\ 0 & 1 \\ \end{array} \right) \| n \in \mathbb{Z}} \right}$ Nr. 4020
	$\left( \begin{array}{cc} 1 & 1 \\ 0 & 1 \\ \end{array} \right)$ ist neutrales Element
	$\left( \begin{array}{cc} 1 & -n \\ 0 & 1 \\ \end{array} \right)$ ist das Inverse von $\left( \begin{array}{cc} 1 & n \\ 0 & 1 \\ \end{array} \right)$
	Die Gruppe is zyklisch mit Erzeuger $\left( \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ \end{array} \right)$

Welche Aussagen gelten für die multiplikative Gruppe

$M=\left{ \left( \begin{array}{cc} 1 & n \\ 0 & 1 \\ \end{array} \right) | n \in \mathbb{Z}} \right}$

Nr. 4020

$\left( \begin{array}{cc} 1 & 1 \\ 0 & 1 \\ \end{array} \right)$ ist neutrales Element

$\left( \begin{array}{cc} 1 & -n \\ 0 & 1 \\ \end{array} \right)$ ist das Inverse von $\left( \begin{array}{cc} 1 & n \\ 0 & 1 \\ \end{array} \right)$

Die Gruppe is zyklisch mit Erzeuger $\left( \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ \end{array} \right)$

Welche Aussagen gelten für die multiplikative Gruppe $\mathbb{Z}_5*=\{1,2,3,4\}$ Nr. 4027
	1 ist Erzeuger
	2 ist Erzeuger
	3 ist Erzeuger
	4 ist Erzeuger
	2 ist das Inverse von 4

Welche Aussagen treffen zu? Nr. 4693
	Jede zyklische Gruppe ist abelsch.
	Jede abelsche Gruppe ist zyklisch.
Lösungsweg Jede zyklische Gruppe $(G, \cdot)$ mit erzeugendem Element e ist abelsch, denn für a,b aus G mit $a=e^k$ und $b=e^l$ gilt: $a \cdot b = \underbrace{(e \cdot ... \cdot e)}_{k} \cdot \underbrace{(e \cdot ... \cdot e)}_{l} = \underbrace{(e \cdot ... \cdot e)}_{l} \cdot \underbrace{(e \cdot ... \cdot e)}_{k} = b \cdot a$ Nicht jede abelsche Gruppe ist jedoch zyklisch, beispielsweise ist $(\mathbb{R},+)$ zwar abelsch, nicht jedoch zyklisch (eine zyklische Gruppe kann nur abzählbar viele Elemente enthalten).

Welche Aussagen treffen zu? Nr. 4694
	Jede zyklische Gruppe wird von einem ihrer Elemente erzeugt.
	Jede zyklische Gruppe ist abelsch.
	$(\mathbb{Z},+)$ ist zyklisch.
	$(\mathbb{Z},\cdot)$ ist zyklisch.
Lösungsweg Eine zyklische Gruppe G wird von (mindestens) einem ihrer Elemente erzeugt, d.h. jedes a aus G lässt sich als $a = e^n$ für ein e aus G darstellen. Man nennt e das erzeugende Element der Gruppe. Jede zyklische Gruppe ist abelsch: Für a,b aus G mit $a=e^k$ und $b=e^l$ gilt: $a \cdot b = \underbrace{(e \cdot ... \cdot e)}_{k} \cdot \underbrace{(e \cdot ... \cdot e)}_{l} = \underbrace{(e \cdot ... \cdot e)}_{l} \cdot \underbrace{(e \cdot ... \cdot e)}_{k} = b \cdot a$ $(\mathbb{Z},+)$ ist zyklisch mit erzeugendem Element 1 (und -1). $(\mathbb{Z},\cdot)$ ist keine Gruppe (inverses Element fehlt), insbesondere also auch nicht zyklisch.

