Fragenliste von Endliche Körper

Welche Aussagen treffen für den Restklassenkörper $\mathbb {Z}_3$ zu? Nr. 3873
	2 ist das additive Inverse von 2
	2 ist das multiplikative Inverse von 2
	2 ist das additive Inverse von 1
	1 ist das additive Inverse von 1

Welche Rechnungen im Restklassenkörper $\mathbb{Z}_7$ sind korrekt? Nr. 4002
	5+4=2
	2+3=0
	$4 \cdot 5 = 2$
	$2\cdot 6 = 5$

Welche Rechnungen im Restklassenkörper $\mathbb{Z}_7$ sind korrekt? Nr. 4003
	$2 \cdot \frac 12 =1$
	$3 \cdot \frac12 = 6$
	$5 \cdot \frac 12 =6$
	$1 \cdot \frac 12 =2$
Lösungsweg Das multiplikative Inverse von 2 ist 4

Berechnen sie im Polynomkörper $\mathbb{Z}_2[x]_{x^3+x+1}$ : $(x+1)\cdot x^2$ Nr. 4004
	$x^3+x^2$
	$x^2+x+1$
	1
Lösungsweg $x^3+x^2 \ \mathrm{mod} \ x^3+x+1 = x^2+x+1$ (mit -1 mod 2 =1)

Welche dieser Mengen ist ein Körper? Nr. 4664
	$(\mathbb{Z}, +, \cdot)$
	$(\mathbb{Z}_3, +, \cdot)$
	$(\mathbb{Z}_6, +, \cdot)$
	$(\mathbb{Q}, +, \cdot)$
	$(\mathbb{R}, +, \cdot)$
Lösungsweg Folgendes muss gelten, damit $(K, +, \cdot)$ ein Körper ist: $(K, +)$ ist eine kommutative Gruppe mit neutralem Element 0. $(K\setminus \left\{0\right\}, \cdot)$ ist eine kommutative Gruppe mit neutralem Element 1. $a \cdot (b+c) = a \cdot b + a \cdot c$ für alle a,b,c in K (Distributivgesetz) Dies erfüllen $(\mathbb{Z}_3, +, \cdot)$ sowie $(\mathbb{Q} +, \cdot)$ und $(\mathbb{R} +, \cdot)$ . Bei den anderen Beispielen scheitert es am multiplikativen Inversen.

Welche dieser Mengen ist ein Körper? Nr. 4667
	$(\mathbb{Z}_4, +, \cdot)$
	$(\mathbb{Z}^*_4, +, \cdot)$
	$(\mathbb{Z}_5, +, \cdot)$
	$(\mathbb{Z}^*_5, +, \cdot)$
Lösungsweg Nur $(\mathbb{Z}_5, +, \cdot)$ ist ein Körper (allgemein jedes $\mathbb{Z}_p$ , wenn p eine Primzahl ist): $(\mathbb{Z}_5, +)$ ist eine kommutative Gruppe mit neutralem Element 0. $(\mathbb{Z}_5 \setminus \left\{0\right\}, \cdot) = (\mathbb{Z}^_5, \cdot)$ ist eine kommutative Gruppe mit neutralem Element 1. Das Distributivgesetz gilt: $a \cdot (b+c) = a \cdot b + a \cdot c$ für alle a,b,c in $\mathbb{Z}_5$ Multiplikationstabelle für $\mathbb{Z}_5$ : $\begin{tabular}{c\|ccccc} \cdot & 0 & 1 & 2 & 3 & 4\\ \hline 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 1 & 0 & 1 & 2 & 3 & 4\\ 2 & 0 & 2 & 4 & 1 & 3\\ 3 & 0 & 3 & 1 & 4 & 2\\ 4 & 0 & 4 & 3 & 2 & 1\\ \end{tabular}$ $(\mathbb{Z}_4, +)$ ist zwar eine Gruppe, $(\mathbb{Z}_4 \setminus \left\{0\right\},\cdot)$ jedoch nicht (Inverses fehlt für 2), also kann $(\mathbb{Z}_4,+,\cdot)$ kein Körper sein. $(\mathbb{Z}^_4,\cdot)$ ist zwar eine Gruppe, $(\mathbb{Z}^_4, +)$ jedoch nicht ( $1+3=0 \; \notin \; \mathbb{Z}^_4$ ), also kann $(\mathbb{Z}^_4, +, \cdot)$ kein Körper sein. $(\mathbb{Z}^_5,\cdot)$ ist zwar eine Gruppe, $(\mathbb{Z}^_5, +)$ jedoch nicht ( $1+4=0 \; \notin \; \mathbb{Z}^_5$ ), also kann $(\mathbb{Z}^*_5, +, \cdot)$ kein Körper sein.

Bestimmen Sie die Multiplikationstabelle für die Menge aller Polynome über $\mathbb{Z}_2$ modulo $x^2+1$ : $\mathbb{Z}_2[x]_{x^2+1} = \left\{ 0,1,x,x+1 \right\}$ . Ist diese Menge ein Körper? (Hinweis: Die Zeilen & Spalten für die 0 wurden in den Antwort-Tabellen weggelassen.) Nr. 4683
	$\begin{tabular}{c\|ccc} \cdot & 1 & x & x+1\\ \hline 1 & 1 & x & x+1\\ x & x & 1 & x\\ x+1 & x+1 & x & 1\\ \end{tabular}$ Nein, die Menge ist kein Körper.
	$\begin{tabular}{c\|ccc} \cdot & 1 & x & x+1\\ \hline 1 & 1 & x & x+1\\ x & x & 1 & x+1\\ x+1 & x+1 & x+1 & 1\\ \end{tabular}$ Man kann nicht sagen, ob diese Menge ein Körper ist, ohne auch die Addition und das Distributivgesetz zu prüfen.
	$\begin{tabular}{c\|ccc} \cdot & 1 & x & x+1\\ \hline 1 & 1 & x & x+1\\ x & x & 1 & x+1\\ x+1 & x+1 & x+1 & 1\\ \end{tabular}$ Ja, die Menge ist ein Körper.
	$\begin{tabular}{c\|ccc} \cdot & 1 & x & x+1\\ \hline 1 & 1 & x & x+1\\ x & x & 1 & x+1\\ x+1 & x+1 & x+1 & 0\\ \end{tabular}$ Nein, die Menge ist kein Körper.
Lösungsweg Der Modul ist $m(x) = x^2+1$ , es ist also $x^2 = 1 \; mod \; m(x)$ . Da wir in $\mathbb{Z}_2$ rechnen, ist außerdem -1 = 1 und 2 = 0 modulo 2. Somit gilt: $x \cdot x = x^2 = 1\; mod\; m(x)\\ x \cdot (x+1) = x^2 + x = x + 1\; mod\; m(x)\\ (x+1) \cdot (x+1) = x^2 + 2x + 1 = 1 + 0 + 1 = 0 \; mod\; m(x)$ Die Multiplikationstabelle lautet also: $\begin{tabular}{c\|cccc} \cdot & 0 & 1 & x & x+1\\ \hline 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 1 & 0 & 1 & x & x+1\\ x & 0 & x & 1 & x+1\\ x+1 & 0 & x+1 & x+1 & 0\\ \end{tabular}$ Da x+1 kein multiplikatives Inverses hat (in keiner Zeile der Tabelle steht bei x+1 der Wert 1), kann unsere Menge kein Körper sein.

Bestimmen Sie das multiplikative Inverse von x + 1 in $\mathbb{Z}_2[x]_{x^2+x+1}$ ! Nr. 4685
	x
	x+1
	$x^2 + 1$
	x+1 hat kein multiplikatives Inverses in $\mathbb{Z}_2[x]_{x^2+x+1}$ .
Lösungsweg Wir bestimmen zunächst den größten gemeinsamen Teiler von a(x) = x + 1 und $m(x) = x^2+x+1$ durch Polynomdivision: $x^2+x+1 = x \cdot (x+1) +1$ , somit ist ggT(a(x),m(x)) = 1, d.h. a(x) hat ein multiplikatives Inverses modulo m(x), und zwar x: Wegen $x^2+x+1 = x \cdot (x+1) +1 = 0 \; mod\; m(x)$ gilt $x \cdot (x+1) = 1 \; mod\; m(x)$ (in $\mathbb{Z}_2$ ist -1 = +1).

Wann ist ein Polynom p(x) vom Grad deg(p)>1 irreduzibel? Nr. 4686
	Wenn alle Koeffizienten von p(x) Primzahlen sind.
	Wenn es kein Polynom q(x) vom Grad 0 < deg(q) < deg(p) gibt, das p(x) teilt.
	Wenn der größte gemeinsame Teiler der Koeffizienten von p(x) 1 ist.
	Wenn p(x) nur Polynome der Form $x \pm q$ mit einer Primzahl q als Teiler hat.
	Wenn p(x) nur konstante Polynome c(x) = c oder sich selbst als Teiler hat.
Lösungsweg Ein Polynom p(x) vom Grad deg(p)>1 ist irreduzibel genau dann, wenn es kein Polynom q(x) vom Grad 0 < deg(q) < deg(p) gibt, das p(x) teilt, d.h. wenn p(x) nur Konstanten c oder sich selbst als Teiler hat. Ein irreduzibles Polynom lässt sich also nicht als Produkt "einfacherer" Polynome schreiben. Die Irreduzibilität von Polynomen entspricht der Primzahleigenschaft bei ganzen Zahlen.