Welche Aussagen treffen zu? Nr. 4695
	$(\mathbb{Z}^*_3,\cdot)$ ist zyklisch.
	$(\mathbb{Z}^*_4,\cdot)$ ist zyklisch.
	$(\mathbb{Z}^*_5,\cdot)$ ist zyklisch.
	$(\mathbb{Z}^*_6,\cdot)$ ist nicht zyklisch.
Lösungsweg $(\mathbb{Z}^_3,\cdot) = (\left\{ 1,2 \right\},\cdot)$ ist zyklisch mit Erzeuger 2: $2^1 = 2, \;2^2 = 4 = 1 \; mod\; 3$ $(\mathbb{Z}^_4,\cdot) = (\left\{ 1,3 \right\},\cdot)$ ist zyklisch mit Erzeuger 3: $3^1 = 3, \;3^2 = 9 = 1 \;mod\; 4$ $(\mathbb{Z}^_5,\cdot) = (\left\{ 1,2,3,4 \right\},\cdot)$ ist zyklisch mit Erzeuger 2: $2^1 = 2, \;2^2 = 4,\; 2^3 = 8 = 3,\; 2^4 = 16 = 1 \; mod \;5$ $(\mathbb{Z}^_6,\cdot) = (\left\{ 1,5 \right\},\cdot)$ ist zyklisch mit Erzeuger 5: $5^1 = 5,\; 5^2 = 25 = 1 \;mod \;6$

Welche Aussagen treffen zu? (Beachte: Die Ordnung eines Gruppenelementes g ist die kleinste natürliche Zahl e mit $g^e = 1$ .) Nr. 4696
	Die Gruppe $(\mathbb{Z}^*_9,\cdot)$ hat die Ordnung 8.
	Das Element 2 der Gruppe $(\mathbb{Z}^*_9,\cdot)$ hat die Ordnung 6.
	2 ist ein Erzeuger von $(\mathbb{Z}^*_9,\cdot)$ .
	Das Element 4 der Gruppe $(\mathbb{Z}^*_9,\cdot)$ hat die Ordnung 8.
Lösungsweg Die Gruppe $(\mathbb{Z}^_9,\cdot) = (\left\{ 1,2,4,5,7,8 \right\},\cdot)$ hat 6 Elemente (die Zahlen 3 und 6 sind nicht enthalten, da sie kein multiplikatives Inverses mod 9 haben) und somit die Ordnung 6. Das Element 2 hat ebenfalls die Ordnung 6: $2^0 = 1, \;2^1 = 2,\; 2^2 = 4, \;2^3 = 8, \;2^4 = 16 = 7, \;2^5 = 32 = 5,\; 2^6 = 64 = 1 \;mod \;9$ . 2 ist somit ein Erzeuger von $(\mathbb{Z}^_9,\cdot)$ . Das Element 4 hat die Ordnung 3: $4^0 = 1, \;4^1 = 4, \;4^2 = 16 = 7,\; 4^3 = 64 = 1 \;mod \;9$ (dass die Ordnung von 4 halb so groß ist wie die von 2 folgt auch aus $1 = 2^6 = 2^{2 \cdot 3} = (2^2)^3 = 4^3$ ).

Welche Elemente sind Erzeuger der Gruppe $(\mathbb{Z}^*_9,\cdot)$ ? Nr. 4698
	2
	4
	5
	6
	8
Lösungsweg Die Gruppe $(\mathbb{Z}^_9,\cdot) = (\left\{ 1,2,4,5,7,8 \right\},\cdot)$ hat Ordnung 6. 2 hat Ordnung 6 und ist somit Erzeuger von $(\mathbb{Z}^_9,\cdot)$ : $2^0 = 1,\; 2^1 = 2,\; 2^2 = 4,\; 2^3 = 8,\; 2^4 = 16 = 7,\; 2^5 = 32 = 5,\; 2^6 = 64 = 1\; mod \;9$ 4 hat Ordnung 3: $4^0=1,\; 4^1 = 4,\; 4^2 = 16 = 7,\; 4^3 = 64 = 1\; mod\; 9$ 5 hat Ordnung 6 und ist somit Erzeuger von $(\mathbb{Z}^*_9,\cdot)$ : $5^0=1,\; 5^1 = 5,\; 5^2 = 7,\; 5^3 = 8,\; 5^4 = 4,\; 5^5 = 2,\; 5^6 = 1\; mod\; 9$ 8 hat Ordnung 2: $8^0=1,\; 8^1 = 8,\; 8^2 = 64 = 1\; mod \;9$ Allgemein gilt: Eine endliche zyklische Gruppe hat genau $\varphi(\|G\|)$ Erzeuger, in diesem Fall also $\varphi(6) = 2$ . Man kann folglich nach der 5 aufhören zu suchen.