Welche Aussagen über das Polynom $a(x) = x^2 + 2x + 1$ treffen zu? Nr. 4687
	a(x) ist irreduzibel über $\mathbb{Z}_4$ .
	a(x) ist irreduzibel über $\mathbb{Z}_3$ .
	a(x) hat keine Nullstellen in $\mathbb{Z}_3$ .
	$\mathbb{Z}_3[x]_{a(x)}$ ist ein endlichen Körper mit 9 Elementen.
Lösungsweg a(x) ist reduzibel über $\mathbb{Z}_4$ , denn a(x) = (x+1)(x+1) = (x+3)(x+3). a(x) ist irreduzibel über $\mathbb{Z}_3$ , denn es hat wegen a(0) = a(1) = a(2) = 1 keine Nullstellen in $\mathbb{Z}_3$ (diese beiden Aussagen sind hier sogar äquivalent). Somit ist $\mathbb{Z}_3[x]_{x^2 + 2x + 1} = \left\{ bx + c \| b, c \in \mathbb{Z}_3 \right\}$ ein Körper mit $3^2 = 9$ Elementen.

Zerlegen Sie $x^2 + x - 12$ über $\mathbb{R}$ in irreduzible Faktoren! Nr. 4688
	$x^2 + x - 12$ ist bereits irreduzibel über $\mathbb{R}$ .
	$x^2 + x - 12 = 1 \cdot (x^2 + x - 12)$
	$x^2 + x - 12 = (x+3)\cdot(x-4)$
	$x^2 + x - 12 = (x-3)\cdot(x+4)$
Lösungsweg Ein Polynom vom Grad 2 (oder 3) ist irreduzibel über einem Körper $\mathbb{K}$ genau dann, wenn es keine Nullstellen in $\mathbb{K}$ hat. Wir suchen also die Nullstellen des Polynoms $x^2 + x - 12$ . Mit der p-q-Formel folgt $x_{1,2} = -\frac{1}{2} \pm \frac{7}{2} = \left\{ 3, -4\right\} \in \mathbb{R}$ . Somit ist $x^2 + x - 12 = (x-3)(x+4)$ . (x-3) und (x+4) sind (wie alle Polynome vom Grad 1) irreduzibel.

Zerlegen Sie $x^2 + 6x + 12$ über $\mathbb{R}$ in irreduzible Faktoren! Nr. 4689
	$x^2 + 6x + 12$ ist bereits irreduzibel über $\mathbb{R}$ .
	$x^2 + 6x + 12 = (x+2)\cdot(x+6)$
	$x^2 + 6x + 12 = (x-2)\cdot(x-6)$
	$x^2 + 6x + 12 = (x+3)\cdot(x+4)$
Lösungsweg Ein Polynom vom Grad 2 (oder 3) ist irreduzibel über einem Körper $\mathbb{K}$ genau dann, wenn es keine Nullstellen in $\mathbb{K}$ hat. Wir suchen also die Nullstellen des Polynoms $x^2 + 6x + 12$ . Mit der p-q-Formel folgt $x_{1,2} = -3 \pm \sqrt{-3} \; \notin \; \mathbb{R}$ . Da man aus negativen Zahlen in $\mathbb{R}$ keine Wurzel ziehen kann, hat das Polynom keine reellen Nullstellen. Somit ist $x^2 + 6x + 12$ irreduzibel über $\mathbb{R}$ .

Welche Aussagen treffen zu? Es gibt einen Körper mit ... Nr. 4690
	2 Elementen.
	7 Elementen.
	16 Elementen.
	22 Elementen.
Lösungsweg Es gibt genau dann einen Körper mit n Elementen, wenn $n = p^k$ eine Primzahlpotenz ist. Das gilt für n = 2, n=7 und $n=16 = 2^4$ , nicht jedoch für n=22.

Welches Polynom m(x) bildet als $\mathbb{Z}_2[x]_{m(x)}$ einen Körper mit 8 Elementen? Nr. 4692
	$m(x) = x^3+x+1$
	$m(x) = x^3+x^2+x+1$
	$m(x) = x^2+x+1$
	$m(x) = x^3+x^2+1$
Lösungsweg Damit $\mathbb{Z}_2[x]_{m(x)}$ ein Körper mit 8 Elementen ist, muss m(x) ein über $\mathbb{Z}_2$ irreduzibles Polynom vom Grad 3 sein. Es gibt 8 Polynome vom Grad 3 über $\mathbb{Z}_2$ , sie haben die Form $x^3 + kx^2 +lx + m$ mit $k,l,m \in \mathbb{Z}_2$ : $a(x) = x^3 + x^2 + x + 1\\ b(x) = x^3 + x^2 + x\\ c(x) = x^3 + x^2 + 1\\ d(x) = x^3 + x^2\\ e(x) = x^3 + x + 1\\ f(x) = x^3 + x\\ g(x) = x^3 + 1\\ h(x) = x^3$ Ein Polynom vom Grad 3 ist genau dann irreduzibel über $\mathbb{Z}_2$ , wenn es keine Nullstellen in $\mathbb{Z}_2$ hat. Somit scheiden die Polynome a, b, d, f, g und h aus, denn a(1) = b(0) = d(0) = f(0) = g(1) = h(0) = 0. Also sind nur c und e irreduzibel, d.h. $\mathbb{Z}_2[x]_{x^3+x^2+1}$ und $\mathbb{Z}_2[x]_{x^3+x+1}$ sind Körper. Sie enthalten die Polynome vom Grad 3 über $\mathbb{Z}_2$ modulo $x^3+x^2+1$ bzw. $x^3+x+1$ .

Welches Polynom m(x) bildet als $\mathbb{Z}_2[x]_{m(x)}$ einen Körper mit 16 Elementen? Nr. 4717
	$m(x) = x^4+1$
	$m(x) = x^4+x^2+1$
	$m(x) = x^4+x+1$
	$m(x) = x^4+x^3+1$
	$m(x) = x^4+x^3+x$
Lösungsweg $\mathbb{Z}_2[x]_{m(x)}$ ist genau dann ein Körper mit 16 Elementen, wenn m(x) ein über $\mathbb{Z}_2$ irreduzibles Polynom vom Grad 4 ist. Dies trifft zu auf $m_1(x) = x^4+x+1$ und auf $m_2(x) = x^4+x^3+1$ : Beide haben keine Nullstelle in $\mathbb{Z}_2$ und sind somit nicht in Polynome vom Grad 1 bzw. 3 zerlegbar. Nun müssen wir noch die Zerlegbarkeit in (irreduzible) Polynome vom Grad 2 mittels Polynomdivision überprüfen: $(x^4+x+1):(x^2+x+1) = x^2 + x$ ; Rest 1 $(x^4+x^3+1):(x^2+x+1) = x^2+1$ ; Rest x $m_1(x)$ und $m_2(x)$ lassen sich also auch nicht in Polynome vom Grad 2 zerlegen und sind damit beide irreduzibel. $\mathbb{Z}_2[x]_{m_1(x)}$ und $\mathbb{Z}_2[x]_{m_2(x)}$ ist also jeweils ein Körper mit 16 Elementen.

Lösen Sie folgendes Gleichungssystem in $\mathbb{Z}_{11}$ : $\left( \begin{array}{rrr} 0 & 1 & 3 \\ 5 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 4 \\ \end{array} \right) \cdot \vec{x} = \left( \begin{array}{r} 0 \\ 9 \\ 1 \\ \end{array} \right) \;mod\; 11$ Nr. 4718
	$\vec{x} = \left( \begin{array}{r} 3 \\ 2 \\ 1 \\ \end{array} \right) \;mod\; 11$
	$\vec{x} = \left( \begin{array}{r} 2 \\ 1 \\ 3 \\ \end{array} \right) \;mod\; 11$
	$\vec{x} = \left( \begin{array}{r} 3 \\ 1 \\ 2 \\ \end{array} \right) \;mod\; 11$
	$\vec{x} = \left( \begin{array}{r} 1 \\ 2 \\ 3 \\ \end{array} \right) \;mod\; 11$
Lösungsweg Aus der 3. Zeile folgt $4x_3 = 1$ und somit $x_3=3$ (denn 3 ist das Inverse von 4 modulo 11). Einsetzen von $x_3=3$ in die 1. Zeile ergibt $x_2 + 3x_3 = x_2 + 9 = 0$ und somit $x_2=2$ . Einsetzen von $x_2 = 2$ in die 2. Zeile ergibt $5x_1+ 2x_2 = 5x_1 + 4 = 9$ und somit $x_1=1$ . Somit gilt: $\vec{x} = \left( \begin{array}{r} 1 \\ 2 \\ 3 \\ \end{array} \right) \;mod\; 11$