Bestimmen Sie die vom Element 2 erzeugte Untergruppe der Gruppe $(\mathbb{Z}^*_{15},\cdot)$ ! Nr. 4700
	$\left\{ 2,4 \right\}$
	$\left\{ 1,2,4 \right\}$
	$\left\{ 1,2,4,8 \right\}$
	$\left\{ 1,4,8 \right\}$
Lösungsweg $2^0 = 1,\; 2^1 = 2,\; 2^2 = 4,\; 2^3 = 8,\; 2^4 = 16 = 1\; mod\; 15$ Die von 2 erzeugte multiplikative Untergruppe ist also $\left\{ 1,2,4,8 \right\}$ .

Bestimmen Sie die Ordnung der vom Element 7 erzeugten Untergruppe von $(\mathbb{Z}^*_{15},\cdot)$ ! Nr. 4701
	5
	4
	3
	2
Lösungsweg Die Ordnung von 7 ist die Ordnung der von 7 erzeugten Untergruppe. 7 hat Ordnung 4: $7^0 = 1,\; 7^1 = 7,\; 7^2 = 49 = 4,\; 7^3 = 28 = 13,\; 7^4 = 91 = 1 \;mod\; 15$ . Die von 7 erzeugte Untergruppe ist somit $\left\{ 1,4,7,13 \right\}$ und hat ebenfalls Ordnung 4.

Welche Aussagen über die Gruppe $G = (\mathbb{Z}^*_{15},\cdot)$ treffen zu? Nr. 4702
	Die Ordnung von G ist 14.
	2 ist ein erzeugendes Element von G.
	Das Element 11 hat Ordnung 2.
	Die von 11 erzeugte Untergruppe von G hat Ordnung 7.
	Die Gruppenelemente 7 und 13 erzeugen dieselbe Untergruppe von G.
Lösungsweg $\mathbb{Z}^*_{15} = \left\{ 1,2,4,7,8,11,13,14 \right\}$ enthält diejenigen Elemente aus $\mathbb{Z}_{15}$ , welche modulo 15 ein multiplikatives Inverses besitzen (dies sind die zu 15 teilerfremden Zahlen). Die Ordnung von G ist 8. Die Ordnung einer Untergruppe von G muss somit ein Teiler von 8 sein. 2 hat Ordnung 4: $2^0 = 1,\; 2^1 = 2,\; 2^2 = 4,\; 2^3 = 8,\; 2^4 = 1 \;mod\; 15$ . Somit ist 2 kein erzeugendes Element von G (denn dafür müsste 2 Ordnung 8 haben). 11 hat Ordnung 2: $11^0 = 1,\; 11^1 = 11,\; 11^2 = 1 \;mod\; 15$ . Die von 11 erzeugte Untergruppe $\left\{ 1, 11 \right\}$ hat somit ebenfalls Ordnung 2. Die Gruppenelemente 7 und 13 haben beide Ordnung 4: $7^0 = 1,\; 7^1 = 7,\; 7^2 = 4,\; 7^3 = 13,\; 7^4 = 1 \;mod \;15$ $13^0 = 1,\; 13^1 = 13,\; 13^2 = 4,\; 13^3 = 7,\; 13^4 = 1 \;mod \;15$ 7 und 13 erzeugen also dieselbe Untergruppe $\left\{ 1,4,7,13 \right\}$ von G; diese hat (ebenso wie 7 und 13) die Ordnung 4.

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