Lösen Sie folgendes Gleichungssystem in $\mathbb{Z}_{11}$ : $\left( \begin{array}{rrr} 2 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 2 \\ 1 & 1 & 1 \\ \end{array} \right) \cdot \vec{x} = \left( \begin{array}{r} 6 \\ 0 \\ 4 \\ \end{array} \right) \;mod\; 11$ Nr. 4719
	$\vec{x} = \left( \begin{array}{r} 7 \\ 5 \\ 3 \\ \end{array} \right) \;mod\; 11$
	$\vec{x} = \left( \begin{array}{r} 6 \\ 2 \\ 4 \\ \end{array} \right) \;mod\; 11$
	$\vec{x} = \left( \begin{array}{r} 2 \\ 0 \\ 5 \\ \end{array} \right) \;mod\; 11$
	$\vec{x} = \left( \begin{array}{r} 4 \\ 8 \\ 9 \\ \end{array} \right) \;mod\; 11$
Lösungsweg Auflösen der 1. Zeile nach $x_1$ ergibt $2x_1 = 6-x_3$ und somit $x_1 = 3-6x_3 = 3+5x_3$ (denn 6 ist das Inverse von 2 modulo 11). Auflösen der 2. Zeile nach $x_2$ ergibt $x_2 = -2x_3$ . Einsetzen der Gleichungen für $x_1$ und $x_2$ in die 3. Zeile ergibt $3+5x_3 - 2x_3 + x_3 = 3+4x_3 = 4$ und somit $x_3 = 4^{-1}\cdot 1 = 3$ (denn 3 ist das Inverse von 4 modulo 11). Daraus folgt $x_1 = 3+5 \cdot 3 = 7$ und $x_2 = -2 \cdot 3 = 5$ . Somit gilt: $\vec{x} = \left( \begin{array}{r} 7 \\ 5 \\ 3 \\ \end{array} \right) \;mod\; 11$

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Bestimmen Sie die Multiplikationstabelle für die Menge aller Polynome über $\mathbb{Z}_2$ modulo $x^2+1$ : $\mathbb{Z}_2[x]_{x^2+1} = \left\{ 0,1,x,x+1 \right\}$ . Ist diese Menge ein Körper? (Hinweis: Die Zeilen & Spalten für die 0 wurden in den Antwort-Tabellen weggelassen.) Nr. 4683
	$\begin{tabular}{c\|ccc} \cdot & 1 & x & x+1\\ \hline 1 & 1 & x & x+1\\ x & x & 1 & x\\ x+1 & x+1 & x & 1\\ \end{tabular}$ Nein, die Menge ist kein Körper.
	$\begin{tabular}{c\|ccc} \cdot & 1 & x & x+1\\ \hline 1 & 1 & x & x+1\\ x & x & 1 & x+1\\ x+1 & x+1 & x+1 & 1\\ \end{tabular}$ Man kann nicht sagen, ob diese Menge ein Körper ist, ohne auch die Addition und das Distributivgesetz zu prüfen.
	$\begin{tabular}{c\|ccc} \cdot & 1 & x & x+1\\ \hline 1 & 1 & x & x+1\\ x & x & 1 & x+1\\ x+1 & x+1 & x+1 & 1\\ \end{tabular}$ Ja, die Menge ist ein Körper.
	$\begin{tabular}{c\|ccc} \cdot & 1 & x & x+1\\ \hline 1 & 1 & x & x+1\\ x & x & 1 & x+1\\ x+1 & x+1 & x+1 & 0\\ \end{tabular}$ Nein, die Menge ist kein Körper.
Lösungsweg Der Modul ist $m(x) = x^2+1$ , es ist also $x^2 = 1 \; mod \; m(x)$ . Da wir in $\mathbb{Z}_2$ rechnen, ist außerdem -1 = 1 und 2 = 0 modulo 2. Somit gilt: $x \cdot x = x^2 = 1\; mod\; m(x)\\ x \cdot (x+1) = x^2 + x = x + 1\; mod\; m(x)\\ (x+1) \cdot (x+1) = x^2 + 2x + 1 = 1 + 0 + 1 = 0 \; mod\; m(x)$ Die Multiplikationstabelle lautet also: $\begin{tabular}{c\|cccc} \cdot & 0 & 1 & x & x+1\\ \hline 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 1 & 0 & 1 & x & x+1\\ x & 0 & x & 1 & x+1\\ x+1 & 0 & x+1 & x+1 & 0\\ \end{tabular}$ Da x+1 kein multiplikatives Inverses hat (in keiner Zeile der Tabelle steht bei x+1 der Wert 1), kann unsere Menge kein Körper sein.

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